Основно съдържание
Линейна алгебра
Курс: Линейна алгебра > Раздел 2
Урок 4: Обратни функции и трансформации- Запознаване с понятието обратна функция на дадена функция
- Доказателство: една функция е обратима, ако съществува единствено решение на f(x)=y
- Сюрективни (върху) и инективни (1-1) функции
- Връзка между обратимост на функция и сюрективност и инективност на функцията
- Определяне дали една трансформация е "върху"
- Изследване на решението на Ax = b
- Условия една трансформация да бъде едно-към-едно
- Обобщение на условията за обратимост
- Доказване, че обратната трансформация също е линейна
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Сюрективни (върху) и инективни (1-1) функции
Въведение в сюрективни (върху) и инективни (1-1) функции. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
В това видео искам
да представя някои нови термини, които ще бъдат
полезни, когато разглеждаме функции и обратимост. Това са термини, които,
като цяло, ще срещаш в твоята математическа
кариера. Нека е дадена функция f,
която изобразява от множеството Х в
множеството Y. Чертал съм това много
пъти, но няма да навреди да го направя отново. Значи това е множеството Х или
нашето множество на първообразите. После това множество тук е Y
или множеството на образите. Спомни си, че множеството на образите
е това, в което изобразяваме. Не е задължително да
изобразяваме във всички елементи на множеството Y, или в
никой от елементите му. Това просто са всички елементи,
множеството, в което можеш да изобразяваш елементите
на Х в множеството на образите. Да видим. Ако тук имаме някакъв елемент,
f ще го изобрази в някакъв елемент на нашето множество на
образите. Първото понятие или термин,
с който искам да те запозная, това е идеята, че функцията
е сюрективна. Понякога се казва
"върху". Една функция е сюрективна
или върху, ако за всеки елемент в множеството на образите ѝ –
ще го напиша по следния начин – ако за всеки елемент у, който
принадлежи на множеството на образите, съществува – това е съкратен начин
за записване на "съществува" – съществува поне едно х,
което принадлежи на Х, такова, че... Мога да напиша
"такова, че" ето така. Всъщност ще го напиша с думи. Такова, че f(х) е равно на у. Това на практика ни казва, че
можем да изберем произволно у тук, и всяко у тук е образ
на поне един от тези елементи х тук. Например – всъщност
ще начертая по-прост пример, вместо да чертая тези
балони. Да кажем, че имам
множеството Y, което буквално изглежда
ето така. Да кажем, че множеството Y –
ще го начертая много – да кажем, че то
има четири елемента. То съдържа елементите
А, В, С и D. Това е моето множество ето тук. Да кажем, че множеството Х
изглежда ето така. Да кажем, че то съдържа
елементите 1, 2, 3 и 4. За да бъде функцията f
сюрективна или върху, това означава, че всеки
един от тези елементи трябва да представлява образ. Какво означава това? Ако всеки един от тези – ще начертая примери. Да кажем, че този елемент
се изобразява в този. Да кажем, че този елемент
се изобразява в този елемент. И да кажем, че този елемент
се изобразява в ето този. И да кажем – ще начертая
пети елемент тук – да кажем, че тези два елемента
се изобразяват тук в D. Значи f(4) е D
и f(5) е D. Това е пример за
сюрективна функция. Това са образите на
f ето тук. Тази функция тук
е сюрективна върху. Защо? Защото всеки елемент тук
е образ. Сега ще дам пример за
функция, която не е сюрективна. Ще добавя още елементи
в множеството Y. Да кажем, че множеството Y
има друг елемент тук – E. И тя изведнъж вече
не е сюрективна. Защо? Защото има някакъв
елемент, който не е образ. Ако ти кажа, че f е сюрективна
функция, това означава, че че ако изобразим всички
тези стойности, всички елементи тук
ще са образи на поне един елемент от тука. Така че това един вид
е изобразяване едно към едно. В бъдеще ще дам
малко по-точно определение. Значи може да бъде
по този начин и по този начин. И даже може да имаш,
поне един елемент, може даже да са два тук, които
да се изобразяват в един елемент тук. Но основният критерий е
всички елементи тук да са образи. Друг начин да си го представим
е, че ако вземем образа – значи сюрективна функция –
ще го запиша ето тук. Ще го запиша така –
ако една функция е сюрективна или е "върху", това са
еквивалентни термини, това означава, че образът на f... Спомни си, образът е
всички стойности, в които f се изобразява. Следователно това означава, че
образът на f е равен на Y. По-рано учихме, че
образът не е задължително да съвпада с множеството
на образите. Но когато имаш сюрективна
функция "върху", тогава образът ще е равен
на множеството на образите. Всички елементи на множеството
на образите са образи. Друг термин за образ е множество
от стойностите на функцията. Можеш да кажеш, че множеството
на стойностите на функцията е равно на Y. Спомни си разликата –
показах тази разлика, когато за пръв път говорихме за
функции – разликата между множество на образите и множество
на стойностите на функцията е, че множеството на образите е това,
в което можем да изобразяваме. Не е задължително да
изобразим всичко. Множеството от стойностите на функцията е
подмножество на множеството на образите, в което реално
изобразяваме. Ако трябва да изчислиш
функцията на всички тези точки, тези точки, в които изобразяваш, те са в
множеството на стойностите на функцията. Това също така се нарича образ. Терминът "образ"
се използва по-често в линейната алгебра. Ако образът или множеството на
стойностите на функцията е равно на множеството на образите, ако всички
елементи на множеството на образите са образи, тогава имаш една
сюрективна функция или сюрективна функция върху. Следващият термин, който
искам да ти представя, е инективна функция. Понякога се нарича също
и функция 1-1 (едно към едно). Отново ще начертая множеството
на първообразите и това на образите. Това е множеството на
първообразите, а това е множеството на
образите. Това е Х, а това е Y. Ако функцията f е инективна
или функция 1-1, това означава, че за всяка стойност тук съществува
образ – ще го напиша така – за всяка стойност, която
представлява образ – ще го формулирам по няколко
начина – има най-много един елемент х, който
се изобразява в него. Друг начин да го формулираме е,
че за всяко у, което принадлежи на Y – ще го формулирам така –
за всяко у, което принадлежи на Y, има най-много един –
ще напиша "най-много" с главни букви – най-много един елемент х,
такъв че f(х) = у. Може да няма елементи х,
които да се изобразяват в него. Например може тук
да има елемент на Y, който не е образ
на никой елемент. Всички други елементи
на Y са образи, обаче този елемент не е ничий образ. Това ще бъде случай,
в който функцията не е сюрективна. Това не е върху, защото
този елемент, който е член на множеството на образите, но
не принадлежи на образа или на множеството
на стойностите на функцията. Той не е образ. Но тази функция е
инективна, стига всеки елемент х да се изобразява
в един единствен елемент у. А кога една функция не е
инективна или 1-1? Предполагам, че ти е ясно,
когато някой казва "едно към едно". Ако два елемента х
се изобразяват в един елемент у, или три х се изобразяват в един у,
тогава това означава, че функцията не е инективна
или не е "едно към едно". Това е всичко, което
означава. Ще начертая още един пример. Или всъщност да се върнем
към този пример ето тук. Когато тук добавих този елемент E,
казахме ,че функцията не е сюрективна защото не всеки един от тези
елементи представлява образ. А дали е инективна функция? Не, защото образът на f(5)
и на f(4) е D. Така че това нарушава нейната
инективност, не е "едно към едно". Това противоречи на
нейната сюрективност. Но ако искам да бъде
сюрективна и инективна функция, трябва да изтрия това изобразяване и да променя f(5) да е "е". Сега всичко е "едно към едно". Вече нямаме изобразяване на
два елемента на Х, които да се изобразяват
в един и същ елемент на Y. И сега всички елементи
на Y са образи. Така че сега тази функция е
и "върху", и "едно към едно".