Сюрективни (върху) и инективни (1-1) функции

В това видео искам да представя някои нови термини, които ще бъдат полезни, когато разглеждаме функции и обратимост. Това са термини, които, като цяло, ще срещаш в твоята математическа кариера. Нека е дадена функция f, която изобразява от множеството Х в множеството Y. Чертал съм това много пъти, но няма да навреди да го направя отново. Значи това е множеството Х или нашето множество на първообразите. После това множество тук е Y или множеството на образите. Спомни си, че множеството на образите е това, в което изобразяваме. Не е задължително да изобразяваме във всички елементи на множеството Y, или в никой от елементите му. Това просто са всички елементи, множеството, в което можеш да изобразяваш елементите на Х в множеството на образите. Да видим. Ако тук имаме някакъв елемент, f ще го изобрази в някакъв елемент на нашето множество на образите. Първото понятие или термин, с който искам да те запозная, това е идеята, че функцията е сюрективна. Понякога се казва "върху". Една функция е сюрективна или върху, ако за всеки елемент в множеството на образите ѝ – ще го напиша по следния начин – ако за всеки елемент у, който принадлежи на множеството на образите, съществува – това е съкратен начин за записване на "съществува" – съществува поне едно х, което принадлежи на Х, такова, че... Мога да напиша "такова, че" ето така. Всъщност ще го напиша с думи. Такова, че f(х) е равно на у. Това на практика ни казва, че можем да изберем произволно у тук, и всяко у тук е образ на поне един от тези елементи х тук. Например – всъщност ще начертая по-прост пример, вместо да чертая тези балони. Да кажем, че имам множеството Y, което буквално изглежда ето така. Да кажем, че множеството Y – ще го начертая много – да кажем, че то има четири елемента. То съдържа елементите А, В, С и D. Това е моето множество ето тук. Да кажем, че множеството Х изглежда ето така. Да кажем, че то съдържа елементите 1, 2, 3 и 4. За да бъде функцията f сюрективна или върху, това означава, че всеки един от тези елементи трябва да представлява образ. Какво означава това? Ако всеки един от тези – ще начертая примери. Да кажем, че този елемент се изобразява в този. Да кажем, че този елемент се изобразява в този елемент. И да кажем, че този елемент се изобразява в ето този. И да кажем – ще начертая пети елемент тук – да кажем, че тези два елемента се изобразяват тук в D. Значи f(4) е D и f(5) е D. Това е пример за сюрективна функция. Това са образите на f ето тук. Тази функция тук е сюрективна върху. Защо? Защото всеки елемент тук е образ. Сега ще дам пример за функция, която не е сюрективна. Ще добавя още елементи в множеството Y. Да кажем, че множеството Y има друг елемент тук – E. И тя изведнъж вече не е сюрективна. Защо? Защото има някакъв елемент, който не е образ. Ако ти кажа, че f е сюрективна функция, това означава, че че ако изобразим всички тези стойности, всички елементи тук ще са образи на поне един елемент от тука. Така че това един вид е изобразяване едно към едно. В бъдеще ще дам малко по-точно определение. Значи може да бъде по този начин и по този начин. И даже може да имаш, поне един елемент, може даже да са два тук, които да се изобразяват в един елемент тук. Но основният критерий е всички елементи тук да са образи. Друг начин да си го представим е, че ако вземем образа – значи сюрективна функция – ще го запиша ето тук. Ще го запиша така – ако една функция е сюрективна или е "върху", това са еквивалентни термини, това означава, че образът на f... Спомни си, образът е всички стойности, в които f се изобразява. Следователно това означава, че образът на f е равен на Y. По-рано учихме, че образът не е задължително да съвпада с множеството на образите. Но когато имаш сюрективна функция "върху", тогава образът ще е равен на множеството на образите. Всички елементи на множеството на образите са образи. Друг термин за образ е множество от стойностите на функцията. Можеш да кажеш, че множеството на стойностите на функцията е равно на Y. Спомни си разликата – показах тази разлика, когато за пръв път говорихме за функции – разликата между множество на образите и множество на стойностите на функцията е, че множеството на образите е това, в което можем да изобразяваме. Не е задължително да изобразим всичко. Множеството от стойностите на функцията е подмножество на множеството на образите, в което реално изобразяваме. Ако трябва да изчислиш функцията на всички тези точки, тези точки, в които изобразяваш, те са в множеството на стойностите на функцията. Това също така се нарича образ. Терминът "образ" се използва по-често в линейната алгебра. Ако образът или множеството на стойностите на функцията е равно на множеството на образите, ако всички елементи на множеството на образите са образи, тогава имаш една сюрективна функция или сюрективна функция върху. Следващият термин, който искам да ти представя, е инективна функция. Понякога се нарича също и функция 1-1 (едно към едно). Отново ще начертая множеството на първообразите и това на образите. Това е множеството на първообразите, а това е множеството на образите. Това е Х, а това е Y. Ако функцията f е инективна или функция 1-1, това означава, че за всяка стойност тук съществува образ – ще го напиша така – за всяка стойност, която представлява образ – ще го формулирам по няколко начина – има най-много един елемент х, който се изобразява в него. Друг начин да го формулираме е, че за всяко у, което принадлежи на Y – ще го формулирам така – за всяко у, което принадлежи на Y, има най-много един – ще напиша "най-много" с главни букви – най-много един елемент х, такъв че f(х) = у. Може да няма елементи х, които да се изобразяват в него. Например може тук да има елемент на Y, който не е образ на никой елемент. Всички други елементи на Y са образи, обаче този елемент не е ничий образ. Това ще бъде случай, в който функцията не е сюрективна. Това не е върху, защото този елемент, който е член на множеството на образите, но не принадлежи на образа или на множеството на стойностите на функцията. Той не е образ. Но тази функция е инективна, стига всеки елемент х да се изобразява в един единствен елемент у. А кога една функция не е инективна или 1-1? Предполагам, че ти е ясно, когато някой казва "едно към едно". Ако два елемента х се изобразяват в един елемент у, или три х се изобразяват в един у, тогава това означава, че функцията не е инективна или не е "едно към едно". Това е всичко, което означава. Ще начертая още един пример. Или всъщност да се върнем към този пример ето тук. Когато тук добавих този елемент E, казахме ,че функцията не е сюрективна защото не всеки един от тези елементи представлява образ. А дали е инективна функция? Не, защото образът на f(5) и на f(4) е D. Така че това нарушава нейната инективност, не е "едно към едно". Това противоречи на нейната сюрективност. Но ако искам да бъде сюрективна и инективна функция, трябва да изтрия това изобразяване и да променя f(5) да е "е". Сега всичко е "едно към едно". Вече нямаме изобразяване на два елемента на Х, които да се изобразяват в един и същ елемент на Y. И сега всички елементи на Y са образи. Така че сега тази функция е и "върху", и "едно към едно".