Въведение в проекциите

Дадена е права, която минава през началото на координатната система. Ще я начертая в R2, но това може да се отнася за произволно Rn. Ще начертая осите тук. Това са координатните оси, не са идеално начертани, но схващаш идеята. Ще построя една права, която минава през началото. Това е правата. Знаем, че една права в произволно Rn – ще избера R2 – е определена като всички възможни произведения на даден вектор със скалар (число). Да кажем, че това е някакъв вектор ето тук, ето този вектор върху правата. Можем да дефинираме нашата права. Можем да кажем, че е равна на множеството от всички произведения със скалар – да кажем, че това е V ето тук. Значи това са всички произведения със скалар на този вектор v, като скаларните множители, по определение, са просто произволни реални числа. Очевидно, ако вземем всички възможни произведения на v, и с положителни, и с отрицателни множители, и с множители, които са по-малки от 1, дробните множители, ще получим множество от вектори, които реално определят всяка точка върху тази права, която преминава през началото. Знаем, разбира се, че ако това не е права, която минава през началото, тогава ще трябва да я изместим с някакъв вектор. Ще трябва да има някакъв друг вектор плюс сv. Но ние започваме с определението за права, която преминава през началото на координатната система. В това видео искам да дефинирам понятието проекция върху правата l на някакъв друг вектор х. Ще начертая този друг вектор х. Да кажем, че това ето тук е този друг вектор х. Проекцията – ще ти дам просто представа за нея, а после ще я дефинирам малко по-точно. Проекцията, както винаги аз си я представям – ако имам някакъв източник на светлина, който е перпендикулярен или ортогонален спрямо правата – значи да кажем, че източникът на светлина свети надолу ето така, и аз отивам в тази посока, защото това е перпендикулярно на правата, представям си, че проекцията на х върху тази права е един вид сянката на вектор х. Ако тази светлина идва надолу, ще начертая просто перпендикуляр и по този начин, и сянката на х върху правата l ще бъде този вектор ето тук. Значи можем да я разглеждаме като сянката на х върху правата l. Това е един начин да си го представим. Друг начин да си го представим, и ако пожелаеш, можеш да го разглеждаш така, е каква част от вектор х отива в посоката на l. Техниката е същата. Ще спуснеш перпендикуляр от х към l, и казваме, че това показва каква част от вектора отива в тази посока, към този перпендикуляр. И по двата начина можем да си представим какво е проекция. Аз считам сянката за част от обяснението защо това се нарича проекция, нали? Когато прожектираме нещо, ние пускаме светлинен лъч и виждаме къде светлината среща стената, и тук правим същото. Пускаме светлина и гледаме къде тази светлина достига правата в този случай. Но с такова определение не можеш да постигнеш нищо в математиката. Това е само един начин да си представиш какво е проекция. Затова трябва да намерим някакъв начин да я пресметнем, или да я дефинираме по-точно математически. Едно нещо, което правя аз, когато създавам тази проекция – всъщност ще начертая друга проекция на друга права или друг вектор, за да го разбереш. Ако имам някакъв вектор ето тук, който изглежда ето така, неговата проекция върху правата ще изглежда приблизително така. Просто чертаем перпендикуляр и проекцията му е ето това. Но не искам да разглеждам само този случай. Искам да ти дам представа, че това е сянката на произволен вектор върху тази права. Как можем да разглеждаме това в нашия първоначален пример? Във всички случаи, независимо как го възприемам аз, спускам тук перпендикуляр. Ако построим един вектор тук, можем да кажем: "Хей, този вектор винаги ще е перпендикулярен на правата." И ние можем да направим това. Нямаше да го предложа, ако не можехме. Нека дефинирам този вектор, който дори не съм дефинирал. Какъв ще е този вектор? Ако този вектор – няма да използвам всички тези. Знаем, че искаме някак да стигнем до този син вектор. Ще го оставя син. Този син вектор е проекцията на х върху l. Искаме да стигнем до правата. Сега, това, което можем да разгледаме, е този розов вектор тук. Какво е този розов вектор? Този розов вектор, който начертах току-що, това е вектор х минус проекцията, минус този син вектор ето тук, минус проекцията на х върху правата l, нали? Ако събера тази проекция с розовия вектор, получавам вектор х. Ако събера тази синя проекция на х с х минус проекцията на х, тогава, разбира се, получавам х. Знаем също, че този розов вектор е ортогонален на правата, което означава, че е ортогонален на всеки вектор върху правата, което означава, че скаларното му произведение ще бъде нула. Ще дефинирам проекция по следния начин. Проекцията – това ще е математически по-точното определение. Проекцията върху l на даден вектор х е равна на някакъв вектор от l, нали? Начертах го тук, този син вектор. Ще го оградя с бяло. Някакъв вектор от l – и това може да е малко интуитивно – където разликата х минус проекцията на вектор х върху l е ортогонална на правата. Казвам проекцията – това е определението. Дефинираме проекцията на х върху l с някакъв вектор от l, такъв, че разликата вектор х минус тази проекция е ортогонална на l. Това е определението. Това е малко по-точно и мисля, че е логичен начинът, по който се свързва с идеята за сянка или проекция. Но как можем да работим с това определение? Това все още са само думи. Как можем да изчислим проекцията на вектор х върху l? Ключовото тук е, че това понятие, че х минус проекцията на х е ортогонално на l. Да видим можем ли да го използваме по някакъв начин. Първото нещо, което трябва да разберем е, че по определение, понеже проекцията на х върху l е някакъв вектор от l, това означава, че той е произведение на v с някакъв скалар, някакво произведение със скалар на нашия дефиниращ вектор, на v. Можем също да кажем, че можем да преработим проекцията на вектор х върху l. Можем да я запишем като произведение на някакъв скаларен множител по нашия вектор v, нали? Можем да го направим. Това е еквивалентно на нашата проекция. Сега, знаем още, че х минус проекцията е ортогонално на l, знаем също, че х минус нашата проекция – току-що казах, че мога да представя проекцията като някакво произведение на този вектор ето тук. Можем да го видим от начина, по който го начертах. Изглежда почти като 2 по този вектор. Знаем, че х минус нашата проекция, това тук е проекцията, е ортогонално на l. Ортогоналност, по определение, означава, че скаларното произведение с произволен вектор от правата е 0. Да намерим скаларното произведение с произволен вектор от правата l. Можем да намерим скаларното произведение с този вектор v. Това използвахме, когато дефинирахме правата l. Да го умножим скаларно по v, и знаем, че това трябва да е равно на нула. Взимаме този вектор ето тук, умножаваме го скаларно по v, и знаем, че това произведение трябва да е равно на 0. Това трябва да е равно на 0. Да използваме свойствата на скаларните произведения, за да видим дали можем да изчислим определена стойност с, защото след като намерим конкретна стойност на с, тогава ще можем винаги да умножаваме това по вектор v, който ни е даден, и така ще получим проекцията. А после ще ти го покажа с някои конкретни числа. Да видим можем ли да изчислим с. Ако разкрия скобите и умножа по с – о, извинявам се, ако умножа по v, знаем, че скаларното произведение на вектори притежава дистрибутивно свойство. Този израз може да се преработи като х, умножен скаларно по v, нали? (х, умножен скаларно по v минус с, умножено по скаларното произведение на v по v). Разместих членовете на израза. Получаваме скаларното произведение на векторите х и v, минус с по скаларното произведение на вектор v по v, и цялото това, разбира се, е равно на 0. Ако искаме да намерим с, трябва да добавим с по v (.) v към двете страни на равенството. Получаваме х (.) v = с по v(.)v Можем да изразим с, трябва да разделим двете страни на равенството на v(.)v Ще използвам различен цвят. с е равно на това: х(.)v, делено на v(.)v Колко е с? Проекцията х – ще го напиша ето тук. Проекцията на х върху правата l е равна на някакво произведение на вектор и скалар, нали? Знаем, че тя също лежи и върху правата, така че това е произведение на някакъв скаларен множител и този дефиниращ вектор v. И ние току-що намерихме на какво е равен този скаларен множител. Той е равен на скаларното произведение на х по v върху скаларното произведение на v по v, което е просто едно число, нали? Това е скалар. Въпреки че съдържа всички тези вектори, когато ги умножим скаларно, ще получим просто едно число, което ще умножим по v. Един вид мащабираме вектор v и получаваме проекцията на вектора х. В такъв случай, по този начин както го начертах тук, скаларният множител е просто един мащабиращ коефициент, който е близък до 2, така че, ако имам v и го мащабирам по 2, тази стойност ще е 2, и ще получа проекция, която ще изглежда ето така. Сега, това изглежда малко абстрактно, така че да видим някои реални вектори и смятам, че ще стане по-ясно и логично. Нищо от това, което направих тук, не се отнася само за R2. Всичко, което направих тук, се отнася и за произволен брой измерения, въпреки че го направихме за R2, а в R2 и R3 най-често ще използваме проекции, но това се отнася и за Rn. Сега да видим конкретен пример. Ще дефинирам правата l да е множество от произведения на вектор и скалар – не знам, да кажем, че векторът ни е [2;1], като с е произволно реално число. Ще начертая осите тук. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. Това е правата, която включва всички произведения със скалар на вектора 2.1 . Всъщност няма да наричам вектора 2.1, нека да е вектор v. Ще го начертая. Значи това е 1, 2, нагоре 1. Това тук е вектор v. Правата съдържа всички възможни произведения със скалар на този вектор. Ще я начертая. Всички възможни произведения със скалар на този вектор, като просто продължаваме във всяка посока, и назад, и всичко между тях. Това е моята права, всички произведения със скалар на този вектор v. Сега, да кажем, че имаме друг вектор х, като този вектор х е равен на [2;3]. Ще го начертая, по х е 2, после отиваме 1, 2, 3. Вектор х изглежда ето така. Искам да го начертая малко по-добре от това. Вектор х изглежда ето така. Това е вектор х. Сега искаме да разберем коя е проекцията на вектор х върху правата l. Ще използвам това определение. Ще го запиша. Проекцията на х върху правата l е равна на какво? Равна е на х (.)v, нали? Където v е дефиниращия вектор на нашата права. Значи е равно на х, който е [2;3] (.) v, който е [2;1]. Всичко това е върху v(.)v Значи всичко това е върху [2;1].[2;1], по оригиналния дефиниращ вектор v. А кой е оригиналният дефиниращ вектор? Той е ето този – [2;1]. Значи по вектор [2;1]. И на какво е равно това? Когато ги умножим скаларно един по друг, получаваме 2 по 2, плюс 3 по 1, значи 4 плюс 3, което е равно на 7. Това се опрости до 7. След това имаме 2 по 2, плюс 1 по 1, което е 4 плюс 1, което е 5. Получихме 7/5. Това всичко тук се опрости до 5. Това беше доста бързо опростяване. Може би този израз ти се стори плашещ и странен, но когато намерихме скаларните произведения, всъщност той се опрости много бързо. И после само умножаваме това по дефиниращия вектор от правата. Значи просто мащабираме с коефициент 7/5. Умножаваме го по вектор [2;1]. Какво получаваме? Получаваме вектор... ще използвам нов цвят. Получаваме вектор 14/5 и 7/5. За да можем да покажем графично това или да го начертаем по-добре, ще превърна тези числа в десетични дроби. 14/5 е 2 цяло и 4/5, което е 2,8. Това е 1 цяло и 2/5, което е 1,4. Значи проекцията на вектор х върху правата l е 1,28 и 1,4. 2,8 е ето тук, а 1,4 е ето тук, значи векторът е ето тук. Не го начертах много точно, но разбираш идеята ми. Това е проекцията. Изчисленията ни показват, че това е проекцията на вектор х върху правата l. Ако начертая перпендикуляр ето тук, ще видим, че това съответства на представата, че това е сянката на вектор х върху нашата права l. Значи сега можем да изчисляваме проекции. В следващото видео аз действително ще ти покажа как да представим това като матрица, което реално е един вид трансформация.