Доказателство, че матрицата А транспонирана по А е обратима

Дадена е някаква матрица А. Тя е с размери n x k. Да кажем, че това не е просто случайна матрица n x k. Тази матрица А съдържа куп стълбове, които са линейно независими. Значи а1, а2, и така нататък до аk са линейно независими вектор-стълбове. Това са линейно независими вектор-стълбове. Ще го запиша. а1, а2... всички вектор- стълбове на матрицата А... Чак тук до ak те са линейно независими. Какво означава това? Това означава, че единственото решение на х1 по а1 плюс х2 по а2, плюс... и така нататък, до xk по ak – единственото решение на това е всички х да бъдат нули. Значи всички хi трябва да са нули. Това означава линейна независимост. Друг начин да го запишем е, че всички решения на уравнението А по вектора [х1; х2;... хk] равно на нула са равни на нулевия вектор. Всички решения на това са всички тези елементи да бъдат равни на нула. Това е друг начин да го формулираме ето тук. Виждали сме го много пъти. Това тук е нулевият вектор. Значи, ако всички тези са нули, това е все едно да кажем, че единственото решение на А по х равно на нула е х да бъде нулевият вектор. Друг начин да го изразим – всичко това следва от факта, че тези стълбове са линейно независими. Значи тези стълбове са линейно независими – въз основа на това можем да кажем, че понеже единственото решение на А по х равно на 0 е равно на нулевия вектор, то следва, че нулевото пространство на А трябва да е равно на нулевия вектор. Или че това е множество, което съдържа само нулевия вектор. Всичко това е преговор. Сега, n x k. Не знаем размерите. Може да е, но може да не е квадратна матрица. Значи не знаем задължително дали тази матрица е обратима и всичко друго. Но може би можем да конструираме една обратима матрица от това. Да разгледаме А транспонирана по А. Матрицата А е n x k. Транспонираната матрица на А ще бъде k x n. Значи произведението А транспонирана по А ще бъде матрица k x k. Това е квадратна матрица. Това е добро начало да започнем изследването за обратимост на тази матрица. Да видим дали тя действително е обратима. Не знаем нищо за матрицата А. Знаем единствено, че нейните стълбове са линейно независими. Да видим дали произведението А транспонирана по А е обратима матрица. За да докажем дали една матрица е обратима, трябва да можем да покажем, че всичките ѝ стълбове са линейно независими, което означава, че тя е обратима. Ако имаме някакви... ще се върна към това в края на видеото. Но ако имаме квадратна матрица с линейно независими стълбове – спомни си, че линейно независимите стълбове съответстват на водещите стълбове, когато преобразуваме матрицата в ешелонна форма. Така че, ако имаме квадратна матрица, тогава ще има точно – ако това е матрица k x k, това означава, че ще имаме k – означава, че в ешелонната форма на матрицата ще има k водещи стълба и ще бъде k x k. Ще бъде квадратна матрица k x k. Има само една матрица k x k, която има k водещи стълба. Това е единичната матрица. Това е единичната матрица k x k. Ако извършиш някакви действия с ешелонната форма, и получиш единичната матрица, това ще означава, че матрицата е обратима. Може би трябваше да оставя това за края на видеото, но исках просто да ти го покажа. Ако можем да докажем, че – вече знаем, че квадратната... че матрицата, равна на А транспонирана по А, е квадратна матрица. Ако можем да докажем това, като знаем, че стълбовете са линейно независими, то произведението на матриците А транспонирана по А също е матрица с линейно независими стълбове, а щом стълбовете ѝ са линейно независими и тя е квадратна матрица, тогава това означава, че когато я преобразуваме в ешелонна форма, ще получим единичната матрица. Всичко това означава, че това е обратима матрица. Да видим можем ли да докажем, че всички стълбове на тази матрица са линейно независими. Да кажем, че имаме някакъв вектор v. Нека този вектор v да принадлежи на нулевото пространство на матрицата (А транспонирана по А). Това означава, че ако умножа (А транспонирана по А) по вектор v, ще получа нулевия вектор. Нали така? А какво ще се случи, ако умножа двете страни на това равество по транспонираната версия на този вектор? Ще получа v транспониран... всъщност ще го направя ето тук. Умножавам v транспониран по тази страна и v транспониран по тази страна. Можем да разглеждаме това като произведение на матрица с вектор. Нали? Или, принципно, ако умножим един вектор-ред по вектор-стълб, това всъщност е тяхното скаларно произведение. Значи тази дясна страна на равенството, това е скаларно произведение на нещо с нулевия вектор. Което просто ще бъде равно на нулевия вектор. А какво ще се случи тук от лявата страна? Виждали сме това и преди. Ако имаме транспонираната версия на... или можем да разглеждаме това като, макар това да е транспониран вектор, можем да го разглеждаме като... това е вектор-ред, но можем да го разглеждаме също и като матрица. Нали? Един вектор-стълб... Да кажем, че вектор v е матрица с размер k х 1. Вектор v транспониран ще бъде матрица с размери 1 х k. Виждали сме това вече – това е равно на произведението в обърнат ред – на транспонираната версия на обърнатото произведение. Ако умножим две матрици и после транспонираме резултата, това е равносилно да умножим в обратен ред транспонираните версии на двете матрици. Като знаем това, можем да заместим отдясно с (матрицата А по вектор v) транспонирано – умножаваме този вектор по А по v, по този вектор ето тук. И това е равно на нулевия вектор. Какво е това? Ако транспонирам някакъв вектор, да кажем, че това е някакъв вектор. Спомни си, въпреки че имам произведение на матрица с вектор тук, когато умножа матрица по този вектор, ще получа друг вектор. Значи това е вектор, и това е вектор ето тук. Ако взема някакъв вектор и умножа транспонираната му версия по този вектор... виждали сме това и преди. Това е същото като скаларното произведение на у по у. Тези две твърдения са идентични. Това ето тук е равно на скаларното произведение (А по v).(А по v). А на какво е равна дясната страна? Дясната страна ще е равна на 0. Всъщност ще направя една корекция тук. Когато умножим v транспониран по нулевия вектор, v транспониран ще има k елемента. После нулевият вектор също има k елемента. И когато извърша това умножение, то е равносилно на скаларно умножение. Това е скаларното произведение на вектор v и нулевия вектор. Значи това е скаларно произведение на вектор v и нулевия вектор, което е равно на 0, на числото нула. Значи това тук е скаларът 0. Искам да поясня това. Иначе няма смисъл. Значи дясната страна, когато умножа нулевия вектор по вектор v транспониран, ще получа просто числото нула. Тук няма нулев вектор. Следователно това (А по v).(А по v) ще бъде равно на 0. Можем също така да кажем, че дължината на вектор (А по v)^2 е равна на нула. Това означава, че (А по v) трябва да е равно на 0. Единственият вектор, който има дължина нула, е нулевият вектор. Следователно (А по v)... ще сменя цвета. Прекалено често използвам този цвят. Следователно знаем, че (А по v) трябва да е равно на 0, равно е на нулевия вектор. Това трябва да е равно на нулевия вектор, защото дължината му е нула. В началото казахме, че вектор v принадлежи на нулевото пространство на матрицата А транспонирана по А. Вектор v може да е произволен член на нулевото пространство на матрицата А транспонирана по А. Но от това допускане се оказа, че вектор v също така принадлежи на нулевото пространство на матрицата А. Че (А по v) е равно на нула. Ще го запиша. Ако вектор v принадлежи на нулевото пространство на матрицата А транспонирана по А, тогава вектор v принадлежи на нулевото пространство на матрицата А. Нулевото пространство на матрицата А, понеже стълбовете на А са линейно независими, то съдържа само един вектор. То съдържа само нулевия вектор. Ако този вектор принадлежи на нулевото пространство на матрицата А транспонирана, и ако принадлежи на нулевото пространство на матрицата А, тогава той може да бъде само едно единстено нещо. Те съдържат само един елемент. Тогава вектор v трябва да е равен на нулевия вектор. Казано по друг начин, произволен вектор v, който принадлежи на нулевото пространство на матрицата А транспонирана по А, трябва да бъде нулевият вектор. Или че нулевото пространство на матрицата А транспонирана по А е равно на нулевото пространство на А, което е равно само на този нулев вектор, който е в него. Каква ни казва този извод? Това означава, че единственото решение на А транспонирана по А, по някакъв вектор х е равно на нула – това ни казва, че единственото решение е вектор x е равен на нулевия вектор. Нали? Защото нулевото пространство на А транспонирана по А е равно на нулевото пространство на А. А то съдържа само нулевия вектор. Нулевото пространство е решението на това равенство. Значи щом единственото решение на нулевото пространство е това, това означава, че стълбовете на матрицата А транспонирана по А са линейно независими. Всъщност можем да напишем всички линейни комбинации на стълбовете, умножени по коефициенти елементите на вектор х. Ние всъщност го направихме в началото на видеото. Това е същата логика, която използвах тук горе. Ако всички тези стълбове са линейно независими, както казах тук горе, матрицата А транспонирана по А съдържа линейно независими стълбове, като тя е квадратна матрица, това е един вид по определение. Следователно знаем, че матрицата А транспонирана по А, ако трябва... ще го направя по следния начин. Това означава, че ешелонната форма на матрицата А транспонирана по А ще бъде равна на единичната матрица k x k, което означава, че матрицата А транспонирана по А е обратима. Което е много хубав резултат. Започнахме с матрица, която съдържа линейно независими стълбове, това не е просто някаква произволна матрица, не е някаква най-обикновена матрица. Тя съдържа линейно независими стълбове, но тя може да има всякакви странни размери. Не е задължително да е квадратна матрица. Но мога да конструирам една квадратна матрица от нея, матрицата А транспонирана по А. И вече знаем, че тя също съдържа линейно независими стълбове. Тя е квадратна матрица. Следователно тя е обратима матрица.