Графично представяне на лявото нулево пространство и векторното пространство, определено чрез вектор-редове

В последното видео разгледахме тази матрица А с размери 2 х 3, и определихме всички подпространства, които са свързани с тази матрица. Определихме нулевото ѝ пространство, векторното ѝ пространство, нулевото пространство и векторното пространство на транспонираната матрица на А, което можем да наречем също и ляво нулево пространство, както и векторното пространство, определено чрез вектор-редовете ѝ, или това, което е на практика линейната обвивка на редовете на матрицата А. Сега да запишем всичко това на едно място, защото осъзнах, че е малко разхвърляно, и да видим дали можем да онагледим как изглежда всичко това, особено връзките и зависимостите между тях. Ще копирам и ще поставя оригиналната матрица. Копирам, после слизам надолу и поставям ето тук, натискам бутона "постави". Да видим дали мога да намеря резултатите, които получихме в предходното видео. Значи векторното пространство на матрицата А е ето това тук. Ще го запиша. Това е векторното пространство. Това е базисният вектор в R2, вектор [2;4]. Ще копирам това. Копирам и премествам тук долу. Команда "Постави". Това беше векторното пространство, определено по вектор-стълбове. Ще го запиша. Това е векторното пространство на матрицата А. То е равно на това тук. Какво друго знаем? Знаем, че лявото нулево пространство има базов вектор [2;1]. Ще го запиша. Лявото нулево пространство или нулевото пространство на транспонираната матрица – можем да го формулираме и по двата начина – е равно на линейната обвивка в R2 на вектора [2;1]. А какво беше нулевото пространство? Определихме нулевото пространство в предишното видео. Ето го. Това е линейната обвивка на тези два R3 вектора. Ще го копирам и ще го поставя. Натискам "Копирам". Ще се преместя надолу. Ще го поставя. Значи това тук е нашето нулево пространство. И накрая, какво беше векторното пространство, определено чрез вектор-редовете? или векторното пространство на транспонираната матрица, определено чрез вектор-стълбове? Векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матица е линейната обвивка на този R3 вектор тук, ето този тук. Ще копирам и ще поставя. Копирам, премествам се надолу, мога да го поставя, ето така. Да видим можем ли да ги представим графично сега, когато всички са на едно място. Първо, ако си представим една трансформация Х, която е равна на А по х, тогава трансформацията ще изобразява откъде? х принадлежи на R3, значи множеството на първообразите е R3. Това ще бъде изобразяване от R3 и после отиваме в R2, защото тук имаме два реда, нали? Умножаваме една матрица 2 х 3, по вектор 3 х 1, и ще получим вектор 2 х 1, значи е изобразяване в R2. Това е множеството на образите. Да начертаем множеството на първообразите и множеството на образите. Тук ще ги направя съвсем общо. R3 е множеството на първообразите. Множеството на образите ще бъде R2, ето така. Т е изобразяване, или можеш да си представиш, че А е изобразяване на произволен вектор тук и произволен вектор тук, когато умножим матрицата с вектора. Какво е векторното пространство на А, представено чрез вектор-стълбовете? Векторното пространство на А е линейната обвивка на вектор [2; –4]. Това е вектор в R2. Това е подпространство на R2. Можем да запишем това. Ще го запиша. Значи векторното пространство на матрицата А са просто всички вектори, чиято линейна обвивка е ето това. Разбрахме, че тези вектори са просто мащабирани версии на този първия вектор, или можем да подходим и по обратния начин. Можем да кажем, че този вектор и този вектор са мащабирани версии на този вектор. Така че базисът е съставен само от един от тези вектори. Нужен ни е само един от тези вектори, така че това е равно на това. Значи векторното пространство е подмножество на R2. Кое друго е подмножество на R2? Лявото нулево пространство. Лявото нулево пространство също е подмножество на R2. Всъщност ще ги начертая. Няма да е супер точно, но ще си ги представиш. Ако начертая вектор [2;4]... ще направя координатните оси. Ще се преместя малко. Ако имаме вектор... ще начертая... опитвам се да вложа максимално старание. Това е вертикалната ос. Това е хоризонталната ос. После – как изглежда линейната обвивка на векторното пространство? Чертаем вектор [2;–4] – значи отиваме едно, две, а след това се преместваме на едно, две, три, четири. Ето така изглежда този вектор. Линейната обвивка на този вектор практически са всички мащабирани негови версии, или негови линейни комбинации, но това са комбинациите само на един вектор, така че това са всички мащабирани версии на този вектор. Ако искаме да я начертаем, това ще е просто една права, която се определя от всички линейни комбинации на този вектор. Това е графичното представяне на векторното пространство на матрицата А. Сега да видим лявото нулево пространство на матрицата А, т.е. нулевото пространство на транспонираната матрица. Те са едно и също нещо. Видяхме защо в предишното видео. И как изглежда това? Лявото нулево пространство е линейната обвивка на вектор [2;1]. Значи ако това тук е 2, а после 1 нагоре, това е графиката на вектор [2;1], който изглежда ето така. Ще го направя в различен цвят. Ето така изглежда този вектор. Векторът изглежда ето така, но, разбира се, ние търсим линейната му обвивка, така че тя включва всички негови линейни комбинации. Всички линейни комбинации на един вектор получаваме, просто като го умножим по най-различни скалари, така получаваме всички произведения със скалар на този вектор. Ще го начертая ето така. Ще изглежда ето така. Първото нещо, което може би забелязваш – ще го напиша. Това е лявото нулево пространство на матрицата А или нулевото пространство на транспонираната матрица А. То е равно на лявото нулево пространство на матрицата А. Всъщност, да го изразим чрез транспонираната матрица А (АТ). Това е нулевото пространство на транспонираната матрица А, което е лявото нулево пространство на матрицата А. Да изразим и векторното пространство на матрицата А чрез транспонираната матрица АТ. Това е равно на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на АТ, нали? Ако разгледаме вектор-стълбовете на матрицата А, нейната линейна обвивка, вектор-стълбовете на матрицата А съвпадат с вектор-редовете на транспонираната матрица АТ. Първото нещо, което забелязваме, когато представяме това графично по този начин, е, че тези две пространства изглеждат ортогонални помежду си. Изглежда, че са начертани в R2. Тук изглежда, че има ъгъл от 90 градуса. Ако искам да проверя това, всичко, което трябва да направя, е да ги умножа скаларно. Всеки вектор, който е във векторното пространство, взимаме произволен вектор, който е във векторното пространство, ще бъде равен на някакъв скалар "с" по вектор [2;–4]. Ще запиша това. Значи всеки произволен вектор тук... v принадлежи на... Искам това да е ето тук. Ще се преместя малко по-надолу. Да кажем, че вектор v1 принадлежи на векторното пространство. Това означава, че v1 ще бъде равен на произведението на някакъв скаларен множител по базисния вектор на векторното пространство, значи някакъв скаларен множител по този вектор. Можем да кажем, че е равен на с1 по вектор [2; –4]. Това е някакъв член на векторното пространство. Ако търсим член на лявото нулево пространство – ще го запиша ето тук. Да кажем, че това е вектор v2, който принадлежи на лявото нулево пространство, или нулевото пространство на транспонираната матрица, тогава какво означава това? Това означава, че v2 е равен на произведението на някакъв скалар по базисния вектор на лявото нулево пространство на [2;1]. Всеки вектор от векторното пространство може да се представи по този начин. Всеки вектор в лявото нулево пространство може да се представи по този начин. Сега – какво се случва, ако умножим скаларно тези два вектора? Ще го направя ето тук. Искам да спестя малко място за това, което ще правим в R3, а сега ще умножа скаларно тези два вектора. Значи v1. v2 е равно на... произволно сменям цвета – с1 по [2; –4] по с2 по [2;1]. Тези скалари – вече сме виждали това. Можем просто да кажем, че това е равно на с1 по с2, по скаларното произведение на векторите [2; –4] и [2;1]. И на какво е равно това? Това ще бъде равно на с1 по с2, по 2 по 2, което е 4, плюс –4 по 1, което е –4. Това е равно на 0, значи този целият израз ще бъде равен на нула. Това важи за всеки два произволни вектора, които принадлежат на векторното пространство и лявото нулево пространство. Те са взаимно ортогонални. Значи всеки член на векторното пространство ще бъде ортогонален на всеки член на лявото нулево пространство, или всеки член на нулевото пространство на транспонираната матрица, какъвто беше случаят в този пример. И се оказва, че това се отнася за всеки случай, че векторното пространство на една матрица, нейното ортогонално допълнение е лявото нулево пространство или нулевото пространство на нейната транспонирана матрица. Може би ще докажа това в следващото видео, и в по-следващото видео, но можеш да видиш, че графично случаят е точно такъв. Сега ще начертая другите двама герои, които разглеждаме. Това тук е нулевото пространство, което е линейната обвивка на тези два вектора в R3. Това е малко трудно за чертане – тези два вектора в R3. А какво представлява линейната обвивка на два вектора в R3? Всички линейни комбинации на две вектора в R3 образуват равнина в R3. Ще го начертая съвсем общо ето тук. Ако го начертая по най-общия начин – да видим. Значи това е равнина в R3, която изглежда ето така. Може би малко ще запълня равнината, за да си я представим по-добре. Това е нулевото пространство на матрицата А. Неговите базисни вектори са тези два вектора. Можем да си представим двата вектора приблизително така – чертая някакъв общ случай, но ако вземем някаква линейна комбинация на тези два вектора, ще получим всеки друг вектор, който лежи в тази равнина, която отива към безкрайност във всички посоки. Като, разбира се, началото ще бъде тук. Всичко това са валидни подпространства. А как изглежда векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А? Или векторното пространство на транспонираната матрица А? Това е линейната обвивка на този вектор в R3, но да видим нещо интересно за този вектор в R3. Каква е връзката между него и тези други два вектора? Може би не забелязваш веднага, макар че, ако се вгледаш отблизо, може би ще забележиш, че този вектор е ортогонален на тези два вектора. Обърни внимание, че ако умножим скаларно вектор [2;–1;–3] и вектор [1/2; 1;0] – какво ще получим? Ще получим 2 по 1/2, което е 1, плюс –1 по 1, което е –1, плюс –3 по 0, което е 0. Значи скаларното произведение на тези два вектора дава този вектор. После, ако умножа тези два вектора, какво ще получа? Имаме [3/2; 0; 1], умножено скаларно по... ще се преместя малко надолу. Не искам да пиша прекалено дребно – умножено скаларно по 1, умножено скаларно по вектор [2; –1;–3]. Във векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А, този път записах този базисен вектор. Може би не трябваше да им разменям местата. Но тук умножавам скаларно по този вектор, а тук умножавам скаларно по този вектор ето тук. Ако го сметнем, 3/2 по 2 е равно на 3, плюс 0 по –1 е 0, плюс 1 по –3 е –3, значи това е равно на нула. Фактът, че този вектор е ортогонален на тези два вектора на базиса означава, че той е ортогонален на всяка линейна комбинация от тези два вектора. Може би ще е полезно да видиш това. Да вземем някакъв член на нулевото пространство. Да кажем, че вектор v3 принадлежи на нулевото пространство. Това означава, че той е линейна комбинация от този вектор и този вектор. Това са двата вектора на базиса. Написах го тук горе. Това са двата базисни вектора. Трябва ми още място долу, затова малко ще се преместя. Това са двата базисни вектора. Това означава, че v3 може да се представи като някаква линейна комбинация на тези два вектора, които оградих в розово. И ще го запиша като а по [3/2; 0;1] плюс b по [1/2; 1; 0]. А какво ще се случи, ако умножа скаларно вектор v3 и произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете тук? Всеки произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, ще бъде произведение на този вектор ето тук. Това е базисният вектор на моето векторно пространство, определено чрез вектор-редове. Всъщност ще направя това. Да кажем, че вектор v4 принадлежи на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което е векторното пространство на транспонираната матрица А. Това означава, че v4 е равен на – да кажем на някакъв мащабиращ множител. Много често използвам с. Сега ще използвам d. Да кажем, че е d по нашия базисен вектор. d по вектор [2; –1; 3]. Какво е v3, който е просто произволен член на нулевото пространство, умножен скаларно по v4, който е произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редове? На какво ще е равно това? Това ще е равно на това тук... Ще го запиша по следния начин. а по [3/2;0;1] плюс v по [1/2;1;0], умножен скаларно по d по [2;–1;3]. И на какво ще е равно това? Знаем всичко за свойствата на скаларното произведение на вектори. Можем да разкрием скобите и да умножим, после да изнесем скаларите пред скоби. Значи това ще е равно на... ще прескоча няколко стъпки, но това ще е равно на – а по d, по [3/2; 0;1] умножен скаларно по вектор [2; –1;3] – разкриваме скобите – плюс b по d, по вектор [1/2; 1;0] умножен скаларно по вектор [2;–1;3]. Това е скаларно произведение. Само умножих по този член тези два члена тук. Вече знаем на какво са равни тези скаларни произведения. Пресметнахме го ето тук. Това скаларно произведение е това скаларно произведение. Само сме сменили реда, значи това е равно на 0. Това скаларно произведение е това скаларно произведение, така че то също е 0. Произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редове, умножен скаларно по произволен член на нулевото пространство, дава 0, или произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редове, е ортогонален на всеки друг член на нулевото пространство. Направих всичко това, за да можем да го визуализираме. Ние току-що видяхме, че произволен член на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, което е линейната обвивка на този вектор, е ортогонален на произволен член на нулевото пространство. Значи векторното пространство, определено чрез вектор-редове, е само една права в R3, защото това е кратно на един вектор. Ще изглежда ето така. Това ще бъде права, която след това може минава отзад. Вече не се вижда. Ще изглежда ето така, но ще бъде ортогонална. Ще я начертая. Значи тази розова права тук в R3, това е нашето векторно пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А, което е равно на векторното пространство на транспонираната матрица А, защото редовете на матрицата А са идентични на стълбовете на АТ, и векторното пространство, определено чрез вектор-редовете е просто пространството, чиито базисни вектори са вектор-редовете. А това тук е нулевото пространство на матрицата А, което е равнина. Неговите базисни вектори са два вектора в R3. Можем също така да го наречем ляво нулево пространство на транспонираната матрица А. В предишното видео не използвах този термин, но те са симетрични, нали? Ако нулевото пространство на транспонираната матрица А е лявото нулево пространство на А, тогава нулевото пространство на А е лявото нулево пространство на АТ, което е интересен резултат. Обърни внимание, че тук имаме векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на А, което е ортогонално на нулевото пространство на А. А тук имаме векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на транспонираната матрица А, което е ортогонално на нулевото пространство на АТ. Или можем да кажем, че лявото нулево пространство на матрицата А е ортогонално на векторното пространство, проделено чрез вектор-стълбовете на матрицата А. Или можем да кажем, че лявото нулево пространство на транспонираната матрица А е ортогонална на векторното пространство, определено от вектор-стъалбовете на АТ. Това са много интересни резултати, по принцип. И както казах тук, тук изглежда, че тези са ортогонални. Те също са ортогонални. Това не е някакво странно съвпадение. В следващите едно или две видеа ще ти покажа, че това пространство, това розово пространство е ортогонално допълнение на нулевото пространство тук, което означава, че то представлява всички вектори, които са ортогонални на нулевото пространство. Тези две пространства са ортогонални допълнения едно на друго. Всяко от тях включва всички вектори, които са ортогонални на другото в техните съответни пространства.