Обобщение на условията за обратимост

Основната цел на последните уроци беше да опитаме да разберем дали една трансформация Т – нека да имаме някаква трансформация, която изобразява от – да кажем от Rn в Rm – въпросът е дали трансформацията Т е обратима. Преди няколко урока показахме, че една функция – трансформацията е просто функция – че една функция е обратима ако отговаря на две условия. Значи обратима. Няма да пиша този термин през цялото време. Трябва да отговаря на две условия. Тя трябва да е върху, т.е. да изобразява върху всеки член на множеството на образите, и трябва да е едно-към-едно. Друг начин да кажем едно-към-едно е, че всеки член на множеството на образите представлява образ най-много на един член на множеството на първообразите. Има няколко ведео урока, в които разсъждавахме дали ако имаме една линейна трансформация, която е дефинирана от матрица А, която има размери m x n, казахме, че това условие ще е изпълнено, ако рангът – ще е изпълнено само ако рангът на А е равен на броя на редовете на трансформационната матрица, който е равен на m. В последното видео показах, че това е изпълнено само ако всеки от вектор-стълбовете е линейно независим, или ако всички вектор-стълбове са вектори на базиса на векторното пространство, или че рангът на матрицата трябва да бъде n. За да бъде обратима една трансформация, трябва да са изпълнени и двете условия. Рангът на матрицата А трябва да е равен на m, и рангът на матрицата А трябва да е равен на n. Значи за да е обратима трябва да се случат няколко неща. За да бъде обратима трансформацията, рангът на матрицата на трансформацията трябва да е равен на m, което трябва да е равно на n. Значи m трябва да е равно на n. Получаваме интересно условие. Трябва да имаме квадратна матрица. Матрицата трябва да е с размери n x n. Ето това означава. Ако и двете условия са изпълнени, тогава m трябва да е равно на n, или матрицата е квадратна. Нещо повече, това е квадратна матрица, в която всеки вектор-стълб е линейно независим, така че това е нашата матрица А. Тя изглежда ето така. а1, а2... аn. Понеже рангът на А е равен на n, това естествено ще бъде матрица n x n. Току-що казахме, че това трябва да е изпълнено, защото рангът трябва да е равен на m, което е броят на редовете, и рангът трябва да е равен на n, което броят на стълбовете, така че броят на редовете и на стълбовете трябва да е равен. Но фактът, че рангът е равен на броя на стълбовете, което означава, че всички вектор-стълбове са базис на векторното пространство, или че ако преобразуваме матрицата в ешелонна форма – тогава какво ще получим? Всички тези стълбове са вектори на базиса, така че всички те са свързани с водещите вектори или всички те са свързани с водещи стълбове. Значи това ще бъде 1,0, много нули, и после ще имаме 0,1 и още нули, ето така. Всички те са свързани с водещи стълбове, когато преминем в ешелонна форма. Значи всички тези са водещи стълбове. Това е матрица n х n. Но какво представлява една матрица n x n, в която всички стълбове са водещи? Какво представлява една матрица n x n? Ще запиша това. Значи имаме n. Ешелонната форма на А трябва да е равна на матрица n x n , защото А е n x n, където всички стълбове са линейно независими водещи стълбове. А по определението за ешелонна форма не е възможно да имаме един и същ водещ стълб два пъти, когато стълбовете са линейно независими водещи стълбове. Това донякъде се повтаря, но мисля, че разбираш идеята. Значи какво представлява матрица n x n, в която всеки стълб е линейно независим водещ стълб? Това е просто матрица, в която имаме единици по диагонала, а всички останали елементи са нули. Виждал/а си такава матрица по-рано, това е просто единична матрица n x n, която е единична матрица по n или в Rn. (на български единичната матрица n x n се бележи с "Еn", а на английски с "In") Ако умножиш тази матрица по някой член на Rn, тогава просто получаваш същата матрица отново. Но това е интересно. Сега имаме едно много полезно условие за обратимост. Можем да кажем, че трансформацията Т, която изобразява от Rn в... тук трябва да изобразява в същото пространство, значи от Rn в Rn. Това е равно на някаква квадратна матрица n x n, по векторите в нашето множество на първообразите. И тя ще е обратима само ако преобразуваната ешелонна форма на нашата матрица на трансформацията е равна на единичната матрица за n. Искам да кажа, че можех да напиша и m тук, можех да кажа, че матрицата е m x n, но единственият начин това да е изпълнено е, ако това също е n, и това също е m. Но може би мога да ги оставя така. Ще оставя тези m, защото това е един важен извод. Големият извод е, че за да бъде обратима матрицата на трансформацията, единственият начин да е обратима е ако ешелонната форма на матрицата на трансформацията е равна на единичната матрица n x n. Единичната матрица винаги ще е с размери n x n. Така че това е важен извод. Ще го използваме в бъдеще, за да решаваме трансформации или да намираме обратни трансформации.