Пример за първообраз и ядро

Дадена е някаква трансформация от R2 в R2. Реално тя е просто умножение по матрица. Знаем, че всички линейни трансформации могат да бъдат изразени като умножение по матрица, но тази конкретно е равна на матрицата [1; 3; 2; 6] по произволен вектор от първоначалното ни множество. По [х1; х2]. Сега да кажем, че имаме някакво подмножество на множеството на образите. Ще го начертая ето тук. Значи множеството на образите изглежда ето така. Това е R2. Разбира се нашата функция или нашата трансформация изобразява елементите на R2 в елементите на нашето множество на образите, което също в случая е R2. Мога да покажа изобразяване в самото него, но за да остане по-просто ще начертая тук множеството на образите. Нашата трансформация изобразява – всеки елемент тук трансформацията го свърза или го изобразява в R2. . Какво ще стане, ако вземем някакво подмножество на R2, нека то да съдържа два вектора, нулевия вектор в R2, и вектор [1;2]. Значи това буквално е тази точка тук. Ще използвам различен цвят. Да кажем, че това е нулевият вектор в R2. Няма да ги чертая. Просто показвам, че те са тук, те са в R2. Това е нулевият вектор, и да кажем, че това тук е вектор [1;2]. - Сега искам да разбера кои са всички вектори в първоначалното множество, чиито трансформации се изобразяват в това подмножество. Какво се изобразява в тази точка? Искам да знам, един вид искам да намеря първообраза на S. Значи първообразът на S, но трябва да внимаваме, първообразът на S под Т. Казах, че трябва да внимаваме, защото, когато казваме първообраз на нещо, без да уточним при каква точно трансформация, това предполага, че... Когато кажеш образ на нещо, това означава, че имаш предвид образа на цялата трансформация, както ти показах, мисля, че беше преди два клипа. Но когато вземеш образа или първообраза на едно множество, трябва задължително да уточниш при коя трансформация. Значи търсим първообраза на това подмножество на нашето множество на образите при трансформация Т. Ще запиша това като Т на степен –1 (обратно) от S. В последното видео видяхме, че за всички тези хиксове, за всички елементи от първоначалното множество, трансформацията на тези хиксове принадлежи на подмножество на множеството на образите, на които се опитваме да намерим първообразите. Нали? Има ли друг начин да запишем това? Можем да го запишем – опитваме се да видим всички хиксове в нашето първоначално множество, които... нека това да бъде А, тази матрица А. Значи А по х принадлежи на S. Това означава, че А по х трябва да е равно на това или трябва да е равно на това. Това означава, че А по нашия вектор х трябва да е равно на нулевия вектор. Или А по нашия вектор х трябва да е равно на този вектор [1;2]. Това твърдение е равнозначно на това твърдение ето тук. ... Само го направих малко по-очевидно по отношение на нашата конкретна трансформация А по х. И по отношение на нашето конкретно множество. Нашето множество съдържа само два вектора. Ако искам да определя първообраза на S... Значи пишем, че първообразът на S под Т – Това множество ето тук. Просто трябва да намерим всички вектори х, които удовлетворяват тези две равенства ето тук. Това равенство – трябва да намерим всички х, такива, че удовлетворяват... първото отдясно тук е матрицата [1;3;2;6] по х1;х2 е равно на нулевия вектор. Това е това равенство ето тук. Трябва да намерим всички решения на това равенство. Може би вече се досещаш. Всички решения на това равенство, всички х, които го удовлетворяват, това е нулевото пространство на тази матрица. Мисля, че трябва да го запиша отстрани. Но това не е единствено. Трябва да решим и това ето тук. Ще използвам синьо. Значи първообразът на S под Т ще бъде всички решения на това плюс всички решения на [1;3;2;6] по [х1;х2] е равно на [1;2]. Сега можеш просто да решим това с една разширена матрица. Значи моята разширена матрица ще бъде [1;3;2;6;0;0]. А тук разширената матрица ще бъде [1;3;2;6;1;2]. Сега да приведем това в ешелонна форма по редове. Ще заместя втория ред с втория ред минус 2 по първия ред. Какво ще получим? Първият ред остава същия. [1;3;0]. Ще го направя едновременно. Ще реша тези системи успоредно. Първата система казва, че първият ред остава същия. [1;3;1]. И в двата случая, понеже искам само да получа отляво разширената матрица в ешелонна форма, мога да използвам еднакви операции с редовете. Значи замествам втория ред с 2 по първия ред. Значи 2 минус 2 по 1, това е 0. 6 минус 2 по 3 е 0. И, разбира се, 0 минус 2 по 0 е 0. Тук 2, минус 2 по 1, е 0. 6, минус 2 по 3, е 0. 2, минус 2 по 1, е 0. Получаваме всички тези нули, и всъщност сме готови. Приведохме двете разширени матрици в ешелонна форма. ... Как сега да намерим всички х1 и х2, които удовлетворяват това? Виждаме, че първите стълбове ето тук са водещи стълбове. Те са свързани с нашата променлива х1, значи х1 е водеща променлива. Знаем, че вторият стълб не е водещ стълб. Това е така, защото той не съдържа единици. Той е свързан с х2. В такъв случай той не е водещ, което означава, че х2 е свободна променлива. Което означава, че можем да дадем на х2 произволна стойност. Да присъдим някаква стойност на х2. х2 е равно на t, като t е реално число. В този случай на колко ще е равно х1? Съгласно горното равенство – нека да го напиша. Ако се върнем ето тук, това означава, че х1 плюс 3 по х2 равно на 0. Това тук горе показва, че х1 плюс 3 по х2 равно на 1. Ако х2 е равно на t, тогава това равенство става х1 плюс 3t равно на 0. Изваждаме 3t от двете страни и получаваме, че х1 е равно на –3t. После от това равенство получаваме, че х1 е равно на... ако заместим х2 с t, тогава х1 е равно на 1 минус 3t. Сега ще запишем множеството на решенията като вектор. Множеството на решенията на това ето тук, първото равенство, ще бъде [х1;х2] е равно на колко? Ще бъде равно на... х2 просто ще е равно на t по... ... Ще е равно на t. Ще го запиша ето тук. х2 е просто t по 1. То е равно просто на t. Така го определих ето тук горе. Тогава на колко е равно х1? То е равно на –3 по t. Ако сложа t тук като скалар (число), то е просто –3 по t. Значи това е решението на първото равенство. Понеже t е реално число, тогава S е просто произведение със скалар на вектора [–3;1]. И ако разгледаме този позиционен вектор, това ще бъде права в R2. Ще я начертая след малко. Значи това е решение на първото равенство. После решението на второто равенство, как можем да го намерим? То ще бъде, само да се уверя, че мога да виждам, то е х1; х2... да видим. х2 отново е просто t по 1. Ще го запиша ето така. Значи то е t по 1. Това е х2. Колко е х1? х1 е равно на 1, минус 3 по t. Ако умножим по –3, получаваме –3 по t. Но трябва да го извадим от 1. Или 1 плюс ((–3) по t). Сега можем да кажем, че цялото множество на решенията тук е равно на вектор 1, така че сега имаме 1 плюс –3 по t за х1. А тук можем да кажем, че това е 0. х2 е равно на 0 плюс t. Или х2 е равно на t. Значи това е множеството от решенията на второто равенство. Сега първообразът на S. Спомни си, че S беше просто тези две точки в нашето множество на образите. Първообразът на S при Т е всъщност всички хиксове, които удовлетворяват тези две равенства. Всъщност ще ги начертая. Ще включа инструмента за чертаене. С този инструмент нещата стават малко разхвърляни, но ще го начертая ето тук долу. Ще копирам и поставя тези два резултата. Сега поставям. Това са двата резултата. Взимам отново инструмента за писане. Сега мога да чертая ето тук. Да видим. Множеството от решенията за първото равенство са всички произведения със скалар на вектора [–3;1]. Векторът [–3;1] изглежда ето така. ... Това е вектор [–3;1]. Но множеството от решения съдържа всички произведения със скалар на вектора [–3;1]. Това тук е запетая (ние разделяме с точка и запетая). Нали? Ако взема всички произведения с число на вектора [–3;1], те ще изглеждат ето така. Ако умножиш това по 2, ще получиш минус 6, 2. ... Ще получиш ето това. Това са всички тези точки ето тук. Иска ми се да го начертая малко по-прегледно, но мисля, че схващаш идеята. Ще се получи една такава права. Това е това множество от решения ето тук. А какво представлява това множество от решения тук? Това е векторът [1;0]. Получаваме 1 и 0, това е ето тук. Плюс произведенията с число на минус 3;1. Значи плюс произведенията с число на това ето тук. Ако имаме само едно произведение със скалар на [–3;1], ще се озовем ето тук. Но ние искаме всичките му произведения по скалар, защото тук имаме това t. Значи ще получим накрая още една права, която има същия наклон, само че ще е малко изместена. Изместена с 1 надясно. Но какво означава всичко това? Спомни си, че искахме да намерим кои са всички вектори – само ще обърна малко този разграфен фон – в нашето първоначално множество, такива, че когато приложим трансформацията, те се изобразяват във вектори в нашето подмножество в множеството с образи. Образът им е или (0;0), или (1;2). И ние намерихме всички тези вектори, като решихме тези две равенства. Сега можем да видим, че тези две прави – когато включа разграфения фон, те се нанасят в тези точки. Когато тези тук, когато приложим трансформацията, аз ще я начертая върху същия чертеж. Когато приложим трансформацията, те се изобразяват в точките (0;0) и (1;2). Които са ето тук. Значи всички тези точки, когато приложим трансформацията, всъщност всички, които са сини, ще се нанесат в (0;0). Защото решихме това горното равенство. И всички тези в оранжево, когато приложим трансформацията, те ще се нанесат в точка (1;2). Тази синя права ето тук си има специално име. Аз го засегнах донякъде преди, нали? Всичко в тази синя права, нали? Ако нарека това множество ето тук, не знам – нека да бъде B от blue (синьо). ... Това е синята права. Това е това множество от вектори ето тук. Всичко ето тук, когато приложа трансформацията спрямо тези сини вектори, или ако намеря образа на това синьо множество под Т, всички те се изобразяват в нулевия вектор. Равно е на множеството на този нулев вектор ето тук. Видяхме го ето тук. Спомни си, когато – по-рано във видеото аз посочих – виж това множество ето тук. То е еквивалентно на нулевото пространство, нали? Нулевото пространство на една матрица са всички вектори, които, ако го умножим по тази матрица, ще получим 0. Тук е нещо подобно. Тази трансформация е дефинирана чрез матрица. И търсим кои са всички х, такива, че когато ги трансформираме, ще получим нулевия вектор? Идеята е, че това синьото тук, това се нарича ядро (kernel) на трансформацията Т. Понякога се записва съкратено като ker(T). Това буквално са всички вектори, такива, че ако приложим трансформацията... ще го запиша по този начин. Това са всички вектори от нашето първоначално множество, което беше R2, такива, че трансформацията на тези вектори е равна на нулевия вектор. Това е определението за ядро на трансформацията. И ако трансформацията е равна на някаква матрица, умножена по вектор, а ние знаем, че всяка линейна трансформация е равна на произведение на вектор по матрица, тогава ядрото на Т е равно на нулевото пространство на А. Видяхме това по-рано във видеото. Надявам се, че това ще ти бъде полезно.