Още събиране на матрици и умножение с число

В последното видео започнахме с две линейни трансформации. Имахме линейната трансформация S, която беше изобразяване от Rn в Rm. След това имахме линейната трансформация Т, която също беше изобразяване от Rn в Rm. И дадохме определение за сбор на тези две трансформации. Значи S + Т, тази трансформация на вектор х ние дефинирахме като равна на S(х) – този трансформиран вектор х, плюс Т(х). Тук отново започваме в Rn, а всеки получен вектор е вектор в Rm. Ако съберем два вектора в Rm, получаваме друг вектор в Rm, защото Rm е валидно подпространство. То е затворено по отношение на събирането. Значи това също е изобразяване. Значи S плюс Т също е изобразяване от Rn в Rm. Казахме още, че всяка линейна трансформация, която сме показвали в предишни видеа, може да се представи като матрица. Можем да кажем, че S(х) е равно на някаква матрица А по вектор х. Можем да кажем също, че Т(х) е равно на някаква матрица В по вектор х. Като и двете трябва да са матрици m по n. Ще запиша, че и двете матрици са m по n. Защото тези две операции са изобразяване от Rn в Rm. И след това дадохме друго определение. Ето това тук е определение, след което дадохме друго определение. Дефинирахме сбор на две матрици. Казахме, че матрица А + В, като и двете трябва да имат еднакви размери – и двете са матрици m по n в този случай. Дефинирахме, че този сбор е нова матрица, в която всеки стълб на новата матрица е сумата от съответните стълбове на тези две матрици. Значи първият стълб на новата матрица е сборът от първите стълбове на матриците А и В – значи а1 + b1, вторият стълб – ще поставя една черта тук – това е а2 + b2. И така нататък, стигаме чак до an + bn. Това беше определението. Причината да направим това определение е, защото ако дефинираме сбора на матрици по този начин, тогава това нещо, когато го заместим с А по х плюс В по х, тогава получаваме, че това нещо тук е равно на съответните матрици по това определение, (А + В) по х. Ето така получихме този хубав израз, за да дефинираме сбора на матрици по този начин. Това изглежда много абстрактно, така че всъщност нека да съберем две матрици. Ще започна с пример за матрици 2 на 2. Да кажем, че събираме матрицата [1;3;–2;4] с матрицата – спомни си, че тя трябва да е със същия размер – матрицата [2; 7; –3; –1]. Какво получаваме? По определение, просто трябва да съберем съответните стълбове. Събираме първите стълбове. Когато събираме съответните стълбове, какво се случва, когато събираме два стълба, два вектора? Просто събираме съответните им елементи. На практика, когато събираме две матрици, ние просто събираме всички тези съответни елементи. Ще го изразя по този начин, просто защото това е начинът, по който е дефинирано, но те всички са еквивалентни. Първото нещо, първият стълб в тази матрица ето тук, ще бъде този стълб плюс този стълб. Значи ще бъде 1 + 2, ще го запиша по този начин, и –2, –3. Вторият стълб, ето този тук, ще бъде 3 + 7, и 4 минус 1. Това е равно на 3; 10; –5 и 3, ето така. Обърни внимание, че съгласно определението събирам съответните стълбове. Какво се получи? Просто събрах съответните елементи. Събрах 1 и 2, 3 и 7, –2 и –3, 4 и –1. Това е супер лесно. Няма нищо особено. Всъщност, можем да преработим това определение. Ако кажем, че векторът или матрицата А е равна на а11; а12 и така нататък чак до а1n. Ако слезем надолу, това е а21; чак до а1n. И после надолу чак до аnn. Виждали сме вече това. Тогава матрицата В, по същата логика, или по същото определение, това е b11, този елемент тук, b12, и така до b1n. Това е b21, втория ред, чак до bn, извинявам се, това е m, имаме m реда, така че това е mn. Това тук е bm1, това е bm2, и така нататък, надолу до това bmn, ето тук. Трябва много да внимавам, това са матрици m по n. Значи този ред тук долу е m-ия ред и в двата случая. Но ние можем да предефинираме нашата матрица, или друга начин да изразим събирането на матрици е да кажем, че за да съберем матриците А и В просто ще съберем съответните им елементи. Значи този елемент тук ще бъде – ще използвам различен цвят – това ще бъде а11 плюс b11, този ще е а21 + b21, и така нататък, чак до am1 + bm1. После този елемент ще бъде а12 + b12, и така нататък, до а1n – малко ще се преместя – чак до а1n + b1n, и после така нататък до аmn + bmn. Това са две еквивалентни определения. Това заема много по-малко място за писане и аз лично предпочитам него, защото ние вече дефинирахме събиране на вектори. Но реално се иска от теб просто да събереш всички съответни елементи. Ето това е събирането на матрици. Вероятно е едно от най-простите неща, които съм срещал в математиката напоследък. Сега, умножението на матрица по скалар (число), това е нещо много просто. Дефинирахме произведението по скалар на трансформацията на вектор х, което е равно на скалара по трансформацията на вектор х. Това беше определението. Също така дефинирахме произведение на скалар и матрица А, което е равно на скалара... Новата матрица, където всеки от стълбовете е скаларът по вектор-стълбовете на А. Значи с по а1, после следващият стълб е с по а2, и после продължаваш все така до с по аn. Цялата идея е, понеже това може да се опрости – казах, че е равно на В по х, по трансформацията на х – трансформацията Т от х, беше равно на това. Все още имаме нашето с. Значи ще стане с по матрицата В, по вектор х. Ето така може да запишем трансформацията на вектор х. И това ще бъде равно на – просто го преработвам – всъщност в предходното видео го направихме, като разбихме това на вектор-стълбове, като умножихме всеки от елементите на вектор х, и после умножихме по скалара с, и после малко ги разместихме. Сега можем да кажем, че с това определение, това е равно на някаква нова матрица с по В – използваме това определение – някаква нова матрица с по В, в която реално имаме с по всеки вектор-стълб на В по вектор х. Ето това беше целта ни. Искахме да изразим това като произведение на някаква нова матрица и вектор, защото всяка линейна трансформация трябва да може да се изрази по този начин. Затова въведохме това определение. Сега да го приложим. Исках да ти покажа, че това е може би даже още по-просто от събирането на матрици. Ако искам да умножа числото 5 по матрицата, ще взема матрица 3 на 2. Значи 1, –1, 2, 3, 7, 0. Това ще е равно на – по определение просто умножавам числото по всеки вектор-стълб. Значи 5 по 1, 2, 7. Колко е това? Това е просто 5 по всеки елемент. Значи 5 по 1 е 5. 5 по 2 е 10. 5 по 7 е 35. Следващият стълб ще бъде 5 по този стълб, което е 5 по всеки от елементите му. Значи 5 по –1 е –5. 5 по 3 е 15. 5 по 0 е 0. Това е супер лесно. Буквално, ако се върнем към това определение, можем да дефинираме умножението със скалар като матрица. Можем също да дефинираме с по А като равно на – ако кажем, че това е представяне на А, на скалара с по всеки от елементите на А. Това е. Значи е с по а11, с по а12, и така до с по а1n. И така отдолу по същия начин, с по а21 и така нататък, до с по am1, а после, ако слезем надолу по диагонала, ще бъде с по аmn. Буквално взимаш числото и го умножаваш по всеки елемент на матрицата А. И това е всичко, което правиш. Надявам се, че това ти проясни нещата, или може би това беше просто преговор на неща, които са учени в гимназията.