Първообраз на множество

Да разгледаме една трансформация, която изобразява елементите на множество Х в множество Y. Знаем, че Х се нарича множество на първообразите (първоначално множество) на Т. Значи това е множеството Х, което изобразяваме в Y, Y е нашето множество на образите. Знаем, че Т е трансформация, такава, че ако вземем произволен член на множеството Х и го трансформираме, можем да го свържем с член на множеството Y. Ще го изобразим в някой член на множеството Y. Ето това прави трансформацията или функцията. Сега, ако имаме някакво подмножество на Т, нека това да бъде А, (Сал допуска грешка, А е подмножество на Х) което е подмножество на Т. (да се разбира "подмножество на Х) Ще начертая А по следния начин. Този начин на записване тук означава подмножество, някакво подмножество на Т. Ние дефинирахме идеята за образ на А под Т (образ под трансформация) ето така, което е образът на А, нашето подмножество А под Т. Дефинирахме това да е равно на множеството – ще го запиша тук – множеството от всички... където, ако взема всеки член на нашето подмножество, това е множеството от всички техни трансформации. И, разбира се, тези ще бъдат някакво подмножество на Y ето тук. Значи взимаме всички членове на А. Този е един от тях. Намираме трансформацията му. Това е тази точка. Взимаме друг член на А. Това тук цялото е множеството А. Взимаме друг член на множеството А. Намираме трансформацията му. Може би е тази точка. И продължаваме по същия начин. Намираме трансформацията му. Може би е тази точка тук. После множеството от всички тези трансформации, може би е този балон тук, наричаме това образ на А под Т. Ами ако искаме да разгледаме обратната задача? Ако искаме да започнем с множеството Y, което е множеството на образите? Значи това е Y, и ние имаме някакво подмножество на Y. Да наречем S това подмножество на множеството Y. Значи S е подмножество на множеството на образите Y. Любопитен съм кое подмножество на Х се изобразява в S. Интересува ме кое е това множество. Търся кое е множеството от всички вектори, които принадлежат на моето първоначално множество, които са изобразени, или трансформацията на тези вектори води до получаването на подмножеството S. Значи казвам: Виж, ако взема първоначалното множество, трябва да има някакво подмножество от вектори ето тук, такова, че ако взема произволен член от множеството, той ще се изобрази в тези тук, и това точно дефинирам тук. Това е равно на това. Буквално казвам, кои са всички членове на Х, които са изобразени в S? Сега искам да направя едно много фино уточнение, за да поясня нещо. Не казвам, че всяка точка в S задължително представлява образ. Възможно е да има някакъв елемент на S тук, в който не се изобразява никой елемент на Х при трансформацията Т. Това е нормално. Просто казвам, че всички елементи на това множество се изобразяват в някакви елементи на S ето тук. И това множество ето тук наричаме – означаваме го като Т на степен –1 от S, като това означава първообраз на S под Т. Значи това тук е S. Това е първообразът на S под Т. Това е логично. Образът – отиваме от подмножество на множеството на първообразите в подмножество на множеството от образите. Първообразът – тръгваме от подмножество от множеството на образите и търсим кое подмножество от първоначалното множество се изобразява в това подмножество на множеството от образите? Сега ще ти задам един интересен въпрос, това са един вид бонус-точки. Кой е образът на нашия първообраз на S? Ако вземем този елемент, това всъщност е образът на този елемент ето тук, нали? Тази част ето тук е първообразът на S ето тук. Сега, ако вземем образите на тези – ако вземем всеки член на това, в кои вектори ще се изобразят те? Всички те ще бъдат в S, така че те ще се изобразят в S, но не е задължително да се изобразят във всички елементи на S. Значи това ще бъде някакво подмножество на S. Това тук ще бъде някакво подмножество на оригиналното множество S. То не е задължително да съвпада с S, то е негово подмножество. И това е причината, това е обяснението откъде идва това означение. Можем да построим подмножество на S, като вземем образа на първообраза на S. Можем да разглеждаме образа и първообраза един вид като взаимно неутрализиращи се и това е вероятно обяснение за този начин за записване, причина за въвеждането му. Всичко това е много абстрактно. В следващото видео ще изчисляваме или ще определяме първообраза на някакво подмножество на множеството на образите.