Транспониране на произведението на матрици

Тук имам няколко матрици. Имам матрицата А, която е с размери m x n. Можеш да видиш, че има n стълба и m реда. Всъщност тук ще напиша един елемент. Това може да ни е полезно. Това е j-ият стълб. Този елемент ще изглежда ето така – amj. Това е този елемент ето тук. После имаме матрицата В, която е дефинирана подобно, но вместо да е m x n, матрицата В е n x m. Това са елементите ѝ. И сега просто... мисля, че това може да е полезно. Това е нашият n-и ред. А това е j-ият стълб. После съм дал техните транспонирани версии. Ако разгледаме транспонираната матрица В, В беше n x m. Транспонираната матрица на В е с размери m x n. Всеки от редовете тук става стълб. Същото съм направил с А. Нейната транспонирана матрица е тук. Тя беше m x n. Транспонираната матрица на А е с размери n x m. Всеки от тези редове сега става стълб. Добре. Сега ще дефинирам две нови матрици. Ще дефинирам матрицата С. Ще го направя ето тук. Мисля, че мястото ще е много ценно в това видео. Ще дефинирам матрицата С да е равна на произведението на матриците А и В. Какви ще бъдат размерите на С? Когато умножим матрица m x n по матрица n x m, броят на редовете трябва да е равен на броя стълбове, за да бъде дефинирано произведението. Ще се получи матрица с размери m x m. Сега ще дефинирам друга матрица. Ще я нарека D и тя ще е равна на транспонираната матрица В по транспонираната матрица А. Размерите ѝ ще са същите, защото това са матрици m x n по n x m. Значи размерите са същите. Което е изискването това произведение да е дефинирано. Значи размерите на матрицата D ще са m x m. Да разгледаме как ще изглеждат различните елементи на С. Тук ще напиша матрицата С. Тя ще има елементи – с11, с22, с12, и така нататък до с1m. Досещаш се, че понеже е матрица m x m, тук ще имаме cmm. Знаеш как стават нещата. Но ми е интересно как да разберем колко е общият елемент cij. Как да намерим един конкретен елемент? Знаем, че С е произведение на матриците А и В. Значи един конкретен елемент на С – виждали сме това и преди – значи сij ще бъде – можем да го разглеждаме като скаларно произведение на i-ия ред на А по j-тия стълб на В, ето така. И на какво ще е равно това? Това ще е равно на аi1 по b1j плюс аi2 по b2j. И просто продължаваме така, докато получим последния елемент тук, ain по последния елемент тук bnj. Добре. А матрицата D? Какви ще бъдат нейните елементи? Значи D, по същия начин, ще бъде – тя ще има d11, d12, и така нататък до d1m. И тук ще имаме dmm. Можеш да добавиш и други елементи тук. Но се интересувам само от тази сума в общия случай. Да кажем, че искам да намеря d с индекс ji. Това искам да намеря. Значи искам да намеря общ начин да определя конкретен елемент на D. j-ият ред и i-ият стълб, които са малко по-различни, от начина, който обикновено използваме тези индекси. Но и това върши работа. Първата буква на индекса е редът в матрицата D. Втората буква на индекса е стълбът на D. Как да намерим този елемент? Търсим d с индекс ji. Той е равен на – матрицата D е произведение на тези две матрици. За да получим j-тия ред и i-тия стълб тук, намираме скаларното произведение на j-тия ред, който е този тук, по i-тия стълб на А, който е ето този тук. Значи намираме скаларното им произведение. И може би вече забелязваш нещо интересно. Това тук е еквивалентно на това тук. Това тук е еквивалентно на това тук, защото умножаваме транспонираните версии. Но всъщност ще го напиша. На какво ще е равно това скаларно произведение? Това ще е bij. Ще го запиша по следния начин. Това ще бъде b1j по аi1. Можем да го запишем и като ai1 по b1j. След това имаме плюс b2j по аi2, което е същото като ai2 по b2j. И продължаваме по същия начин, докато получим bnj по ain. Можем да го запишем и като ain по bnj. Сега обърни внимание, че тези двете са еквивалентни. Това са напълно еквивалентни изрази. d с индекс ji е еквивалентно на c с индекс ij. Ще запиша това. Мога да запиша също, че с с индекс ij е еквивалентно на d с индекс ji. Друг начин да го изразим е, че всички елементи в ред i, стълб j в матрицата С сега са в ред j, стълб i на матрицата D. И това се отнася за всички елементи. Изразявам го максимално общо. Какво означава това? Това е определението за транспонирана матрица. Значи получихме, че транспонираната матрица на С е равна на матрицата D. Или можем да кажем, че матрицата С е равна на транспонираната матрица на D. Това е много интересно, защото – как дефинирахме тези две матрици? Казахме, че матрицата С е равна на произведението на матриците А и В, а матрицата D е равна на произведението на транспонираната матрица на В по транспонираната матрица на А. Дадох тези определения ето тук. Това са определенията. И сега просто намерихме, че D е равна на транспонираната матрица на С. Можем да напишем, че транспонираната матрица на С, която е равна на транспонираната матрица на (А по В), е равна на D. Значи е равна на D, която е равна на транспонираната матрица на В по транспонираната матрица на А. Това е много хубав резултат. Ако умножа две матрици, а после транспонирам полученото, това е еквивалентно на това да сменим реда, или да ги транспонираме, или да извършим умножението в обратен ред – транспонираната матрица на В по транспонираната матрица на А – което е много хубав резултат. И можем да разширим това до произволен брой матрици, които умножаваме. Няма да го доказвам тук, но всъщност е много лесно да го получим от тук. Ако вземем матриците, да кажем А... ще използвам различни букви – Х, Y, Z, ако ги умножим и транспонираме получения резултат, това ще е равно на ZТ по YТ по XТ. Не доказах общия случай, но можеш да го направиш с четири или пет, или n матрици, умножени една по друга, и това твърдение е вярно. На практика можеш да го докажеш, като използваш доказателството от това видео, че когато умножаваме две матрици, а после транспонираме полученото произведение, то е равно на произведението на матриците, транспонирани преди извършване на умножението.