Линейни трансформации

Вече знаеш какво е трансформация или преобразувание, така че ще те запозная с един специален вид преобразувание, наречено линейно преобразувание. Логично е да имаме понятие като линейно преобразувание, тъй като изучаваме линейна алгебра. Вече учихме за линейните комбинации, така че е добре да се запознаем и с линейните преобразувания. Линейното преобразувание по определение е преобразувание, което знаем, че е просто функция. Можем да кажем, че от множеството Rn към множеството Rm... в следващото видео ще стане ясно защо използвам точно това, въпреки че това може да бъдат произволни букви – където трябва да са изпълнени следните условия. Едно изображение е линейно преобразувание тогава и само тогава, когато е изпълнено следното условие. Да кажем, че имаме два вектора. Нека вектор а и вектор b да принадлежат на Rn. И двата вектора принадлежат на нашето множество на първообразите. Имаме линейно преобразувание тогава и само тогава, когато взема преобразуванието на сбора от нашите два вектора, това е равнозначно да взема преобразуваните версии на двата вектора и да ги събера. Това е първото ми условие това да бъде линейно преобразувание. Второто условие е, ако взема преобразуванието на произволна мащабирана версия на един вектор – да умножим просто вектор а по някакво число или по някакво реално число с. Ако това е линейно преобразувание, тогава това трябва да е равно на с по преобразуваната версия на вектор а. Това изглежда много просто. Да видим можем ли да приложим тези правила, за да определим дали някои действителни преобразувания са линейни, или не са линейни. Ще дефинирам едно преобразувание. Да кажем, че имаме преобразуванието Т. Част от моето определение ще бъде, че имаме изобразяване от R2 в R2. Така че можеш да вкараш във функцията наредена двойка, нали? Множеството на първообразите съдържа наредени двойки. Ако въведеш във функцията х1 и х2, тя ще ги изобрази, или можем да кажем, че ще е равно на съответните х1 плюс х2. Да кажем, че вторият компонент е 3 по х1. Можем да запишем това и във векторна форма. Това е във вида на наредена двойка. Можем да го запишем като... хубаво е да се видят всички начини на записване, които може да срещнеш – можеш да запишеш преобразуванието на произволен вектор х, като този вектор изглежда като [х1; х2]. Ще поставя скоби. Той е равен на някакъв нов вектор с първи компонент (х1 + х2). Вторият компонент на новия вектор ще бъде 3 по х1. Това е напълно легитимен начин за изразяване на нашето преобразувание. Третият начин аз не съм срещал никога, но за мен той един вид улавя същността на това какво представлява преобразуванието. Това е просто изобразяване или просто функция. Можем да кажем, че преобразуванието е изобразяване на произволен вектор в R2, който изглежда така: [х1; х2] – ще използвам този начин на записване – във вектор, който изглежда ето така. х1 плюс х2, и после 3 по х1. Всички тези твърдения са еквивалентни. Целият смисъл да пишем това е да разберем дали Т е линейно независима. Извинявам се, не линейно независима. Дали е линейно преобразувание. Толкова бях погълнат от линейната независимост в толкова много видеа, че умът ми не може да се освободи от нея. Дали е линейно преобразувание. Да проверим двете условия. Написах ги тук горе. Да вземем Т от – да кажем, че имаме два вектора а и b. Те принадлежат на R2. Ще го запиша. Вектор а е равен на [а1; а2] и вектор b е равен на [b1; b2]. Извинявам се, това не е вектор. Трябва да съм сигурен, че това са числа. Това са компоненти на вектор. И b2. Колко е вектор а1 плюс вектор b? Извинявам се, вектор а плюс вектор b? Мозъкът ми дава дефекти. Добре. Сега просто събираме техните компоненти. Това е определението за събиране на вектори. Значи а1 плюс b1. Събираме първите компоненти. И вторият компонент е просто сборът на вторите компоненти на двата вектора, а2 плюс b2. Тук няма нищо ново. Но какво е преобразуванието на този вектор? Преобразуванието на вектор а плюс вектор b, можем да го запишем по следния начин: това е равно на преобразуванието на този вектор, който е просто а1 плюс b1, и а2 плюс b2. Което знаем, че е вектор. Равно е на този вектор. Това, което правим за първия компонент тук, е да съберем двата компонента от тази страна. Първият компонент тук е сборът на тези два компонента. . Значи а1 плюс а2, плюс b1 плюс b2. После вторият компонент съгласно определението на преобразуванието или от определението на функцията е просто 3 по първия компонент в дефиниционното множество, предполагам, че мога да кажа така. Значи 3 по първия компонент. Значи ще бъде 3 по този първия компонент. Това е 3 по а1 плюс 3 по b1. Добре. Сега, какво е преобразуванието на векторите а и b поотделно? Преобразуванието на вектор а е равно на преобразуванието на а... ще го запиша по този начин: е равно на преобразуванието на [а1; а2], в скоби. Това е другият начин да запишем вектор а. И на какво е равно това? Определението за нашето преобразувание е ето тук горе. Значи ще е равно на вектор а1 плюс а2 и после 3 по а1. Това следва директно от определението. Само заместих хиксовете с а. По същата логика, какво е преобразуванието на нашия вектор b? Това ще бъде същото нещо като заместим а с b. Преобразуванието на вектор b ще бъде... вектор b е [b1; b2], значи става b1 плюс b2. Вторият компонент на преобразуванието ще бъде 3 по b1. Какъв е резултатът от преобразуванието на вектор а плюс преобразуванието на вектор b? Това е този вектор плюс този вектор. На какво е равно това? Това е обикновено събиране на вектори, като просто събираме техните компоненти. Значи това е а1 плюс а2 плюс b1 плюс b2. Това е просто този компонент плюс този компонент. Вторият компонент е 3 по а1 и сега ще добавим това към този втори компонент. Значи това е 3 по а1 плюс 3 по b1. Току-що ти показах какво се получава, когато взема преобразуванията поотделно на всеки от двата вектора и после ги събера, получих съвсем същото, както когато взех векторите и ги събрах първо и после осъществих преобразувание на сбора. Така че първото условие е изпълнено – че преобразуванието на сбора на векторите е същото като сбора от преобразуванията. Сега да видим дали е изпълнено условието за произволен скалар. Знаем как изглежда преобразуванието на вектор а. Първо, как ще изглежда произведението с по вектор а? Мисля, че е добре да започнем с това. с по нашия вектор ще бъде равно на с по а1 и после с по а2. Това е определението за произведение на вектор с число. Тогава какво е нашето преобразувание – ще взема нов цвят. Какво е нашето – ще взема цвят, който отдавна не съм използвал – бял. Какво ще бъде нашето преобразувание на с по вектор а? Това е същото нещо като преобразуванието на с по а1, с по а2, което е равно на новия вектор, в който първият компонент – да се върнем към определението – събираме първите компоненти и после вторите компоненти. Вторият компонент на новия вектор ще бъде 3 по първите компоненти. Първият компонент е техният сбор. Така получаваме с по а1 плюс с по а2. После вторият компонент е 3 по нашия първи компонент, значи е 3 по с, по а1. На какво е равно това? Това е същото нещо. Можем да го разглеждаме като изнасяне на с пред скоби. Това е същото нещо като с по сбора а1 плюс а2. После вторият компонент е равен на 3 по а1. Но това нещо ето тук, ние вече видяхме. Това е същото нещо като преобразуванието на вектор а. Значи така видяхме, че преобразуванието на с по вектор а, за произволен вектор а в R2 – всеки вектор в R2 може да бъде представен по този начин – е същото нещо като с по преобразуванието на вектор а. Така че е изпълнено и второто условие, тогава, когато... аз току-що го формулирах, така че няма нужда да го повтарям. Когато са изпълнени тези две условия, това означава, че това е линейно преобразувание. И може би си мислиш: "Добре, Сал, дотук добре. Но как да разбера за всяко преобразувание е, или не е линейно преобразувание? Покажи ми случай, който не е линейно преобразувание." Ще ти дам много прост пример. Ще дефинирам моето преобразувание. Просто ще го направя... нека да е... То ще бъде от R2 в R2, просто за да сравним двете. Може да бъде от R в R, ако искаме по-прост пример. Ще дефинирам нашето преобразувание. Да кажем, че ще преобразуваме вектор [х1; х2]. Нека да е равен на х1 на квадрат и после на 0, ето така. Да видим дали това е линейно преобразувание. Първият въпрос е: какво е преобразуванието на вектор а? Преобразуванието на вектор а – вектор а е същият, който използвах преди – ще изглежда ето така. Ще изглежда като а1 на квадрат, а после нула. Какво ще бъде преобразуванието, ако вземем с по вектор а? Това е същото като с по а1 и с по а2. Съгласно определението за преобразувание – извинявам се, преобразуванието на с по това нещо ето тук, защото преобразувам и двете страни. Съгласно определението за преобразувание това ще бъде равно на нов вектор, който ще бъде в нашето множество на образите, където първият компонент е просто първият компонент на аргумента, повдигнат на квадрат. Значи това е (с по а1) на квадрат. Вторият компонент е нула. На какво е равно това? Ще сменя цветовете. Това е равно на с на квадрат по а1 на квадрат, а вторият компонент е 0. Сега, ако приемем, че с е различно от нула, това ще бъде ли равно на това? Всъщност дори няма значение. Дори не трябва да правим това уточнение. Това е същото нещо. Това е равно на с на квадрат по а1 на квадрат, нула. На какво е равно това? Този израз ето тук е преобразуванието на вектор а. Това е равно на с на квадрат, по преобразуванието на вектор а. Ще го направя със същия цвят. Току-що ти показах, че ако взема преобразуванието на вектор, който първо е умножен по скаларна величина, то това е равно на... за това Т, за това преобразувание, което дефинирах ето тук – с на квадрат по преобразуванието на вектор а. Очевидно е, че това твърдение ето тук, или избраното преобразувание противоречи на условието за линейно преобразувание. Щом имам с по вектор а тук, трябва да имам с по вектор а и тук. Но в нашия случай аз имам с по вектор а тук и имам с^2 по вектор а ето тук. Очевидно това опровергава твърдението ни. Значи това не е линейно преобразувание. И само за да развием интуиция, ако просто погледнеш нещо, дали ще бъде линейно преобразувание, или няма, ако преобразуванието просто включва линейни комбинации на различните компоненти на аргументите, тогава вероятно това е линейно преобразувание. Ако видиш неща, където компонентите започват да бъдат умножавани един по друг, или ако видиш квадрати или други степени, тогава вероятно не става въпрос за линейно преобразувание. После, има някои функции, които попадат в една сива област, но са склонни по-скоро да са просто линейни комбинации, които ще доведат до линейно преобразувание. Надявам се, че това ти дава добра представа за нещата. И това води до нещо, което аз смятам за един от най-важните изводи, но за него ще говорим в следващото видео.