Разстояние между равнини

"Ако разстоянието между равнината Ax – 2y + z = d и равнината, съдържаща правите..." – тук ни дават две прави в три измерения – "...ако това разстояние е корен квадратен от 6, тогава абсолютната стойност на d е..." Да помислим малко по това. В условието се говори за разстоянието между тази равнина и някаква равнина, която съдържа тези две прави. За да оценим реалистично разстоянието между равнините, тези равнини трябва да са успоредни, защото ако не са успоредни... ако те се пресичат помежду си, тогава разстоянието очевидно е нула, а тук ни казват, че разстоянието е корен квадратен от 6. Значи равнините не следва да се пресичат и трябва да са успоредни помежду си. Значи имаме тази равнина тук горе, която има уравнение ax - 2y + z = d, и друга равнина, която е успоредна на тази, може би изглежда ето така. Тя е успоредна на тази равнина и съдържа тези две прави. Може би съдържа тази права в зелено, и тази права може би изглежда ето така, тя е в синята равнина. После тази права в цикламено също е в синята равнина. Как да намерим разстоянието? Добро начало е да опитаме да намерим уравнението на синята равнина. Понеже тези две равнини са успоредни, уравнението трябва много да прилича на оранжевото уравнение – поне лявата му страна, може би ще има по-различна стойност на d, защото равнината има същия наклон. След като намерим уравнението на тази равнина, тогава ще можем да намерим колко е А, ще можем да намерим някаква точка в синята равнина и да използваме знанията си за намиране на разстояние между точка и равнина, за да намерим разстоянието между всяка произволна точка и тази оранжева равнина. За да намерим уравнението на тази синя равнина първо, можем да започнем като опитаме да намерим два вектора в синята равнина, а после да намерим векторното произведение на тези два вектора, за да намерим нормалата към синята равнина и от тази информация ще можем да намерим уравнението на синята равнина. Да намерим някакви точки, които лежат в синята равнина. Върху тази зелена права ето тук имаме... ако искаме това да е равно на нула, ако имаме точката с координати х = 1, у = 2 и z = 3, определено точката с координати (1; 2; 3) се намира в синята равнина. Да намерим още една точка. Ако направя всички тези да са равни на 1, мога да направя това, ако искам това да е две, ще имам точка (3,... ще имам точката... ако искам да е равно на 1, ще взема 5, 5 минус 2, върху 3, значи значи (3; 5..., и после ще искам това да е 7. 7 минус 3 върху 4 е равно на 1. Това е друга точка, като и двете точки лежат на тази права ето тук. (1; 2; 3) и после (3; 5; 7). Сега да направим същото тук, да намерим две точки, всъщност трябва да намерим само една точка в тази равнина, защото три точки са достатъчни, за да намерим два отделни вектора, които не са мащабирани версии един на друг, което е достатъчно за намиране на нормалата към тази равнина. Да намерим още една точка ето тук, и тази точка ще е, ако искаме всички тези трите да са равни на нула, тогава точката ще е (2; 3; 4). Защото това тук ще са 0, 0, 0. Тази точка също е в равнината и лежи на тази цикламена права ето тук. Да използваме тези три точки, за да намерим два вектора в равнината, които не са мащабирани версии един на друг, после да намерим векторното им произведение, . за да намерим нормалния вектор към синята равнина. Нека наречем първия вектор, който е в тази равнина, вектор а, и нека той да е разликата между позиционните вектори, които определят тези две точки, следователно лежи в равнината. Това ще бъде 3 минус 1, което е 2, по i, плюс 5 минус 2, което е 3, по j, плюс 7 минус 3, което е 4, по k. Значи вектор а лежи върху тази зелена права, защото тези двете точки са от нея, значи той лежи на тази права. Ако го поставим в равнината, или ако започнем от една от тези точки, той ще лежи върху правата. После можем да направим друг вектор, който е между някаква точка от зелената права и точка от цикламената права, но той определено ще е вектор в синята равнина. Нека да е между тези две точки – това е лесно, и да го наречем вектор b, Ще използвам различен цвят, за да не се объркваме с това лилаво. Това е вектор b, да видим, 2 минус 1 е 1, 3 минус 2 е 1, и после 4 минус 3 е 1, или b = i + j + k. Този вектор също лежи в равнината. Ако намерим векторното произведение на вектор а и вектор b, ще получим вектор, който е перпендикулярен на равнината, или е нормален вектор спрямо равнината. Хайде да намерим векторното произведение на вектор а и вектор b. За мен е най-лесно по следния начин. Просто пиша 'i', 'j', 'k', това е просто определението за векторно произведение на два вектора, или поне едно от определенията. Записвам първия вектор [2; 3; 4] и после втория вектор, който е [1; 1; 1], и това ще е равно на – първо разглеждаме компонента i, по този ред, без тази колона. 3 по 1 минус 1 по 4, значи това е просто 3 минус 4, значи –1 по i. После минус, ще имаме j, ще напиша минус ето тук, минус, ще сменя знака, има положителен, отрицателен, положителен, така че j... изпускам тази колона, този ред, 2 по 1 е 2, минус 1 по 4, което е –4, значи става минус 2, тук записваме –2, но минус по минус прави плюс и става 2 по j, и накрая за k, изпускаме този ред и тази колона; 2 по 1 е 2, минус 1 по 3, това е 2 минус 3, значи –1, става –k. Това е нормалният вектор към равнината. За да намерим уравнението на равнината, правили сме го няколко пъти, намираме скаларното произведение на нормалния вектор и произволен друг вектор в равнината, който можем да дефинираме с произволни х, у и z, това вече го правихме много пъти в други уроци. Ако това е произволна точка (х; у; z), която лежи в равнината, тогава вектор... ще начертая вектора, нека да отиваме в тази точка ето тук, така че този вектор ето тук ще бъде... всъщност ще го начертая по различен начин, така че този вектор ето тук, да кажем че е между тази точка и точката (х; у; z) този вектор тук ще е (х – 3) по i, плюс (у – 5) по j, плюс (z – 7) по k. Ето какво ще е този вектор, той лежи в равнината, като приемаме, че х, у и z са в равнината. Скаларното произведение на този вектор и на нормалния вектор ще бъде равно на 0, защото той лежи в равнината, а после ще имаме нашето уравнение. Да намерим скаларното произведение на вектор n и този вектор, това е вектор n по (.) вектора (х – 3) по i, плюс (у – 5) по j, плюс (z – 7) по k. Ако нещо от това ти е неясно, в предишните уроци е разгледано по-задълбочено, особено в поредицата Линейна алгебра, където разглеждам намиране на уравнение на равнина, когато имаме точка от равнината и нормалния вектор, и даже как се намира нормалния вектор, така че можеш да ги гледаш, ако ти е нужен преговор. Но тези ще са равни на нула, така че, когато намираш скаларното произведение, нормалния вектор n е това, просто взимаме х-компонента, който е –1, по х-компонента ето тук, това е –1 по това, което е равно на 3 минус х, после плюс у компонента по този у-компонент, значи 2 по това, това е плюс 2у минус 10, и накрая z-компонента, –1 по това. Става плюс 7 минус z е равно на 0, и какво получаваме? Имаме нашето минус х, плюс 2у, минус z, което е равно на... да извадим 3 от двете страни Ако го извадим от тук, става –3. Ако добавим 10 към двете страни, тогава получаваме плюс 10 ето тук, и после ще извадим 7 от двете страни и това става –7. После отдясно, –3 + 10 –7, това просто е равно на 0. И по този начин получихме уравнението за нашата синя равнина ето тук – равнината, в която лежат двете прави. Спомни си, че в началото на видеото казахме, че двете равнини са успоредни, следователно отношението на коефициентите на х-, на у- и на z-членовете ще е еднакво. Тук имаме +2, тук имаме –2, за да го опростим, те изглеждат доста подобни помежду си. Да умножим това уравнение тук, и двете му страни, по –1. Получаваме х – 2у + z = 0, което е напълно валиден, просто различен начин да изразим същата равнина. И сега ми харесва това, че изглежда много сходно на това – поне що се отнася до отношението на коефициентите на х, у и z – –2у, –2 у, 1z, 1z, и си спомни, че отношенията трябва да са еднакви. Тук имаме отношение 1 към 1 между коефициентите на z и на у, което важи и за коефициентите на х. Това означава, че ако тази равнина е успоредна на синята равнина, то тогава това а трябва да е равно на 1. Значи това х –2у + z е равно на d. Сега да намерим действителното разстояние между двете равнини. Можем да вземем точка от синята равнина – имаме няколко възможни точки в синята равнина, и да намерим разстоянието между тази точка и тази равнина тук. Всъщност завърших няколко видео урока за намиране на разстояние между точка и равнина, така че ще използвам тази формула – за доказателството гледай съответното видео – доказателството е много интересно според мен. Разстоянието между тази точка, например точката (1; 2; 3), и тази равнина ето тук това разстояние ето тук ще бъде по посока на нормалата, разстоянието ще бъде... не искам да те претоварвам с променливи... разстоянието ще бъде – буквално просто изчисляваме това, ще го направя по следния начин: просто заместваме с тази точка х, у и z, а после изваждаме d в числителя, и виждаме, че е като във формулата за намиране на разстояние. Това ще бъде буквално едно, едно... Всъщност използвам тази точка ето тук. Това ще бъде едно, едно, защото имаме 1х, значи ще е 1 минус 2 по 2, 1 минус 4 (това е 2 по 2), плюс 3, минус d, като тук d е просто d, затова просто пишем –d, всичко това върху дължината на нормалния вектор, като в няколко видеа видяхме, че това е просто квадратът на коефициентите на всички тези членове тук, и намираме сбора на тези, после корен квадратен, и става равно на: 1^2, плюс (–2)^2, което е 4, плюс 1^2, което е 1. Това се опростява до: разстоянието е равно на 1 минус 4 плюс 3, е равно на 0. Значи в числителя имаме –d, всичко това върху квадратен корен от 1 + 4 + 1, което е върху корен квадратен от 6. В условието е казано, че разстоянието между тези две равнини е корен квадратен от 6. Разстоянието между тези две равнини е корен квадратен от 6, това е тази информация тук, може би да го направя в друг цвят. Разстоянието между двете равнини е корен квадратен от 6, тогава можем да намерим d, умножаваме двете страни на уравнението по корен квадратен от 6, получаваме, че 6 = –d, или d е равно на –6. Тях ги интересува абсолютната стойност на d, или абсолютното разстояние, като знакът ни показва един вид дали сме над или под равнината. Тъй като сме под равнината, получихме отрицателно число, случайно го начертах вярно, ако сме над равнината, ще получим положително число. Това разстояние е –6, абсолютната стойност на d е равна на абсолютната стойност от –6, което е равно на 6. Ако вземем произволна точка от синята равнина и потърсим най-близката точка в оранжевата равнина, те ще са на разстояние 6. Надявам се, че това ти беше интересно.