Векторно пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата, и ляво нулево пространство

Дадена е тази матрица, която е с размери 2 х 3. И само като преговор – хайде да намерим нейното нулево пространство и нейното векторно пространство. Нулевото пространство на А е множеството от всички вектори х, които принадлежат на... да видим – има 3 стълба – значи принадлежат на R3, такива, че А по вектора е равно на нулевия вектор. Значи можем да го конструираме. Само трябва да намерим всички х, за които това е изпълнено в R3. Значи взимаме матрицата А: [2;–1; –3; –4; 2; 6]. Умножаваме я по някакъв произволен вектор в R3. Нека да е [х1; х2; х3]. И това произведение приравняваме на нулевия вектор. Ще получим нулевия вектор в R2. Защото имаме 2 реда. Умножаваме матрица 2 х 3 по вектор в R3, ще получим вектор 2 х 1 или матрица 2 х 1. Значи получаваме нулевия вектор в R2. За да го решим – това на практика е една система от уравнения – получаваме 2 по х1 – х2 – 3 по х3 = 0 и така нататък. Можем просто да направим една разширена матрица. Можем да направим тази разширена матрица ето тук. [2; –1;–3; –4;2;6]. После разширяваме с това, на което искаме да приравним, за да решим системата. Ще извършим поредица от операции по редове, за да преобразуваме матрицата в ешелонна форма. Те няма да променят това, което имаме отдясно в разширената матрица. Това е един вид основанието защо нулевото пространство на ешелонната форма на матрицата А е равно на нулевото пространство на А. Това беше само кратък преговор. Да извършим някои операции по редове, за да го решим. Първото нещо, което искам да направя, е да разделя първия ред на 2. Ако разделя първия ред на 2, ще получа 1, –1/2, –3/2, и после 0 делено на 2 е 0. Хайде да разделим този ред тук – просто за да опростим нещата – да го разделим на 4. Правя две операции по редове в една стъпка. И ти можеш да го направиш. Можех да го направя в две отделни стъпки. Ако разделим на 4, тук получаваме –1, 1/2 и после получаваме 3/2, и после 0. Сега да запазим първия ред непроменен. Запазваме първия ред непроменен. Той съдържа 1, –1/2, –3/2, и, разбира се, 0 отдясно. Сега да заместим втория ред с втория ред плюс първия ред. Това са просто линейни операции по редове. Значи –1 плюс 1 е 0. 1/2 плюс –1/2 е 0. 3/2 плюс –3/2 е 0. 0 плюс 0 е 0. Какво ни остана? Остана ни това тук. Това е друг начин да кажем, че х1... ще го запиша по следния начин: х1 – предполагам, че е най-лесният начин да си го представим – сега умножаваме ешелонната форма на матрицата А. 1, –1, –3/2. Тук имаме много нули. По [х1; х2; х3] е равно на нулевия вектор на R2. Това е друго представяне на тази разширена матрица. Това просто казва... това е безполезно. Това ни казва, че 0 по това, плюс 0 по това, плюс нула по това дава 0. Така че това не ни дава никаква информация. Но този първи ред ни казва, че... ще сменя цветовете... 1 по х1 минус 1/2 по х2, минус 3/2 по х3 е равно на 0. Всички вектори, чиито компоненти удовлетворяват това, принадлежат на нашето нулево пространство. Ако искам да го запиша малко по-различно, можех да напиша, че х1 е равно на 1/2 по х2, плюс 3/2 по х3. Ако искам да представя множеството на решенията във вид на вектори, мога да напиша, че нулевото пространство ще е множеството от всички вектори х1, х2, х3, такива, че удовлетворяват тези условия. Това на какво е равно? х2 и х3 са свободни променливи. Те са свързани с неводещи елементи, или неводещи стълбове в ешелонната форма на матрицата. Това тук е водещ стълб. И какво... Ще го запиша по следния начин. Това ще бъде х2 по нещо, плюс х3 по нещо. Това са двете свободни променливи. Тук имаме, че х1 е 1/2 по х2 плюс 3/2 по х3. х2 ще бъде равно на х2 по 1 плюс 0 по х3. х3 ще бъде равно на 0 по х2 плюс 1 по х3. Значи нулевото пространство ще съдържа всяко произволно реално число тук. Те са свободни променливи. Нулевото ни пространство на практика са всички линейни комбинации на този вектор и този вектор. Друг начин да го представим, е, че нулевото пространство на А е равно на линейната обвивка, което е същото като всички линейни комбинации на линейната обвивка на [1/2; 1;0] и – и обърни внимание, че това са вектори в R3. Това е логично, защото нулевото пространство е множество вектори в R3. Значи тяхната линейна обвивка. И това ето тук. Значи [3/2; 0; 1]. Ето така. А какво е векторното пространство на оригиналната матрица А? Векторното пространство на А е равно на подпространството, създадено от всички линейни комбинации от тези вектори. На практика линейната обвивка на вектор-стълбовете. Равно е на линейната обвивка на [2;–4;–1;2;–3;6]. Всички тези са отделни вектори. Значи линейната обвивка са тези три вектора. Но тези вектори може да не са линейно независими. Всъщност, когато преобразуваме матрицата в ешелонна форма, знаем, че базисните вектори, на това са векторите, които са свързани с водещите стълбове. Тук имаме един водещ стълб. Това е първият стълб. Можем да го използваме като базисен вектор. Това е логично. Защото това тук е –2 по този вектор тук. Това тук е –3/2 по този вектор. Значи тези два вектора могат определено да се представят като линейни комбинации на този вектор. Това е равно само на линейната обвивка на вектора [2;–4]. Ако ме попиташ – и това е базисът на нашето векторно пространство. Ако искаш да разбереш ранга – всичко това е преговор – рангът на матрицата А е равен на броя на векторите в базиса на векторното пространство. Значи ще бъде 1. Сега, всичко, което направих дотук, е един вид преговор. Но в последните няколко урока ние разглеждахме транспонирани матрици. Така че да разгледаме същите понятия за транспонираната матрица А. Транспонираната матрица А изглежда ето така. Транспонираната матрица А е равна на матрицата 2, –1, –3... това е първият стълб тук. Вторият стълб ще бъде –4, 2 и 6. Това е транспонираната матрица. Да определим нулевото пространство и векторното пространство на транспонираната матрица (АТ). Ще преобразувам AТ в ешелонна форма, за да намерим нулевото ѝ пространство. Да намерим нулевото пространство на тази матрица. Правим съвсем същото упражнение. Ще го запиша по следния начин. Нулевото пространство на А транспонирана – тя е с размер 3 х 2. Значи ще е равно на всички вектори х, които принадлежат на R2 – вече не е R3, защото сега търсим нулевото пространство на A транспонирана – такива, че A транспонирана по векторите от R2 да е равно на нулевия вектор в R3. Ще го направим по същия начин като преди. Ще направим една разширена матрица. После ще я преобразуваме в ешелонна форма и ще ги приравним на 0. Да го направим. Първо да я преобразуваме в ешелонна форма. Ще разделя първия ред на 2. Просто искам да я преобразувам в ешелонна форма. Първият ред, делен на 2, е 1, –2. Вторият ред ще разделим на... ще го запазя същия – минус 1, 2. Последния ред ще разделя на 3. Става –1 и 2. Сега ще запазя първия ред непроменен. 1, –2. Сега ще заместя втория ред с втория ред плюс първия ред. Значи –1 плюс 1 е 0. 2 плюс –2 е 0. Получаваме няколко нули. Ще направя същото с третия ред. Замествам го с него плюс първия ред. Отново получаваме няколко нули. И това е ешелонната форма на транспонираната матрица А. Нулевото ѝ пространство е същото като нулевото пространство на A транспонирана. Можем да кажем, че за да намерим това нулево пространство, можем да намерим всички решения на това уравнение – ешелонната форма на матрицата по векторите х1 и х2 равно на [0; 0; 0]. Това не са вектори. Това са просто елементи. [0; 0; 0]. Тези два реда не ни дават никаква информация, но първият дава информация. Получаваме 1 по х1 – обърни внимание, че това тук е водещият стълб. Той е свързан... Значи х1 е водещата ни променлива. х2 ще бъде свободна променлива. И само да поясня, че първият стълб е водещият стълб. Ако се върнем към A транспонирана, това е ето този първи стълб ето тук, който е свързан с водещия стълб. Така че, когато говорим за векторното пространство, това само по себе си е линейната обвивка на векторното пространство. Само обобщавам какво направихме дотук. Просто прилагаме това – към транспонираната матрица. Да се върнем към нулевото пространство. Това ни казва, че 1 по х1... значи х1, –2 по х2, е равно на 0. Можем да кажем, че х1 е равно на 2 по х2. Значи всички вектори в R2, които изпълняват това условие, с такива компоненти, ще принадлежат на нулевото пространство на A транспонирана. Ще го запиша по следния начин: Нулевото пространство на матрицата A ще бъде множеството от всички вектори – ще го запиша ето тук – множеството от всички вектори [х1; х2], които принадлежат на R2, очевидно, такива, че [х1; х2] са равни на... свободната ни променлива е х2 – значи х2 по този вектор. Значи х1 трябва да е 2 по х2. И очевидно х 2 – това е 2 – ще бъде 1 по х2. На какво е равно това? Всичко това са линейни комбинации на този вектор ето тук. Можем да кажем, че това е равно на линейната обвивка на нашия вектор [2;1]. Сега, това е нулевото пространство. Извинявам се, това е нулевото пространство на A транспонирана. Трябва много да внимавам. А кое е векторното пространство? Векторното пространство на A транспонирана? Векторното пространство на транспонираната матрица на А е множеството от всички вектори, чиято линейна обвивка са вектор-стълбовете на А. Значи линейната обвивка на този вектор-стълб и на този вектор-стълб. Но ние знаем, че когато преобразуваме матрицата в ешелонна форма, само този вектор-стълб съответства на водещ стълб. Значи самият той е линейна комбинация на този вектор. Ако го умножим по –2, ще получим този вектор тук. Което отговаря на всичко, което сме учили досега. Значи то е равно само на този вектор ето тук. Само на вектор [2; –1; –3]. Направихме едно хубаво упражнение. Обърни внимание, че линейната обвивка тук е R3, но тя ще бъде само една права в R3. Може би в следващото видео ще го представя по-нагледно. Направих цялото това упражнение, за да ти представя идеята за нулево пространство на транспонирана матрица и нейното векторно пространство. Представи си какво представлява векторното пространство на транспонираната матрица. Това е подпространство, което е покрито от вектора – извинявам се, включващо този вектор и този вектор. Излиза, че този вектор е мащабирана версия на този вектор. Така че можем да кажем, че е само този вектор. Но тези вектори всъщност бяха редове на оригиналната матрица А. Така че бихме могли да ги разглеждаме и като линейна обвивка от вектор-редовете на нашата оригинална матрица. Това е този стълб, който е базис на векторното пространство изразено чрез стълбовете на транспонираната матрица R. Разбира се, този вектор беше линейна комбинация на този. Така че можем да разглеждаме като векторно пространство на транспонираната матрица. То е еквивалентно на подпространството, което обхваща тези вектор-редове. Или това е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А. Ще го запиша. Значи векторното пространство на транспонираната матрица А – това е съвсем общо. Ще го запиша като общ случай. Това не се отнася само за този пример. Значи векторното пространство на произволна транспонирана матрица представлява векторно пространство, определено чрез вектор-редовете на оригиналната матрица А. Това е много логично. Защото, ако А има няколко реда, можем да ги приемем за транспонирани вектор-стълбове. Това е първият ред. Имаме втори ред. И така нататък до n-и ред. Ето така. Това са транспонирани вектор-стълбове. Всъщност те са просто редове. Ако си представиш линейната обвивка на тези вектори, по различните редове, това всъщност представлява векторното пространство на транспонираната матрица. Защото, когато транспонираме матрицата, всеки от тези редове ще стане стълб. Ето това представлява векторно пространство по редове. Нулевото пространство на транспонираната матрица – ще го запиша ето така – това са всички вектори х, които удовлетворяват това равенство. Равни са на нулевия вектор ето тук. Какво се случва, ако транспонираме двете страни на това равенство? От свойствата на транспонирането знаем, че това е равно на обратното произведение на всеки от транспонираните вектори на тези. Значи това ще е равно на – това е вектор, транспонираният вектор х. Ако това преди е било вектор-стълб, сега ще бъде вектор-ред. И после умножено по транспонираната матрица А транспонирана. И това ще е равно на транспонирания нулев вектор. Или можем просто да го запишем ето така. Можем да го представим като някаква матрица – ще го запиша по следния начин. Някакъв вектор-стълб х – какво представлява транспонираната матрица на А транспонирана? Това е просто матрицата А. Значи транспонираме този вектор-стълб. И получаваме вектор-ред. Можеш да го разглеждаш и като матрица, ако желаеш. Ако това принадлежи на Rn, това сега ще бъде матрица 1 x n. Това принадлежи на Rn. И сега един вид сменяме поредността. Ако го умножим по транспонираната транспонирана матрица, получаваме просто матрицата А и го приравняваме с транспонирания нулев вектор. Това е интересно. Сега го изразихме чрез оригиналната матрица А. И как изглежда нулевото пространство на матрицата А? Нулевото пространство, в което всички вектори х, за които е вярно това равенство, е равно на 0. Значи х беше отдясно. Нулевото пространство са всички вектори х, които удовлетворяват равенството. Нулевото пространство на транспонираната матрица са всички вектори х, които удовлетворяват това равенство. Това се нарича също... Да кажем, че множеството от всички вектори х, такива, че транспонираната матрица А по х е равно на 0. Това е равно на нулевото пространство на транспонираната матрица А. Можем да го запишем също като множеството от всички вектори х, такива, че транспонираните вектори х по матрицата А са равни на транспонирания нулев вектор. Съществува друг термин за това. Това се нарича ляво нулево пространство на матрицата А. Защо се нарича ляво нулево пространство? Защото сега имаме х отляво. В обикновеното нулево пространство имаме х отдясно. Но сега, ако определим нулевото пространство на транспонираната матрица, само с използване на свойствата на транспонирането, това е еквивалентно на този транспониран вектор ето тук. Всъщност ще го запиша това. Транспонираната матрица ето тук. Този транспониран вектор, умножен по матрицата А в лявата страна. Всички вектори х, удовлетворяващи равенството, са лявото нулево пространство. И то се различава от нулевото пространство. Обърни внимание, че нулевото пространство на транспонираната матрица А беше линейната обвивка на това ето тук. Но това е също така лявото нулево пространство на матрицата А. А какво беше обикновеното нулево пространство на матрицата А? Обикновеното нулево пространство на матрицата А беше равнина в R3. Това е нулевото пространство на матрицата А. Лявото нулево пространство на матрицата А е само една права в R2. Това са много различни неща. А какво е векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А? Векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата А, е права в R3. А какво е векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата А? Векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата А ето тук – къде се намира то? Това е единственият линейно независим вектор. Това на практика е права в R2. Така че това са много различни неща. И ние ще разгледаме малко по-подробно връзката между тях. Остана само едно нещо, което исках да ти обясня. Разбрахме, че рангът на тази матрица ето тук е 1. Защото, когато я преобразуваме в ешелонна форма, има само един водещ стълб. И базисните вектори са тези, които са свързани с водещия стълб. И ако преброим векторите на базиса, броят им е равен на размерността на пространството. Значи размерът на векторното пространство е 1. Това е същото нещо като ранга. А какъв е рангът на транспонираната матрица А? Рангът на транспонираната матрица А в примера, когато я преобразуваме в ешелонна форма, получаваме един линейно независим вектор-стълб. Значи базисът на векторното пространство, определено чрез вектор-стълбове, също е 1. И принципно това винаги ще е вярно. Рангът на матрицата А, който е размерът на векторното ѝ пространство, е равен на ранга на транспонираната матрица А. И ако се замислиш, това е много логично. За да разберем рангът на матрицата А, всъщност трябва да определим колко водещи стълба има тя, или казано по друг начин колко водещи елементи имат. Когато търсим векторното пространство, определено чрез вектор-редовете или векторното пространство, определено чрез вектор-стълбовете, когато търсим ранга на транспонираната матрица, това всъщност означава, че... знам, че може би това става малко объркващо – но когато търсим ранга на една транспонирана матрица, определяме колко от нейните вектор-стълбове са линейно независими, кои вектор-стълбове са линейно независими. Това е същото нещо като да определим колко от редовете тук са линейно независими. Ако искаме да определим колко стълба в транспонираната матрица са линейно независими, това е еквивалентно да определим колко реда в оригиналната матрица са линейно независими. Когато преобразуваме матрицата в ешелонна форма, всички операции при ешелонната форма са операции по редове. Така че те са просто линейни комбинации на тези вектор-стълбове тук. Можем да кажем и обратното. Всичко тук са просто линейни комбинации на матрицата в ешелонна форма. Така че ако имаме само един водещ елемент, тогава този елемент сам по себе си, или един водещ ред, тогава той самият представлява базис на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете на матрицата. Или всички вектор-редове могат да се представят като линейни комбинации на водещите редове. И по тази причина броим само това. Казваме, че в този случай имаме само един водещ ред. Значи размерът на векторното пространство, определено чрез вектор-редовете, е 1. Той е същият като размера на транспонираното векторно пространство, определено чрез вектор-стълбовете на матрицата. Знам, че става малко объркано, а пък и вече е доста късно вечерта при мен. Надявам се, че те убедих, че рангът на транспонираната матрица е равен на ранга на оригиналната матрица.