If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Линейна алгебра

Визуализиране на линейни трансформации

Умножението представено като трансформация

Идеята за трансформация може да изглежда по-сложна, отколкото е, в началото, затова преди да се гмурнем в това как матрици 2×2 трансформират едно двуизмерно пространство, или как матрици 3×3 трансформират триизмерно пространство, нека видим как добре познатите ни числа – разглеждани като матрици 1×1 – могат да се приемат като трансформации на едномерни числа.
Едномерното пространство представлява просто една числова ос.
Числова ос
Какво става, когато умножим всяко число от цифровата ос по определена стойност, като например 2? Един начин да се представи това графично е този:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Запазваме копие от оригиналната ос с цел по-добро сравнение, след което приплъзваме всяко число от нея до числото, равно на произведението му по две.
По аналогичен начин и умножението с 12 може да бъде представено като:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
И за да не се чувстват пренебрегнати отрицателните числа, ето едно умножение по -3:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
За тези, които обичат засуканата терминология, тези анимирани действия могат да бъдат описани като "линейни преобразувания (или линейни трансформации) на едномерно пространство". Терминът трансформация има еднакво значение с термина функция: нещо, в което въвеждаш число, а то ти дава изходящо число, както f(x)=2x. Но докато обикновено представяме графично функциите с графики, хората използват термина трансформация, за да покажат, че вместо това трябва да си представиш, че един обект се движи, разтяга, сплесква и т.н. Тоест функцията f(x)=2x, представена графично като трансформация, ни дава горното видео за умножение по две. Тя премества точка едно на числовата ос до там, където започва две, премества две до там, където започва четири, и така нататък.
Преди да продължим към двумерното пространство, трябва да запомним един прост, но важен факт. Представи си, че наблюдаваш някое от тези преобразувания (трансформации), знаейки, че то използва умножение по някакво число, но без да се знае кое е това число:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Можеш лесно да намериш кое число бива умножено в правата като проследиш едно. В този случай едно се пренася там, където започна -3, така че можеш да кажеш, че анимацията представлява умножение по -3.

Как изглеждат линейните преобразувания в две измерения?

Една двумерна линейна трансформация е специален вид функция, която взима един двумерен вектор [xy] и извежда като изходяща стойност друг двумерен вектор. Както преди, използването на думата трансформация показва, че трябва да мислим за промяна на обекти, които в този случай са в двумерното пространство.
Ето няколко примера:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
За нашите цели това, което прави едно преобразувание линейно, е следното геометрично правило: Началната точка трябва да остане фиксирана и всички прави трябва да останат прави. Тоест всички преобразувания в анимацията по-горе са примери за линейни преобразувания, но следните не са:
Както в едно измерение, това, което прави едно преобразувание линейно, е че то отговаря на две условия:
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(cv)=cf(v)
Само че сега v и w не са числа, а вектори. Докато в едно измерение първото условие беше безполезно, сега то играе много важна роля, понеже, в определен смисъл, то определя как двете различни измерения си взаимодействат по време на трансформацията.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Проследяване на конкретни вектори при трансформация

Представи си, че наблюдаваш едно определено преобразувание (трансформация) като това:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Как можеш да опишеш това преобразувание на приятел, който не гледа същата анимация? Вече не можеш да го опишеш, като използваш едно единствено число, по начина, по който просто следвахме числото едно в случая с едното измерение. За да ни помогне да следим всички неща, нека поставим зелена стрелка върху вектора [10], червена стрелка върху вектора [01], и да поставим копие на мрежата във фона.
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Сега е много по-лесно да видим къде отиват нещата. Гледай анимацията отново и се фокусирай върху вектора [11]. Можем по-лесно да го проследим, за да видим, че отива върху вектора [42].
Можем да представим този факт със следните обозначения:
[11][42]
Практическа задача: Къде ще се окаже накрая точката [10], след като равнината е претърпяла трансформацията от видеото по-горе?
Избери един отговор:

Практическа задача Макар че е извън екрана, можеш ли да предвидиш къде е попаднала точката [30]?
Избери един отговор:

Забележи, че вектор като [20], който започва като 2 пъти зелената стрелка, продължава да бъде 2 пъти зелената стрелка след трансформацията. Тъй като зелената стрелка попада върху [12], можем да заключим, че
[20]2[12]=[24].
И като цяло
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]
Подобно, местоназначението на цялата ос y е определено от това къде попада червената стрелка [01] , което за това преобразувание е [30].
Практическа задача: След като равнината е претърпяла трансформацията, показана по-горе, къде попада основната точка [0y] върху оста y?
Избери един отговор:

Всъщност, веднъж като знаем къде попадат [10] и [01] , можем да заключим къде трябва да отиде всяка точка от равнината. Например нека проследим точката [12] в нашата анимация:
Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия
Започва от -1 по зелената стрелка плюс 2 по червената стрелка, но също така приключва на -1 по зелената стрелка плюс 2 по червената стрелка, което след преобразуванието означава
1[12]+2[30]=[52]
Тази способност да разделим един вектор по отношение на компонентите му, както преди, така и след трансформацията, е това, което прави специални линейните трансформации.
Практическа задача: Използвай същата тактика, за да изчислиш къде ще попадне векторът [11].
Избери един отговор:

Представяне на двумерни линейни трансформации с матрици

Като цяло, всеки вектор [xy] може да бъде разделен, както следва:
[xy]=x[10]+y[01]
Тоест, ако зелената стрелка [10] попадне на някакъв вектор [ac], а червената стрелка [01] попадне на някакъв вектор [bd], тогава векторът [xy] трябва да попадне на
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy].
Един много хубав начин да опишем всичко това е да представим дадена линейна трансформация с матрицата по-долу:
A=[abcd]
В тази матрица първият стълб ни казва къде попада [10] , а вторият стълб ни казва къде попада n[01] . Сега можем да опишем много прегледно къде попада всеки вектор v=[xy] като произведение на матрица с вектор
Av=[ax+bycx+dy].
Всъщност оттук идва определението за произведение на матрица с вектор.
Тоест по същия начин, по който едномерните линейни трансформации могат да бъдат описани като умножение по някакво число, по-специално върху кое число попада едно, двумерните линейни трансформации винаги могат да бъдат описани като произведение с матрица 2×2, по-специално с тази матрица, чийто първи стълб показва къде попада [10], и чийто втори стълб показва къде попада [01].

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.