If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:06

Видео транскрипция

Да кажем, че имам вектор v, който принадлежи на Rn. Той има n компонента. Това са v1, v2 и така нататък до vn. Споменавал съм го и преди, но сега искам да разгледаме транспониран вектор – транспонирали сме матрици, няма причина да не можем да транспонираме и вектор, или, в този случай, вектор-стълб. Как ще изглежда един транспониран вектор? Да си го представим като матрица с размер n x 1, която съдържа n реда и един стълб. Какво ще получим? Когато го транспонираме, ще получим матрица 1 x n. Този един стълб ще се превърне в един ред. Значи ще стане равен на v1, v2...vn. Може би си спомняш, че вече сме споменавали това при много от матриците досега. Да кажем, че имаме някаква матрица А. Да наречем това вектор-редове на тази матрица, които са транспонирани вектор-стълбове, а1Т, a2Т и така нататък до anТ. Всъщност не много отдавна разглеждахме тези вектор-редове, които нарекох просто транспонирани вектор-стълбове, ето така. И това е, в известна степен, по-добър начин да го направим, защото дефинирахме всички операции спрямо вектор-стълбовете, така че винаги можеш да разглеждаш транспонираната версия на транспонираната матрица, и тогава да извършваш някакви операции с тях. Както и да е, не исках толкова много да се отклонявам. Сега да помислим малко какво се случва, когато работим с този вектор, ако извършим някакви операции с този вектор и някакви други вектори. Да кажем, че имаме друг вектор, който е w, който също принадлежи на Rn. Значи имаме w1, w2... wn. Има няколко неща, с които вече сме достатъчно запознати. Можем да намерим скаларното произведение на векторите v и w. Колко е v . w? Това е равно на v1 по w1 плюс v2 по w2 и така нататък до vn по wn. Това е определението за скаларно произведение на два вектор-стълба. Как можем да свържем това с транспонирания вектор v? Можем да транспонираме вектор v – ще го запиша по следния начин – ако имаме умножение на матрици, значи v1, v2... vn – това е транспонираният вектор v – и ако го умножа скаларно по вектор w. Значи имам w1, w2... wn. Сега, ако разглеждам тези вектори като матрици – това тук е w – ако просто ги разглеждам като матрици, дали това произведение на матрица с матрица е дефинирано? Тук имам матрица n x 1. Тук имам 1... извинявам се. Първият вектор е матрица с размер 1 x n – един ред и n стълба. Тук имам матрица n x 1. Имаме n реда и 1 стълб. Значи това произведение е дефинирано. Тук имаме толкова стълбове, колкото са тук редовете. Резултатът ще е матрица 1 х 1. Как ще изглежда тя? Тя ще е равна на v1 по w1 – ще я запиша по следния начин – v1 по w1, плюс v2 по w2 – ще има само един елемент. Можем да я запишем като матрица 1 х 1. Това е матрица 1 х 1. v1 по w1, плюс v2 по w2– ще напиша v2 тук – плюс... и така нататък до vn по wn. Ето това ще бъде. Това е просто матрица 1 х 1, която изглежда ето така. Но може би ти прави впечатление, че тези две неща са еквивалентни. Значи можем да кажем, че v . w, което е равно на w . v – тези две произведения са еквивалентни на – v . w е еквивалентно на – ще го напише ето тук – v . w е равно на транспонирания вектор v по w, просто като произведение на матрица с матрица. Ако разглеждаме v като матрица и я транспонираме, а после вземем тази матрица и я умножим по w, това е равно на v . w. Това е интересен резултат. Може би ще кажеш, че това е очевидно, че вече сме го използвали, когато дефинирах произведение на матрица с матрица, тогава казах, че умножаваме скаларно всеки ред и всеки стълб, и виждаш, че това наистина е така, това наистина е скаларно произведение на този транспониран ред по всеки стълб, но разбираш общата идея. Но сега да видим дали можем да надградим над това. Да кажем, че имаме някаква матрица А – ще запазя нашия резултат ето тук – да кажем, че имаме – ще избера хубав цвят – имаме матрица А, която е с размери m x n. Ако искаме да умножим матрицата А по вектор х, тогава ще я умножа по същия вектор х – да кажем, че х принадлежи на... ще го напиша по следния начин – х принадлежи на Rn. Той има n елемента. Можем също да го разглеждаме като матрица n x 1. Когато ги умножим, какво ще получим? Друг начин да го формулирам е: какво представлява вектор А по х? Когато ги умножим, ще получим друг вектор, и какъв ще е той? Това ще бъде вектор m x 1. Можем да кажем, че А по х принадлежи на Rm. Той ще има m елемента, нали? Ако е равен на това, ако вектор А по х е равен на – да кажем, че е равен на вектор z, който ще има m елемента. Ще имаме z1, z2... zm. Знаем това, защото матрицата А има m реда, а имаме само един стълб – можем да кажем, че това е m x n, това е n x 1. Полученото произведение ще бъде m x 1, или това ще е вектор в Rm, който ще има точно m елемента. Ако това е вектор в Rm, тогава скаларното му произведение с друг вектор от Rm е дефинирано. Нека имаме друг член на Rm. Нека това да е вектор у. Нека у също да принадлежи на Rm. Векторът А по x, който е това произведение, има m елемента, и този има m елемента. Значи скаларното им произведение е дефинирано. Ще го запиша. Произведението на А по x е вектор, и ако го умножим скаларно по този вектор ето тук, ще получим едно число. Просто вземаме всеки техен елемент и го умножаваме по съответния елемент, събираме ги и получаваме тяхното скаларно произведение. И на какво е равно това? Можем да използваме този резултат, който получихме по-рано в това видео. Като използваме този резултат, скаларното произведение на две матрици... извинявам се, скаларното произведение на два вектора е равно на транспонирания първи вектор като един вид матрица. Можем да разглеждаме това като (А по x)Т. Това е m x 1 и това е m x 1. Сега това е матрица 1 х m, а ние можем да умножим матрица 1 x m по вектор y. Ето така. И на какво е равно това? Видяхме малко по-рано, мисля беше преди 3 или 4 урока, видяхме, че ако умножим две матрици и транспонираме произведението им, това е равно на произведението на двете транспонирани матрици, взети по обратен ред. Сменяме реда на действията и после транспонираме матриците. Значи това ще е равно на... тази цикламената част – това ще е равно на x транспонирано по А транспонирана, по y. Това са просто произведения на матрици. Това не е задължително да са операции с вектори. Разглеждаме тези вектори като матрици. Разбира се, матрицата си я разглеждаме като матрица. И на какво е равно това? Знаем, че умножението на матрици е асоциативно. Можем да сложим скоби – в момента тук имаме скоби от тук до тук, но можем да направим и друга асоциация (обединение). Можем да кажем, че това е равно на x транспонирано по произведението на тези две матрици. Това е вектор, но можем да го представим като матрица m x 1. По A транспонирано по y. Ето така. Сега да помислим какво представлява A транспонирано по у. Да помислим. Транспонираната матрица А – тук имаме А с размери m x n. А какъв размер има A транспонирана? Тя ще бъде n x m, нали? Ще бъде n x m. Значи ще е n х m. А вектор у какъв размер има като матрица? Той е m х 1. Значи когато извършваме това умножение, ще получим матрица n х 1. Досещаш се, че това е вектор в Rn. Значи принадлежи на Rn. Цялото произведение ще бъде вектор, който принадлежи на Rn. Това е дефинирано, защото тук имаме вектор 1 х n. Сега можем да се върнем към нашето тъждество. Когато умножаваме скаларно някакъв транспониран вектор по друг вектор – те имат еднакви – ако мога така да се изразя – този вектор има толкова хоризонтални елементи, колкото вертикални елементи има този вектор тук. И на какво е равно това? Току-що използвахме това тъждество. Това е равно на оригиналния вектор х в този случай – вместо на транспонирания вектор х тук имаме просто вектор х. Значи това е равно на скаларното произведение на х по – спомни си, че току-що един вид премахнахме транспонирането – по A транспонирана по у. Което е един страхотен резултат. Получихме, че това е равно на това тук. Значи можем да променим обединяването на множителите, въпреки, че променихме реда и транспонирахме нашата матрица. Ще преработя това така, че да можеш да запомниш какво получихме. Значи двата основни извода от това видео са – ще препиша този ето тук – скаларното произведение на векторите v . w е равно на произведението на матриците v транспонирана по w. Ако имам някаква матрица – приемаме, че всички тези произведения на матрица с вектор са дефинирани и че всички скаларни произведения са дефинирани. Ако имаме (А по x) по y, някакъв друг вектор y, това е равно на x по – преместваме матрицата А при другия вектор – A транспонирана по вектор y. Това е полезен резултат, полезен извод, над който можем да надградим още в нашия плейлист за Линейна алгебра.