Доказване, че обратната трансформация също е линейна

Дадена е трансформацията Т. Когато приложим трансформацията Т към някакъв вектор х в множеството на първообразите, това е еквивалентно на умножаването на този вектор х в множеството на първообразите или този вектор по матрицата А. Да кажем, че знаем, че линейната трансформация Т може да е – че матрицата на трансформацията, когато я преобразуваме в ешелонна форма – това е равно на една единична матрица n x n, или на единичната матрица n x n. Това тук ни казва много неща. Първо, ако преобразуваме това в ешелонна форма, ще получим квадратна единична матрица. Това ни казва, че оригиналната матрица трябва да е с размери n x n. Също така ни казва, че Т е изобразяване от Rn в Rn. Видяхме в последното видео, че трябва да са изпълнени тези условия, особено това ето тук, за да е обратима трансформацията Т. Ако знаем, че това е изпълнено – Т е линейна трансформация, това е ешелонната форма на матрицата на трансформацията на единичната матрица ето тук – знаем, че Т е обратима. Да си припомним какво означаваше да е обратима. Да е обратима означава, че съществува някаква – използвахме термина функция преди, но сега говорим за трансформации, а реално те са едно и също нещо. Нека съществува някаква трансформация – да я наречем Т_обратно, или Т на степен –1, такава, че комбинацията на Т^(–1) и Т да е равна на тъждественото преобразуване (трансформация) на множеството на първообразите, и комбинацията на Т и Т^(–1) е тъждественото преобразувание на множеството на образите. Ето така. И само за да си припомним как изглежда, ще начертая множеството на първообразите и множеството на образите. Множеството на първообразите е Rn и множеството на образите също е Rn. Ако вземем някакъв вектор в множеството на първообразите, прилагаме трансформацията Т и отиваме в множеството на образите, като това е Т. Ако приложим T^(–1) след това, ще се върнем обратно в първоначалното множество Х. Значи това казва, че прилагаме Т и после прилагаме Т^(–1). Тогава ще се върнем обратно там, откъдето тръгнахме. Това е същото като тъждественото преобразувание. Ето така. Това ни казва, че ако тръгнем от множеството на образите, ако първо приложим обратната трансформация, а след това приложим трансформацията, ще се върнем обратно в някаква точка в множеството на образите. Значи това е еквивалентно на тъждествено преобразувание в множеството на образите. Това е просто този случай, в който множеството на пъровообразите и множеството на образите са едно и също множество Rn. Сега знаем какво означава една трансформация да бъде обратима, знаем какви са условията за обратимост. Това води до следващия въпрос. Знаем, че това е линейна трансформация, всъщност това е едно от условията да можем да я представим като матрица. Или всяка трансформация, която може да бъде представена като произведение на матрица с вектор е линейна трансформация. Значи това е линейна трансформация. Но въпросът е дали Т^(–1) е линейна трансформация? Да си припомним какви бяха двете условия за да бъде това линейна трансформация. Знаем, че Т е линейна трансформация. Знаем също, че ако приложим трансформацията Т към два вектора – да кажем х и у – ако приложим трансформацията към сумата на двата вектора, това е равно на трансформацията на първия вектор плюс трансформацията на втория вектор. Това е едното условие, което трябва да е изпълнено за всички линейни трансформации. Второто условие, което трябва да е изпълнено за всички линейни транформации е ако вземем трансформацията на някаква мащабирана версия на един вектор от нашето множество на първообразите, тя ще е равна на коефициента на мащабиране по образа при трансформацията на самия вектор. Това са двете условия за линейна трансформация. Да видим дали можем да докажем, че и двете условия са изпълнени за Т^(–1), или за това ето тук. За да направим това, първо да направим едно упражнение. Да приложим комбинацията на Т и Т^(–1) спрямо два вектора а + b. Спомни си, че Т^(–1) е изобразяване от множеството на образите в множеството на първообразите, въпреки че и двете множества в този случай са Rn. Но Т^(–1) изобразява от това множество в това. Ще го запиша ето тук. Т^(–1) изобразява от множеството на образите в множеството на първообразите. Въпреки че изглеждат идентични, ето така. Добре, на какво ще е равно това? Току-що казахме, че съгласно определението за обратна трансформация това ще е равно на тъждественото преобразувание на множеството на образите. Ако приемем, че тези вектори принадлежат на множеството на образите, в този случай Rn, това ще е равно просто на а + b. Комбинацията на Т и Т^(–1), по определение, е просто тъждествено преобразувание на множеството на образите. Така че връща същото, което поставим тук. Ако тук заложа х, тук ще се върне х. Ако сложа тук ябълка, ще се върне ябълка. Това е тъждествено преобразувание. И на какво е равно това? Можем да използваме същата логика, за да кажем, че това ето тук е равно на тъждественото преобразувание, приложено към а. Не записвам тъждествено преобразувание, а записвам това. Но ние знаем, че това е еквивалентно на тъждественото преобразувание. Значи можем да кажем, че това е еквивалентно на комбинацията на Т и Т^(–1), приложена към вектор а, и можем да кажем, че това е еквивалентно на тъждественото преобразувание, което знаем, че е същото нещо като комбинацията на Т и Т^(–1), приложена върху вектор b. Значи можем да напишем, че това ето тук е равно на сбора от тези две неща. Всъщност дори не е нужно да го преработваме. Можем да напишем направо, че е равно – тази трансформация е равна на тази. Може би един начин, по който по-лесно да го осмислиш, е ако напишем това като Т(Т^(–1)(а +b)) е равно на Т(Т^(–1)(а)) плюс Т(Т^(–1)(b)). И това трябва – не знам кой начин е по-лесен за теб, но и по двата начина, когато вземеш комбинацията на Т и Т^(–1), ще получиш a + b. Взимаш комбинацията от Т и Т^(–1) и получаваш само а. Взимаш комбинацията на Т и Т^(–1) и получаваш само b. И в двата случая получаваш а плюс b – когато сметнем и двете страни на този израз, ще получим вектор а плюс вектор b. Какво можем да направим сега? Знаем, че Т представлява линейна трансформация. Щом Т е линейна трансформация, знаем, че Т, приложено към сумата на два вектора е равно на Т, приложено към всеки от двата вектора поотделно и после събрани. Или може и по обратния път. Т приложено на два отделни вектора – това са този вектор тук и този вектор тук. В този случай прилагаме Т на единия вектор тук, и го събираме с Т, приложено на другия вектор. Това е ето това тук, което знаем, че е равно на Т, приложена към сумата на тези два вектора. Значи това е Т, приложена на вектор Т^(–1) от вектор а – ще го напиша ето тук – ще е равно на Т^(–1) от вектор а плюс Т^(–1) от вектор b. Може да изглежда малко объркано, но всичко, което казвам е, че това е равно на това. Ако кажем, че х е равно на Т^(–1) от а, и ако кажем, че у е равно на Т^(–1) от b. Това изглежда като това. Това ще е равно на трансформацията на Т, приложена към сумата на тези два вектора. Значи ще е равно на трансформацията Т, приложена към Т^(–1) от а плюс Т^(–1) от b. Просто използвам факта, че Т е линейна трансформация, за да стигна дотук. И сега какво да направим? Ще опростя всичко, което написах дотук. Сега имаме... ще преработя това. Това ето тук, което е същото като това. Комбинацията на Т и Т^(–1), приложена към а + b е равна на комбинацията... всъщност не комбинацията, само Т – приложено към двата вектора, Т^(–1) от а плюс Т^(–1) от b. Това получихме досега. Вече сме много близко до това да докажем, че това условие е изпълнено за Т^(–1), ако успеем да се отървем от тези Т-та. Най-добрият начин да се отървем от тези Т-та е просто да вземем комбинация с Т^(–1) на двете страни. Прилагаме обратна трансформация Т^(–1) към двете страни на това равенство. Да го направим. Да вземем Т^(–1) на тази страна, Т^(–1) на тази страна, това ще е равно на Т^(–1) на тази страна. Защото двете неща са еднакви. Ако въведем едно и също нещо в една функция, тя трябва да има една и съща стойност от двете страни. И какво е това отляво? Какво е това? Това е комбинацията – ще го напиша по този начин – това е комбинацията на Т^(–1) и Т, тази част, приложена към това нещо ето тук. Само променям реда ето тук – приложено към Т^(–1) от вектор а плюс вектор b. Ето това е от лявата страна. Тази част ето тук, Т^(–1) от Т от това, тези две първи стъпки ги записвам като комбинация на Т^(–1) и Т, приложена към това ето тук. Това ето тук е същото като това ето тук. Това е друг начин да го запишем. И това ще е равно на комбинацията от Т^(–1) и Т – ще използвам същия цвят – комбинацията на Т^(–1) и Т. Това е тази част тук, която е много подобна на тази тук – от това нещо ето тук, от Т^(–1) от а плюс Т^(–1) от b. Съгласно определението на Т^(–1), какво е това? Това е тъждественото преобразувание на множеството на първообразите. Това е тъждественото преобразувание на Rn. Това също е тъждествено преобразувание на Rn. Значи, ако приложим тъждественото преобразувание към нещо, просто ще получим същото нещо. Значи това ще е равно на... Ще го направя от двете страни на равенството – този целият израз отляво ще се опрости до Т^(–1) от вектор а плюс вектор b. От дясната страна също ще се опрости до това нещо. Е равно на – защото това е просто тъждественото преобразувание – значи просто е равно на това, на Т^(–1) от вектор а плюс Т^(–1) от вектор b. И ето така, Т^(–1) изпълнява първото условие да бъде линейна трансформация. Сега да видим дали можем да направим второто условие. Да вземем Т от... Ще направим същото нещо. Ще вземем комбинацията на Т и Т^(–1), която ще приложим на някакъв вектор, който ще бъде с по а. Ето така. Знаем, че това е равно на тъждественото преобразувание на Rn. Значи това ще е равно на с по а. На какво е равно а? Какво е това нещо тук – ще го напиша отстрани сега, ще избера подходящ цвят. Или можем да кажем, че вектор а е равен на трансформацията Т, комбинирана с комбинацията на Т с Т^(–1), приложена на вектор а. Защото това е просто тъждествена трансформация. Значи можем да преработим този израз като равен на с по комбинацията на Т и Т^(–1), приложена на вектор а. Може би ще е добре да преработим това в този вид, вместо в този вид като комбинация. Значи този израз отляво можем да запишем като Т от Т^(–1) от с по вектор а – всичко, което направих, е просто да преработя лявата страна по този начин – е равно на това зелено нещо ето тук. Ще го преработим по подобен начин. Това е равно на с по трансформацията Т, приложена на трансформацията Т^(–1), приложена на а. Това е какво означава комбинация по определение. Т е линейна трансформация. Това означава, че ако вземем с по Т по някакъв вектор, това е равно на Т по с по Т, приложено към с по този вектор. Това е едно от условията за линейна трансформация. Така че това винаги ще е вярно за Т. Ако това е някакъв вектор, върху който прилагаме Т, това е някакво число. Това нещо, понеже знаем, че Т е линейна трансформация, можем да го представим като равно на Т, приложено към този скалар с по Т^(–1), приложено към а. И сега какво можем да направим? Да приложим трансформацията Т^(–1) към двете страни на това. Ще го препиша. От тази страна получаваме Т от Т^(–1) от с по а, е равно на Т от с по Т^(–1) по а. Това получаваме дотук. Но няма ли да е хубаво да се отървем от тези Т-та? Най-добрият начин да го направим, е да приложим трансформацията Т^(–1) към двете страни. Да го направим. Т^(–1) – да приложим това към двете страни на равенството, Т^(–1) към двете страни на равенството. Има и друг начин това да бъде записано. Това е равно на комбинацията от Т^(–1) и Т, приложена към Т^(–1), приложена към с по вектор а. Това ето тук – реших да продължа да го пиша в този вид, взех тези двете и ги записах като комбинация. Това тук отдясно, можем да направим нещо много подобно. Можем да кажем, че това е равно на комбинацията на Т^(–1) и Т по... извинявам се, не е по, трябва много да внимавам. Взимам тази комбинация, тази трансформация и после взимам тази трансформация на с по обратната трансформация, приложена към вектор а. Искам да поясня какво направих тук. Това ето тук е това нещо ето тук. Това ето тук е ето това тук. И аз само преписах комбинацията по този начин. Причината да направя това е понеже знаем, че това е просто тъждественото преобразувание на Rn, а това е просто тъждественото преобразувание на Rn. Тъждественото преобразувание, приложено към каквото и да е, е просто същото нещо. Значи това равенство се опростява до Т^(–1), приложено към с по някакъв вектор а, което е равно на това нещо, на с по Т^(–1) по някакъв вектор а. И по този начин ние установихме, че е изпълнено второто условие това да е линейна трансформация. Първото условие беше изпълнено ето тук. Сега вече знаем. И в двата случая използваме факта, че Т е линейна трансформация, за да получим резултата за Т^(–1). Сега знаем, че ако Т е линейна трансформация, и ако Т е обратима, тогава Т^(–1) също е линейна трансформация. Което може да изглежда като нещо, което не е зле да се знае, но всъщност това е много важно да се знае. Защото сега знаем, че Т^(–1) може да бъде представено като произведение на матрица с вектор. Това означава, че Т^(–1) приложено на някакъв вектор х може да бъде представено като произведение на някаква матрица по вектор х. И сега ние ще наречем тази матрица А^(–1). Аз не съм дефинирал как можеш да конструираш тази обратна матрица, но поне знаем, че тя съществува. Сега знаем, че това съществува, защото Т е линейна трансформация. И можем да отидем още една стъпка по-далеч. Знаем от определението за обратимост, че комбинацията на Т^(–1) и Т е равна на тъждественото преобразувание на Rn. (на английски с "In" се бележи както тъждественото преобразувание (изображение) в Rn, така и единичната матрица n x n, докато при нас тъждественото изображение се бележи с i(x), а единичната матрица с En) А какво е комбинация от трансформации? Знаем, че Т, ако вземем... ще го кажа по следния начин: Знаем, че Т от х е равно на А по х. Ако запишем Т^(–1), комбинацията на Т^(–1) с Т, приложена на някакъв вектор х, това ще е равно – първо, на А, приложено на х ще е равно на А по х, това ето тук, А по х. После ще приложим А^(–1), ще го приложим ето тук. И получаваме, че това е еквивалентно на – когато вземем тази комбинация, това е еквивалентно на получената матрица на трансформацията на двете комбинирани трансформации е равно на това произведение на матрица с матрица. Това го получихме още отдавна. Всъщност това беше причината как да бъде дефинирано произведението на матрица с матрица. Интересното тук е, че тази комбинация е равна на това, но също така е равна на тъждественото преобразувание на Rn, приложено към този вектор х, което е равно на единичната матрица, приложена към вектор х. Нали? Това е матрица n x m, така че когато я умножим по нещо, получаваме отново същото нещо. Така получихме един много интересен резултат. А^(–1) по А трябва да е равно на единичната матрица. А^(–1) или матрицата на трансформацията Т^(–1), когато я умножим по матрицата на трансформацията Т, получаваме единичната матрица. И това важи и в двете посоки. Така че знаем, че това е вярно, но другото определение за обратимост ни казва, че комбинацията на Т и Т^(–1) е равна на тъждественото преобразувание в нашето множество на образите, което също е Rn. iRn. По съвсем същата логика знаем, че когато отиваме в другата посока, ако приложим Т^(–1) първо, и после приложим Т... това е еквивалентно на това да кажем, че първо прилагаме Т^(–1), а после прилагаме Т към същия вектор х, това е еквивалентно да умножим вектора х по единичната матрица, единичната матрица n x n. Или можем да кажем, че сменяме местата. А по А^(–1) също е равно на единичната матрица. Което е много хубаво, защото научихме, че произведенията на матрица с матрица, когато разменим местата им, обикновено не са равни помежду си. Но в този случай на обратима матрица и обратната на нея редът няма значение. Можеш да вземеш А^(–1) по А и да получиш единичната матрица, или можеш да вземеш А по А^(–1) и да получиш единичната матрица. След като стигнахме дотук, следващата стъпка всъщност е да разберем как да я констуираме. След като знаем, че това съществува, знаем, че обратната трансформация е линейна трансформация, тогава тази матрица съществува. Виждаме това хубаво свойство, че когато умножим това по матрицата на трансформацията, ще получим единичната матрица. Следващата стъпка е всъщност да установим как да намерим това.