Сборове и скаларни произведения на линейни трансформации

Дадени са две трансформации – трансформацията S, която е функция, или това е трансформация от Rn в Rm, и трансформацията T, която също така е трансформация от Rn в Rm. Сега ще дам определение какво представлява сборът на две трансформации. Това е определение. Ще го запиша като определение. Ще дам определението на сбора на две трансформации. Ако съберем две трансформации, сборът на две трансформации, които действат на даден вектор х – това е определението – това е равно на първата трансформация, действаща върху вектор х, плюс втората трансформация, действаща върху вектор х. Очевидно резултатът ще бъде вектор в Rm, значи това цялото нещо ще бъде вектор в Rm. По определение сборът на трансформациите S + T също е трансформация, защото получаваме резултат в Rm. Това е трансформация от Rn в Rm. Сега ще дам още едно определение. Ще дефинирам... ще използвам зелено. Или може би цикламено. Ще дефинирам умножението на една трансформация по скалар (число). Ще използвам с, което е произволно реално число. с по трансформацията S на някакъв вектор х е равно на с по трансформацията на вектора х. По същия начин, трансформацията на х очевидно ще бъде в Rm. Ако умножа един вектор в Rm по някакъв скалар, ще получа друг вектор в Rm. За наше щастие, това определение на произведение със скалар... ако имаме тази нова трансформация, която е с по S, тя също изобразява от Rn в Rm. Това пак е вектор в Rm, а това пак е вектор в Rn. Добре. Сега да видим какво се случва, ако разгледаме съответните матрици за тези трансформации. В предишни уроци сме виждали, че линейните трансформации могат да бъдат представени като произведение на матрица с вектор. Нека трансформацията S на вектор х да е еквивалентно на матрицата А по вектор х. И да кажем, че Т от х е равно на матрицата В по вектор х. И, естествено, понеже и двете са образи от Rn в Rm, и двете матрици ще бъдат с размери m по n. И двете матрици са m по n. Сега да се върнем при тези определения, които току-що формулирахме. Какво представлява S от Т от х? Това може да бъде записано като... ще го напиша по следния начин. Ще използвам същия цвят. Значи имаме S... ще използвам червено. Може би ще го направя ето тук. Имаме S плюс Т – това е главна буква Т. (S плюс Т) от х – просто го преписвам ето тук – е равно на S(х) плюс Т(х) или трансформацията Т(х), което знаем, че е равно на тези две неща. Значи това е равно на този член ето тук. Трансформацията S(х) е равна на А по х. Това е ето това тук. После трансформацията Т(х) е равна на В – матрицата В по вектор х. Какво представляват тези неща? Ще напиша двете матрици във вид, който ти е познат в момента. Да кажем, че матрицата А е просто съвкупност от вектор-стълбове: а1, а2, и така чак до аn. По същия начин – матрицата В е просто съвкупност от вектор-стълбове. Матрицата В е b1, b2, и така нататък до bn. Всеки вектор-стълб има m компонента, по един на всеки ред, и има n на брой вектор-стълбове, защото има n стълба във всеки от тези вектори. Когато умножаваме това по... искам да е много ясно. Ако умножа аn, вектор х ще изглежда ето така. Вектор х е х1, х2 и така нататък чак до хn. И ние сме показвали това много, много пъти. Това е много удобен начин да разглеждаме произведение на матрица с вектор. Но знаем, че това произведение може да бъде записано като всеки от тези скаларни членове на х по съответния вектор-стълб на матрицата А. Правил съм го, и това вероятно е петото видео, в което го правя. Значи това може да се запише като х1 по а1, плюс х2 по а2, и така нататък до хn по an, равно на това. Ето така може да се представи А по х, като един вид претеглена комбинация на тези вектор-стълбове, където всеки коефициент е всяка от стойностите на вектор х. И сега трябва да събера тези с В по х. В по х, по същата логика, значи плюс, и след това ще бъде... ще използвам син цвят. Това ще бъде х1 по b1, плюс х2 по b2, и така нататък до xn по bn. На какво е равно това? Знаем, че за произведението на вектор с число важи дистрибутивното свойство, така че можем да съберем тези два члена ето тук и да изнесем пред скоби х1. Какво получаваме? Получаваме, че е равно на... този целият израз ето тук, ще направя една черта тук, защото не казвам, че матрицата е равна на това. Казвам, че това е равно на това, е равно на този член, плюс този член, което е равно на х1 по (а1 + b1), плюс х2 по (а2 + b2) – просто събирам тези два члена – (а2 + b2) и така нататък, чак до плюс хn по (аn + bn). И на какво е равно това? Това е равно на една нова матрица – хайде да дефинираме новата матрица. Това е равно на една нова матрица – ще я направя голяма – по нашия вектор х. Ще направя вектор х в зелено. Вектор х, знаем, че той е х1, х2, и така нататък до xn. Но каква ще бъде новата матрица? Това произведение ще бъде всеки от тези скаларни членове по вектор-стълбовете на тази матрица. Значи тези тук са стълбовете на матрицата ни. Това нещо е еквивалентно на матрица, в която първият стълб ето тук е а1 плюс b1. Реално събираме тези вектор-стълбове на тези две матрици. Вторият стълб ето тук – ще направя една черта ето тук, за да показва, че тези неща са различни изрази. Вторият стълб ще бъде а2 + b2, и после просто ще има много такива, и последният стълб ще бъде просто аn плюс bn. Това, което се случи, е, че по определение, ние събрахме тези две трансформации, аз просто използвах техните съответни матрици. И спомняш ли си какво казах? Сборът на тези две трансформации създаде нова трансформация, която по принцип е някаква матрица по моя вектор, и тази матрица всъщност е сумата от съответните вектор-стълбове на нашите две първоначални трансформационни матрици, нали така? Тази нова матрица, която получихме, аз още не съм дефинирал сбор на матрици, но ние получихме това просто като използвахме събиране на вектори. Тази матрица е съставена от сбора на съответните вектори на матриците А и В. Но защо са всички тези усилия? Тук мога да направя едно ново определение, което ще напасне всичко. Ще дефинирам тази матрица тук като А плюс В. Значи новото определение за матрица е, че ако имам две матрици, които са с еднакъв размер, и те трябва да имат еднакви размери, тогава по определение А плюс В е равно на нова матрица, в която стълбовете са сбор на съответните им стълбове. Значи а1 + b1 и така нататък, това, което направих тук, няма да го преписвам, чак до an + bn в последния стълб. Това вероятно ти е познато от уроците по алгебра 2, но исках да го направя тук, защото това ти показва логиката на това. Сега можем да кажем, че сумата на две трансформации, (S + Т) от х е равно на S(х) – това е вектор – S(x) плюс Т(х), което знаем, че е равно на А по х, плюс В по х, и сега можем да кажем, че е равно на, защото то е равно на някаква нова матрица, която сега наричаме (А + В) по х, нали? Просто показах, че тази част следва от определението на трансформациите, за някаква трансформация, която дефинирах по-рано в това видео. И след като преработихме това и изразихме тези произведения като произведения на или като претеглени комбинации на вектор-стълбовете на тези матрици, и получихме тази нова матрица. И аз дефинирах тази нова матрица като А плюс В. Направих го благодарение на това нейно свойство, защото сега сборът на две линейни трансформации, действащи върху х, е равен на – когато го разглеждаш като произведение на матрица с вектор, това е сборът на техните две матрици. Сега да направим същото нещо с умножението по скалар. Знаем, че "с" по трансформацията на х по определение аз казах, че е с по трансформацията на х. Значи с по някакъв вектор, което е в Rm. Знаем, че това S(х) може да се представи като А по х, така че това е с по А, по х. Знаем, че А по х може да се представи като равно на с по х1 по първия вектор-стълб, значи по а1, плюс х2 по а2 и така нататък, чак до xn по an. Какво представлява това? Това е просто умножение по скалар. Можем да разкрием скобите и да умножим по с. Какво ще получим тогава? Получаваме х... като за умножението е в сила асоциативното свойство. с е скалар, х1 е скалар, значи можем да ги разместваме, ако желаем. Знаем, че за умножението по скалар важи дистрибутивното свойство, така че можем да напишем, че това е равно на х1 по с по а1, плюс х2 по с по а2, и така нататък, чак до xn по c по an. На какво е равно това? Това е равно на някаква нова матрица по х. Това е равно на някаква нова матрица – ще взема това тук – по х1, х2 и така до xn. Какво представлява тази нова матрица? Какви са стълбовете на новата матрица? Стълбовете сега са това, това и така нататък, до това. Значи стълбовете на новата матрица са с по а1, с по а2, и така нататък до с по an. Защо правя всичко това? Няма ли да е хубаво – аз вече казах, че по определение произведението със скалар на трансформацията е равно на този скалар по трансформацията на всеки вектор, който въведем в тази трансформация. И, разбира се, това е равно на с по А по х. Сега, ще е хубаво, ако мога да дефинирам това като някаква нова матрица по вектор х, нали? Защото и това също ще бъде линейна трансформация. Тази нова матрица ще дефинирам сега. Отново ще дам определение. Ще дефинирам тази нова матрица като с по А. Значи сега имаме това определение, че с по А – ако умножа произволно число по някаква матрица А, това просто е равно на с по всеки от вектор-стълбовете на матрицата. Знаем какво се случва, когато умножим скалар по всеки... само да запиша това. Това е равно на с по а1, с по а2 – просто преписвам това, което съм записал тук – и така до c по an. Но какво означава това? Знаем, че когато умножаваме с по вектор, умножаваме скалара по всеки от елементите на вектора. Значи това е еквивалентно на умножаването на с по всеки елемент в тази матрица ето тук. Може би сега си мислиш: "Хей, Сал, аз вече знам как – в часовете по алгебра в десети клас, или в девети клас, ние вече се занимавахме с умножение на скалар по матрица, или събиране на две матрици с еднакви размери. Защо хвърли целия този труд да извеждаш сбор на трансформации и сбор на матрици?" Направих всичко това, защото исках да разбереш, че тук няма нищо – искам да кажа, че е логично, но няма нищо във вселената, което налага матриците да бъдат дефинирани по този начин. Събирането на матрици, умножението на матрица с число, събирането на две трансформации. но аз исках да видиш, че математическият свят ги е създал по този начин, защото изглежда така има свойства, които са много полезни. Ето това беше целта на това видео. В следващото видео ще направя няколко умножения по скалар и събирания на матрици, за да се уверя, че си спомняш това, което е учено в 9 или 10 клас в часовете по алгебра, но ще установиш, че всъщност тези операции са много прости.