im(T): Как изглежда трансформацията

Нека е дадено множеството V, което е подпространство на Rn. Само да си припомним – какво означава това? Това е просто едно множество, или едно подмножество на Rn, всеки два произволни члена на което – да кажем, че това са членовете а и b – и двата са членове на нашето подпространство. Щом това е подпространство, тогава знаем, че сумата на тези два вектора, т.е. а + b, също е член на това подпространство. Това множество е затворено по отношение на събирането. От факта, че това е подпространство, следва, че ако умножим произволен член на нашето подпространство по скалар (число) – значи от факта, че а и b принадлежат на нашето подпространство, следва, че ако изберем единия от тях, нека да вземем вектор а, ако го умножим по произволен скалар, тогава произведението също ще бъде член на нашето подпространство. Понякога казваме, че множеството е затворено по отношение на умножението по скалар. И можем да кажем още, което е донякъде излишно, че V трябва да съдържа нулевия вектор. Това се отнася за всички подпространства. V... ще го запиша по този начин – нулевият вектор принадлежи на V. Това ще е нулевият вектор, който има n компоненти, защото V е подпространство на Rn. И това е излишно, защото, ако кажа, че произволно произведение на тези вектори също е във V, тогава мога просто да взема скаларът да е равен на 0. Така че това твърдение един вид съдържа това твърдение. Но в много учебници винаги записват, че и нулевият вектор трябва да принадлежи на V. Макар това да е излишно, защото множеството е затворено по отношение на умножението по скалар. Добре. Сега да кажем, че имаме някаква трансформация Т. Това е изобразяване, една функция, която изобразява от Rn в Rm. В това видео искам да видим, ако имаме едно подпространство V, искам да разбера дали трансформацията на подпространството... как наричаме това? Наричаме това образ на нашето подпространство, или на нашето подмножество, и двете са верни. Образ на V при T. В последното видео – искам просто да ти помогна да си го представиш... Какво се случи там или... имахме някакво подмножество на Rn, което изглеждаше ето така. Имахме един триъгълник, който изглеждаше горе-долу така. Това беше в Rn, всъщност беше в R2, имахме един такъв триъгълник. И доказахме, че той е образ при Т. Значи ние отидохме от R2 в R2 и имахме тази трансформация. И получихме нещо ето такова. Ако правилно си го спомням. Получихме нещо такова – о, не си го спомням напълно, но беше триъгълник, който беше деформиран ето така, завъртян при ротация. Значи това беше... всъщност, мисля, че беше по-скоро... мисля, че това е вярно. Беше завъртян по часовниковата стрелка ето така и беше деформиран. Но конкретните детайли от предишното видео не са толкова важни. Важното е да можеш да си представиш какво означава образ при трансформация. Това означава, че взимаш едно подмножество на R2, всички вектори, които дефинират този триъгълник ето тук. Това е някакво подмножество на R2. Трансформираш всички тях и получаваш някакво подмножество в твоето множество на образите. Можеш да наричаш това образ, защото трансформацията на този триъгълник, или ако наречем това S, това е равно на трансформацията на S. Или можеш да кажеш, че това е образът на... можеш просто да наречеш това множеството S, което може да ти помогне да си представиш... да го наречеш образ на този триъгълник при Т. Или може би още по-добър начин да си го представиш е, че този триъгълник... този деформиран, подложен на ротация триъгълник – той е образът на този правоъгълен триъгълник при Т. Мисля, че това е малко по-добра визуализация за теб. И само да припомня – в последното видео тези триъгълници не бяха подпространства. Точно както можеш да умножиш по скалар (число) някои от векторите, които принадлежат на множеството на този триъгълник, след което ще установиш, че те няма да са в този триъгълник. Значи това не е подпространство, това е просто подмножество на R2. Не всички подмножества са подпространства, но определено всички подпространства са подмножества. Макар че нещо може да бъде подмножество на себе си. Но да не се отклоняваме твърде много. Това е само за да ти помогне да си представиш какво означава образ. Това означава всички вектори, които са изобразени от членовете на нашето подмножество. Значи искам да разбера дали образът на V при Т е подпространство. За да бъде подпространство, ако вземем трансформацията... нека да намеря два члена на Т. Ако взема трансформацията на произволни членове на V, ще получа членове на образа. Нали? Ще го запиша. Очевидно трансформацията на а и трансформацията на b, и двете принадлежат на нашите образи на V при Т. И двата са членове на това ето тук. Значи моят въпрос към теб е: какво представлява транформацията на а плюс трансформацията на b? Начинът, по който го записах, това са два произволни члена на нашия образ на V при Т. Или може да го нарека Т (V). Това са два произволни члена. И на какво е равно това? Знаем от свойствата, от определението за линейни трансформации, че сумата на трансформациите на два вектора е равна на трансформацията на сумата на двата вектора. Сега, дали трансформацията на вектор а плюс вектор b принадлежи на множеството на T(V)? Дали принадлежи на нашия образ? Сумата а + b принадлежи на V, и образът съдържа трансформацията на всички членове на V. Значи образът съдържа и трансформацията на този сбор. Тази сума, вектор а плюс вектор b, принадлежи на V. Значи взимаш трансформацията на един член на V, който по определение принадлежи на образа на V при Т. Така че това определено е вярно. Сега да зададем следващия въпрос. Ако умножа по скалар някой член на нашия образ на V при Т, или на нашето множество Т(V), ето тук, ако го умножа по някакъв скалар, на какво е равно това? По определението за линейна трансформация, това е същото като трансформацията на скалара, умножена по вектора. Дали това ще принадлежи на образа на V при Т? Знаем, че с по а определено е във V, нали? Това следва от определението за подпространство. Това определено е във V. Значи, щом това е във V, трансформацията на това трябва да е в образа на V при Т. Значи това е във... това също е член на V. Очевидно, можеш да сложиш това да е равно на 0. Нулевият вектор е член на V, значи всяка трансформация на... Ако тук просто сложиш 0, ще получиш нулевия вектор. Значи нулевият вектор определено... не ме е грижа какво е това, ако го умножа по 0, тогава ще получа нулевия вектор. Значи нулевият вектор определено също е член на Т(V). Получихме, че Т... образът на V при Т е подпространство. Това е полезен резултат, който ще използваме нататък. Но това естествено води до въпроса ако имаме... всичко, с което се занимавахме досега, беше подмножества, като примерът с този триъгълник, или подпространства, като случая с V. Но ако търся образа на Rn при Т, тогава? Това е образът на Rn при Т. Да помислим какво означава това. Това означава – какво получаваме, когато вземем произволен член на Rn, какво е множеството от всички вектори? После, когато вземем трансформацията на всички членове на Rn – ще го запиша. Това е равно на множеството от трансформациите на всички х, като всяко х принадлежи на Rn. Значи взимаме всички членове на Rn и ги трансформираме, и създаваме това ново множество. Това е образът на Rn при Т. Има няколко начина да разсъждаваш за това. Спомни си, че когато дефинирахме... да видим, Т е изобразяването на Rn в Rm. Дефинирахме това като дефиниционно множество. Всички възможни входни стойности за нашата трансформация. А това дефинирахме като множество на образите. Спомни си, че казах, че множеството на образите всъщност е част от дефиницията на функцията или на трансформацията, и това е пространството, в което изобразяваме. Не е задължително да включва всички тези образи, които получаваме. Например образът на Rn при трансформацията може би представлява цялото Rm, или може би е някакво подмножество на Rn. Начинът, по който можеш да разсъждаваш, като аз засегнах това в първото видео – като в учебниците по линейна алгебра, които съм виждал, никога не уточняват това – но можеш един вид да разглеждаш това като функционалното множество на Т. Това са действителните членове на Rm, в които Т изобразява. Значи, ако вземеш образа на Rn при Т, всъщност ще получиш... да кажем, че Rm изглежда ето така. Очевидно това отива във всички посоки. Да кажем, че когато вземеш... ще начертая Rn ето тук. Знаем, че Т изобразява Rn в Rm. Но да кажем, че като вземем всеки елемент на Rn и намерим образа му в Rm, да кажем, че получаваме някакво подмножество на Rm, да кажем, че получаваме нещо такова. Ще се опитам да го начертая прегледно. Значи буквално изобразяваме всяка точка тук, и това отива в един от тези. Или тези тук могат да бъдат представени като образи на някои от тези членове ето тук. Значи ако изобразим всички тях, ще получим това подмножество ето тук. Това подмножество е, това е Т(Rn), образът на Rn при Т. Ако използвам терминология, която обикновено не се използва често в линейната алгебра, това е един вид множеството от стойностите на функцията. Функционалното множество на Т. Но това си има специално име. Нарича се... но не искам да те обърквам – това се нарича образ при Т. Може да е малко объркващо, образ при Т. Понякога се записва просто като im(Т). Вероятно това те обърква, вероятно се чудиш, че преди, когато говорехме за подмножества, наричахме това образ на подмножеството Rn при Т. Това е правилният термин, когато работим с подмножество. Но когато изведнъж вземем цялото n-мерно пространство и намерим този образ, тогава го наричаме образ на действителната трансформация. Значи можем да наречем това множество тук образът при Т. И кой е образът при Т? Знаем, че можем да запишем всички – буквално всички – значи Т е преминаването от Rn в Rm. Можем да запишем, че Т(х)... можем да запишем, че всяка линейна трансформация като тази е равна на някаква матрица, някаква матрица m по n, умножена по вектор. И тези вектори очевидно ще принадлежат на Rn... по някакво Rn. И какво е това? Кое е образът... ще го запиша по няколко начина – какво е образът на Rn при Т? Можем да го запишем като Т... ще го напиша по следния начин. Можем да запишем това като Т(Rn), което е същото като образът при Т. Обърни внимание, че не казвам при нищо друго, защото сега казваме, че образът при действителна трансформация, което можем да запишем също и като образът при Т, на какво са равни тези? Това е равно на множеството от всички трансформации на х. Всички трансформации на х ще бъдат Ах, където х принадлежи на Rn. Значи х ще бъде една наредена n-торка, в която всеки елемент трябва да е реално число. Значи какво е това? Ако запиша А – ще запиша матрицата А. Тя е просто съвкупност от вектор-стълбове, а1, а2... Ще имаме n такива, нали? Защото има n стълба. Значи а по произволно х ще бъде... ако умножа това по произволно х, което принадлежи на Rn, умножавам по х1, х2, всички чак до xn. Виждали сме го много, много пъти вече. Това е равно на х1... скаларът х1 по а1, плюс х2 по а2, и така нататък, плюс xn по an. Казваме, че ни трябват множеството от всички тези суми на вектор-стълбовете, където х може да е всеки вектор в Rn. Което означава, че елементите на х могат да приемат всякакви реални скаларни стойности. Значи множеството от всички тези всъщност е всички линейни комбинации на стълбовете на А, нали? Защото мога да дам на тези всяка произволна стойност. И на какво е равно това? Това е равно на – ние сме споменавали това, всъщност говорихме за това, когато се запознахме с идеята. Това е равно на векторното пространство на А. Понякога го означавахме като С(А). Това е много хубав резултат. Ако вземеш... това е почти очевидно, искам да кажа, че малко си играя с термините, но всяка линейна трансформация може да бъде представена като произведение на вектор и матрица. Значи образът на произволна линейна трансформация, което означава подмножеството на неговото множество на образите, когато изобразиш всички елементи на неговото дефиниционно множество в множеството с образите, това е образът на трансформацията. Това е еквивалентно на векторното пространство на матрицата, като трансформация, чрез която може да бъде представено то. Векторното пространство, разбира се, е линейната обвивка на всички вектор-стълбове на твоята матрица. Това са просто всички линейни комбинации или линейната обвивка на твоите вектор-стълбове, което правим ето тук. Надявам се, че това ти беше интересно, и ще можеш да използваш тези резултати в бъдеще.