Тук имам няколко матрици. Имам матрицата А,
която е с размери m x n. Можеш да видиш, че има
n стълба и m реда. Всъщност тук ще напиша
един елемент. Това може да ни е полезно. Това е j-ият стълб. Този елемент ще изглежда
ето така – amj. Това е този елемент
ето тук. После имаме матрицата В,
която е дефинирана подобно, но вместо да е m x n,
матрицата В е n x m. Това са елементите ѝ. И сега просто... мисля, че
това може да е полезно. Това е нашият n-и ред. А това е j-ият стълб. После съм дал техните
транспонирани версии. Ако разгледаме транспонираната
матрица В, В беше n x m. Транспонираната матрица на В
е с размери m x n. Всеки от редовете
тук става стълб. Същото съм направил с А.
Нейната транспонирана матрица е тук. Тя беше m x n. Транспонираната матрица на А
е с размери n x m. Всеки от тези редове
сега става стълб. Добре. Сега ще дефинирам
две нови матрици. Ще дефинирам матрицата С.
Ще го направя ето тук. Мисля, че мястото ще е
много ценно в това видео. Ще дефинирам матрицата С да е равна на произведението
на матриците А и В. Какви ще бъдат
размерите на С? Когато умножим матрица m x n
по матрица n x m, броят на редовете трябва да е равен на броя
стълбове, за да бъде дефинирано произведението. Ще се получи матрица
с размери m x m. Сега ще дефинирам
друга матрица. Ще я нарека D и тя ще е равна
на транспонираната матрица В по транспонираната
матрица А. Размерите ѝ ще са същите,
защото това са матрици m x n по n x m. Значи размерите са същите. Което е изискването това
произведение да е дефинирано. Значи размерите на
матрицата D ще са m x m. Да разгледаме как ще изглеждат
различните елементи на С. Тук ще напиша
матрицата С. Тя ще има елементи –
с11, с22, с12, и така нататък до с1m. Досещаш се, че понеже
е матрица m x m, тук ще имаме cmm. Знаеш как стават нещата. Но ми е интересно как да разберем колко е
общият елемент cij. Как да намерим
един конкретен елемент? Знаем, че С е произведение
на матриците А и В. Значи един конкретен
елемент на С – виждали сме това и преди –
значи сij ще бъде – можем да го разглеждаме като
скаларно произведение на i-ия ред на А по j-тия стълб на В,
ето така. И на какво ще е равно това? Това ще е равно на аi1 по b1j
плюс аi2 по b2j. И просто продължаваме така, докато получим последния
елемент тук, ain по последния
елемент тук bnj. Добре. А матрицата D? Какви ще бъдат нейните
елементи? Значи D, по същия начин,
ще бъде – тя ще има d11, d12,
и така нататък до d1m. И тук ще имаме dmm. Можеш да добавиш
и други елементи тук. Но се интересувам само от тази
сума в общия случай. Да кажем, че искам
да намеря d с индекс ji. Това искам да намеря. Значи искам да намеря общ начин
да определя конкретен елемент на D. j-ият ред и i-ият стълб, които са малко по-различни, от начина, който обикновено
използваме тези индекси. Но и това върши работа. Първата буква на индекса
е редът в матрицата D. Втората буква на индекса
е стълбът на D. Как да намерим този
елемент? Търсим d с индекс ji. Той е равен на – матрицата D е
произведение на тези две матрици. За да получим j-тия ред и
i-тия стълб тук, намираме скаларното произведение
на j-тия ред, който е този тук, по i-тия стълб на А,
който е ето този тук. Значи намираме скаларното
им произведение. И може би вече забелязваш
нещо интересно. Това тук е еквивалентно
на това тук. Това тук е еквивалентно
на това тук, защото умножаваме
транспонираните версии. Но всъщност ще го напиша. На какво ще е равно това
скаларно произведение? Това ще е bij. Ще го запиша по
следния начин. Това ще бъде b1j по аi1. Можем да го запишем
и като ai1 по b1j. След това имаме плюс
b2j по аi2, което е същото като
ai2 по b2j. И продължаваме по същия
начин, докато получим bnj по ain. Можем да го запишем
и като ain по bnj. Сега обърни внимание, че тези двете са
еквивалентни. Това са напълно еквивалентни
изрази. d с индекс ji
е еквивалентно на c с индекс ij. Ще запиша това. Мога да запиша също, че с с индекс ij
е еквивалентно на d с индекс ji. Друг начин да го изразим е,
че всички елементи в ред i, стълб j в матрицата С
сега са в ред j, стълб i на матрицата D. И това се отнася за
всички елементи. Изразявам го
максимално общо. Какво означава това? Това е определението
за транспонирана матрица. Значи получихме, че транспонираната
матрица на С е равна на матрицата D. Или можем да кажем, че матрицата С
е равна на транспонираната матрица на D. Това е много интересно,
защото – как дефинирахме тези
две матрици? Казахме, че матрицата С е
равна на произведението на матриците А и В, а матрицата D
е равна на произведението на транспонираната матрица на В по
транспонираната матрица на А. Дадох тези определения
ето тук. Това са определенията. И сега просто намерихме, че D
е равна на транспонираната матрица на С. Можем да напишем, че
транспонираната матрица на С, която е равна на транспонираната
матрица на (А по В), е равна на D. Значи е равна на D, която е равна на транспонираната
матрица на В по транспонираната матрица на А. Това е много хубав резултат. Ако умножа две матрици, а после транспонирам полученото,
това е еквивалентно на това да сменим реда, или да ги
транспонираме, или да извършим умножението в обратен ред – транспонираната матрица на В по
транспонираната матрица на А – което е много хубав резултат. И можем да разширим това
до произволен брой матрици, които умножаваме. Няма да го доказвам тук,
но всъщност е много лесно да
го получим от тук. Ако вземем матриците,
да кажем А... ще използвам различни
букви – Х, Y, Z, ако ги умножим и транспонираме
получения резултат, това ще е равно на ZТ
по YТ по XТ. Не доказах общия случай, но можеш да го направиш
с четири или пет, или n матрици, умножени една по друга,
и това твърдение е вярно. На практика можеш
да го докажеш, като използваш
доказателството от това видео, че когато умножаваме
две матрици, а после транспонираме полученото
произведение, то е равно на произведението на матриците, транспонирани
преди извършване на умножението.