Транспониране на матрица

Дадена е матрицата А, която е матрица m x n. Тя има m реда и n стълба. Можем да я запишем по най-общия начин, ето така. Първият ред е а11 – първи ред, първи стълб. а12, първи ред, втори стълб. И така нататък, имаме n стълба. Значи а1n, първи ред, n-стълб. След това вторият ред изглежда ето така. Втори ред, първи стълб. Втори ред, втори стълб. И така нататък, до втори ред, n стълб. И продължаваме така надолу, докато стигнем до ред m. Ред m ще изглежда ето така. Всеки от тези елементи във всеки от редовете или стълбовете, в зависимост как го разглеждаш. Значи това ще бъде а с индекс m1. m-и ред, първи стълб. а с индекс m2. И така нататък до a с индекс mn. Това е нашата матрица. Това е матрицата А. Сега ще дефинирам транспонираната ѝ матрица с помощта на този горен индекс Т. Това ще бъде определението: това е матрицата А, на която са обърнати всички редове и стълбове. Значи транспонираната матрица А ще бъде с размер n х m. Обърни внимание, че тук имахме m реда и n стълба. Сега ще имаме n реда и m стълба. Как ще изглежда тази транспонирана матрица? Как ще изглежда тя? Ще разменя редовете и стълбовете. Сега първият ред става моя първи стълб. Ще имам а11. Този елемент пак ще е на това място. Но сега този елемент няма да остане тук. а12. Вторият ред, това, което беше втори ред, първи стълб, сега ще имам тук това, което преди беше във втори стълб, първи ред. И слизам така надолу до а1n. Това означава... не аin, това е а1n. Това е логично, защото сега ще имам n стълба. Извинявам се, n реда. Тук имах n стълба. Сега имам n реда. Този ред след транспонирането ще изглежда ето така. а21, а22 и така нататък до a2n. Това може да е малко объркващо за момента с този начин на записване, защото досега не го записвахме така. Винаги сме казвали, че първото число на индекса е номер на ред, а второ число на индекса е номер на стълб. Това направихме тук горе. Сега тук обаче игнорирай тази връзка с редове и стълбове. Просто погледни какво има тук в първия ред, втория стълб, и сега то ще е тук. Когато гледаш транспонираната матрица, не приемай индексите буквално. Или сега можеш да обърнеш начина на интерпретиране. Това сега е първи стълб, втори ред. Това беше втори ред, първи стълб. Не искам да те обърквам с тези индекси. Просто помни, че взимаме всички редове и ги превръщаме в стълбове, за да получим транспонираната матрица. И продължаваме по същия начин. Този ред m сега ще стане стълб m. аm1, am2 и така нататък до amn. Значи този елемент тук е сега този елемент. Ако знаеш, този елемент сега е този елемент. Този елемент сега е този елемент. Мисля, че разбираш. Това означава транспонирана матрица. Понякога, когато разглеждаш общия случай, може да ти се стори объркващо. Ще го усетим много силно, когато правим някои доказателстсва, които включват транспонирани матрици. Но всъщност намирането на транспонираната матрица на една конкретна матрица с конкретни числа не е толкова трудно. Да започнем с матрица 2 х 2. Ще използвам различни цветове, доколкото е възможно. Дадена е една матрица. Тук дефинирахме като А. Хайде сега да бъде В. Вече имахме матрица А. Сега да бъде В. В е равно на [1;2;3;4]. Тези цветове са много близки. Коя е транспонираната матрица на матрицата В? Транспонираната матрица на В ще е равна на – разменяме редовете и стълбовете. Значи първият ред сега ще стане първи стълб. 1,2. Вторият ред ще стане втори стълб, 3, 4. Можеш да го разглеждаш и по обратния начин. Първият стълб сега става първи ред. Вторият стълб става втори ред. Да видим един пример. Вместо 2 х 2 да вземем матрица 3 х 3... да направим една, която е малко по-трудна. Мисля, че така нещата ще станат ясни. Нека имаме матрицата С. Ще я направя голяма матрица. Да кажем, че тя е 4 х 3. Ще попълня някакви числа ето тук. 1, 0, –1, 2, 7. Но искам да направя това с различен цвят. Ще използвам различен цвят. После имаме 2, 7, –5. После имаме 4, –3, 2. Трябва ми още един ред. Нека да бъде –1, 3, 0. Това е матрицата С. Каква е... ще го направя, като искам да е естетически издържано. Ще затворя скобата със същия цвят. Коя е транспонираната матрица на С? Значи транспонираната матрица на С. Ще сменя цвета. Транспонираната ще бъде с размери 3 х 4. Това ще бъде практически матрицата С, всички редове на която стават стълбове, и всички стълбове стават редове. Сега ще бъде 3 х 4. Този първи ред сега ще стане първи стълб. . 1, 0, –1. Втория ред сега ще стане втори стълб. 2, 7, –5. Не използвах съвсем същото зелено, но ти разбираш идеята. Третият ред става трети стълб. 4, –3, 2. Накрая четвъртият ред става четвърти стълб. . –1, 3 и 0. Всичко, което направихме, е, че този елемент беше във втори ред, трети стълб. А къде е сега този елемент? Сега е във втори стълб, трети ред. Разменихме редовете и стълбовете. Можем да видим някой друг. Да видим. Да вземем ето този тук. Този елемент беше в трети ред. Първи, втори, трети. И във втори стълб. Сега тук долу този елемент е в трети стълб и втори ред. Това представлява транспонираната матрица. И, нещо интересно, какво ще стане, ако транспонирам една транспонирана матрица? Какво ще стане, ако транспонираме транспонираната матрица Сt? На какво ще е равна? За да отидем от С до С транспонирана, ние разменяме редовете и стълбовете. Всички редове и стълбове. Когато я транспонираме отново – да се фокусираме само върху този елемент. Този елемент беше във втори ред, трети стълб. Транспонирахме матрицата и той се оказа във втори стълб и трети ред. Ако транспонираме C транспонирана, тогава този елемент ще отиде във втори ред и трети стълб отново. Значи транспонираната матрица на C транспонирана е равна просто на С. Разменяме всички стълбове, когато я транспонираме. И когато я транспонираме още веднъж, те се връщат по местата си. Ето това става. Надявам се, че това ти беше полезно.