Рангът на една матрица А е равен на ранга на матрицата А транспонирана

Преди няколко урока казах, че рангът на една матрица А е равен на ранга на нейната транспонирана матрица. Но го формулирах малко повърхностно. Беше в края на видеото и аз бях вече изморен. Всъщност беше в края на деня. Затова си мисля, че може би си заслужава да отделим малко повече внимание на това, защото това е едно важно свойство. То ни помага да разберем малко по-добре всичко, което учим. Хайде да видим... Всъщност ще започна с ранга на транспонираната матрица А. Рангът на транспонираната матрица А е равен на размера на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на АТ. Това е определението за ранг на матрица. Размерът на векторното пространство на транспонираната матрица А е броят на векторите в базиса на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на АТ. Ето това е този размер. За всяко подпространство трябва да определим колко базисни вектори са нужни за това подпространство, преброяваме ги и това е нашият размер. Значи това е броят на базисните вектори на векторното пространство на транспонираната матрица А, което, разбира се, е същото нещо – виждали сме го много пъти и като векторно пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А. Нали? Вектор-стълбовете на матрицата АТ са еднакви с вектор-редовете на матрицата А. Това е така, защото разменяме редовете и стълбовете. Как можем да определим броя на базисните вектори, които са ни нужни за векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на АТ, или векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А? Да помислим какво представлява векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на транспонираната матрица А. То е еквивалентно на... да кажем, че... ще начертая матрицата А ето така. Това е някаква матрица А. Да кажем, че тя е матрица m x n. Ще я представя като съвкупност от вектор-редове. Мога да я запиша и като вектор-стълбове, но сега ще използваме вектор-редове. Имаме първи ред. Това са транспонираните вектор-стълбове. Това е първият ред, после имаме втори ред, и така нататък, чак до ред m. Нали? Това е матрица m x n. Всеки от тези вектори принадлежи на Rn, защото те съдържат елементи, които образуват n стълба. Значи матрицата А ще изглежда ето така. След това в транспонираната матрица А всички тези редове ще станат стълбове. Транспонираната матрица ще изглежда така: r1, r2 и така нататък до rm. Това ще бъде матрица n x m. Разместваме тези букви. Всички тези редове стават стълбове. Нали? Очевидно векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете – а може и да не е толкова очевидно – векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на АТ е равно на линейната обвивка на r1, r2... rm. Нали? Равно е на линейната обвивка на тези вектори. Или можеш алтернативно да го наречеш линейната обвивка на вектор-редовете на матрицата А. Затова се нарича векторно пространство, определено чрез вектор-редовете. Това е равно на линейната обвивка на вектор-редовете на матрицата А. Тези две неща са еквивалентни. Значи това е линейната обвивка. Това означава, че това е някакво подпространство, което съдържа всички линейни комбинации на тези вектор-стълбове, всички линейни комбинации на тези вектор-редове. Ако търсим базисът на това, значи търсим минималното множество от линейно независими вектори, които ще използваме, за да съставим някой от тези вектор-стълбове. Или които бихме използвали, за да конструираме някой от тези редове ето тук. А какво се случва, когато преобразуваме матрицата А в ешелонна форма? Извършваме поредица от операции с редовете, за да я преобразуваме в ешелонна форма. Нали? Извършваме операции по редове, и евентуално получаваме нещо такова. Получаваме ешелонната форма на матрицата А. Ешелонната форма на матрицата А ще изглежда приблизително така. Ще имаме няколко водещи реда, няколко реда, които съдържат водещи елементи. Да кажем, че това е един такъв ред. Този ще има нули чак до долу. Този ще има нули. Водещият елемент ще бъде единственият елемент, различен от нула, в неговия стълб. Всичко друго ще бъдат нули. Да кажем, че това е един такъв елемент. Това са няколко елемента, които са различни от нула. Тези са нули. Тук имаме друг водещ елемент. Всичко друго са нули. Да кажем, че всички други елементи не са водещи. Значи преобразуваме, докато получим някакъв брой водещи редове, или определен брой водещи елементи, нали? И стигаме дотук, като извършваме линейни операции с тези редове. Значи линейни операции по редове – спомни си, взимаме 3 пъти втория ред и го прибавяме към първия ред, който след това става нашият нов втори ред. И продължаваме така, докато получим тази форма. Значи тези тук са линейни комбинации на тези тук. Друг начин да го направим е да приложим наобратно тези операции по редове. Можем да започнем с тези тук. Можем също така лесно да изпълним операциите по редове по обратния път. Всяка линейна операция можем да я извършим наобратно. Правили сме го много пъти. Можем да извършваме операции с тези редове, така че да получим всички тези редове. Друг начин да го разглеждаме, е, че тези вектор-редове тук, тяхната линейна обвивка са всички тези... или всички тези вектор-редове могат да бъдат представени като линейни комбинации на нашите водещи редове ето тук. Очевидно, неводещите редове ще съдържат само нули. И всички те са безполезни. Но водещите редове, ако ги комбинираме линейно, очевидно можем да "обърнем" ешелонната форма и да получим отново нашата матрица. Значи всички тези тук могат да се представят като линейни комбинации на тези. А всички тези водещи елементи по определение – почти по определение – те всички са линейно независими, нали? Защото тук имам 1. Никой друг ред няма тук 1. Значи този ред определено не може да се представи като линейна комбинация на този ред. Но защо правя всичко това? В началото казах, че искам да определя базиса на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете. Търсим някакво минимално множество от линейно независими вектори, чиято линейна обвивка включва линейните обвивки на всички тези вектори. Ако всички тези вектори могат да бъдат представени като линейни комбинации на тези вектор-редове в ешелонната форма – или тези водещи редове в ешелонната форма – и тези вектори са линейно независими, тогава това определено е базис. Значи тези водещи редове тук, това е един от тях, това е вторият ред, това е третият ред, може би те са само три. Това е нашият конкретен пример. Това е подходящ базис за нашето векторно пространство, определено чрез вектор-редовете. Ще запиша това. Водещите редове в ешелонната форма на матрицата А са базис за векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А. А векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А съвпада с векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матрица А. Векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А съвпада с векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матрица А. Видяхме това много пъти. Ако искам да определя размера на векторното пространство, просто преброявам водещите редове, които имам. Значи просто преброяваме водещите редове. Значи размерът на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, който е равен на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на АТ, ще бъде равен на броя на водещите редове, които имаме в ешелонната форма на матрицата. Даже, още по-лесно, броят на водещите елементи, които имаме, защото на всеки водещ елемент съответства водещ ред. Значи можем да запишем, че рангът на транспонираната матрица А е равен на броя на водещите елементи в ешелонната форма на матрицата А. Нали? Защото всеки водещ елемент съответства на водещ ред. Този водещ ред е подходящ базис за цялото векторно пространство, определено чрез вектор-редове, защото всеки ред може да бъде линейна комбинация от тези вектор-редове. И понеже всички тези са възможни, тогава всеки от тези вектори могат да бъдат конструирани, тези вектори могат да бъдат конструирани. Добре. И какъв е рангът на матрицата А? Това е рангът на транспонираната матрица А, който досега определяхме. Рангът на матрицата А е равен на размера на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата А. Или можем да кажем, че това е броят на векторите в базиса на векторното пространство на матрицата А. Да вземем същата матрица А, която използвахме преди, но сега да я представим като вектор-стълбове – с1, с2 до сn. Тук имаме n стълба. Векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете е подпространството, чиито базови вектори са всички тези вектори тук, нали? Това е линейната обвивка на всички тези вектор-стълбове. Значи векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на А е равно на линейната обвивка на с1, с2... сn. Това е определението. Но ние искаме да знаем броят на базисните вектори. И вече сме виждали – правили сме го много пъти – кои може да са подходящите базисни вектори. Ако преобразувам матрицата в ешелонна форма, и ако имаме няколко водещи елемента, съответно водещи стълбове, значи няколко водещи елементи и съответните им водещи стълбове, ето така. Може би този тук, и после може би този не е водещ, после този тук е водещ. Значи имаме определен брой водещи стълбове. Ще използвам различен цвят. Когато преобразуваме матрицата А в ешелонна форма, научихме, че базисните вектори, или базисните вектор-стълбове, които образуват нашето векторно пространство, са вектор-стълбовете, които съответстват на водещите стълбове. Значи първият стълб е водещ стълб, значи този стълб може да бъде базисен вектор. Вторият стълб е – значи това може да е водещ стълб. Или може би четвъртият стълб ето тук, значи този стълб може да е водещ вектор. Значи, по принцип, просто си казваш, че ако искаш да преброиш броя на базисните вектори – защото дори не е задължително да знаем кои са те, за да определим ранга на матрицата. Трябва да знаем само техния брой. И затова казваме, че за всеки водещ стълб тук имаме базисен вектор тук. Можем просто да преброим броя на водещите стълбове. Но броят на водещите стълбове е равен просто на броя на водещите елементи, които имаме, защото всеки водещ елемент съответства на своя собствен стълб. Така че можем да определим, че ранга на матрицата А е равен на броя на водещите елементи в ешелонната форма на матрицата А. И, както ясно виждаш, той е съвсем същият който доказахме, че е равен на ранга на транспонираната матрица А – размерът на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на транспонираната матрица А. Или размерите на векторното пространство, определен чрез вектор-редовете на матрицата А. И сега мога да запиша нашия резултат. Рангът на матрицата А определено е равен на ранга на транспонираната матрица А.