Сравнение на векторно и скаларно произведение

Знаем от няколко урока насам, че скаларното произведение на два ненулеви вектора а и b е равно на дължината на вектор а по дължината на вектор b по косинус от ъгъла между тях. Ще начертая векторите а и b, за да поясня. Ако това е моят вектор а и това е моят вектор b, ъгълът между тях е ето този ъгъл. И ние го дефинирахме по следния начин. И всъщност, ако искаш да намериш... ако имаш два вектора и искаш да намериш този ъгъл, като аз досега не съм го правил явно. Всъщност мога да го направя точно сега. Можем да намерим ъгъл тита. Това ще бъде скаларното произведение на вектор а и вектор b, делено на произведението от дължините на двата вектора, цялото е равно на косинус от ъгъл тита. И за да намериш ъгъл тита, трябва да намериш обратния косинус на двете страни, или аркускосинус от двете страни, и ще получиш, че ъгъл тита е равен на аркускосинус от скаларното произведение на векторите а и b върху произведението от дължините на тези два вектора. Ако ти дам два произволни вектора... хубавото в това нещо е, че е много лесно. Ако начертая нещо в две измерения ето тук, мога просто да взема транспортир и да измеря този ъгъл. Но ако векторите а и b имат стотици компоненти, става трудно да се представи графично ъгълът между тези два вектора. Но вече не е нужно да го представяш графично, защото можеш да го изчислиш. Само трябва да намериш тази стойност ето тук. След това взимаш калкулатора и записваш аркускосинус, или обратен косинус, това са еквивалентни функции, и ще получиш ъгъла. И това, по определение, е ъгълът между тези два вектора, което е много елегантна идея. После можеш да започнеш да изясняваш неща като перпендикулярност и всичко друго. Това е нещо като допирателна. Другият резултат, който с толкова усилия ти доказах в предишното видео беше, че дължината на векторното произведение на два вектора е равно на – това е много подобен израз – е равно на произведението от дължините на двата вектора, значи дължината на вектор а по дължината на вектор b по синус от ъгъла между тях. Значи това е същият ъгъл. Сега искам да взема тези две определения, като тук има известна разлика, затова ти показах как да намираш ъгъл тита, защото осъзнах, че не съм го правил досега. Сега искам да взема този израз ето тук и този израз ето тук, и да видим дали можем да ги сравним интуитивно, поне в R3, защото досега сме дефинирали векторно произведение само в... Или векторното произведение на два вектора е дефинирано само в R3. Да вземем тези две идеи в R3 и да видим можем ли да направим сравнение. Имам много подобно видео в поредицата по физика, в което сравнявам скаларно и векторно произведение. Сега, ако говоря за... ще начертая отново моите вектори. Значи дължината на вектор а... ще начертая вектор а и вектор b. Искам ъгълът да е по-голям от това. Ще го направя ето така. Това е вектор b. Това е вектор а. Колко е дължината на вектор а по дължината на вектор b по косинус от ъгъла между тях? Ще го напиша ето тук. Това е този ъгъл. Дължината на вектор а, ако трябва да начертая векторите, е тази дължина ето тук. Това е дължината на вектор а. Тя е това разстояние ето тук, по начина, по който го начертах. Това, буквално, е дължината на вектор а. Правя го в R3 или може би негова версия, която мога да вместя в моята черна дъска ето тук. Значи това е просто дължината на тази отсечка ето тук. После дължината на вектор b е дължината на тази отсечка ето тук. Това е дължината на вектор b. Ще препиша това ето тук. Ще го запиша като дължината на вектор b по дължината на... трябва да внимавам. Не искам да е с точка, за да не си помислиш, че е скаларното произведение, По косинус от ъгъл тита. Просто разместих този израз. Това е същото нещо като скаларното произведение на вектор а и вектор b. Какво е вектор а по косинус от тита? Да си припомним от тригонометрията – синус, косинус, тангенс, котангенс. Косинус от тита е равен на прилежащата страна върху хипотенузата. Ако тук направя правоъгълен триъгълник – ще използвам нови цветове, за да не е толкова еднообразно. Ако направя тук правоъгълен триъгълник, и ако тук направя правоъгълен триъгълник, това е ъгъл тита, тогава какво е косинус от тита? Той е равен на това. Ще използвам различен цвят. Равен е на прилежащата страна, равен е на тази къса цикламена отсечка. Не цялата дължина на вектор b, а само тази част, която достига до правия ъгъл. Това е прилежащата страна. Искам да го направя малко по-голямо. Равен е на прилежащата страна върху хипотенузата. Ще запиша това. Значи косинус от тита е равен на тази малка прилежаща страна. Ще го запиша по този начин. Равен е на тази прилежаща страна върху хипотенузата. Но кое е хипотенузата? Тя е дължината на вектор а. Тя е ето това. Това тук е хипотенузата. Значи хипотенузата е дължината на вектор а. Ако умножа двете страни по дължината на вектор а, ще получа дължината на вектор а, по косинус от тита е равно на прилежащата страна. Ще я оцветя в цикламено. Значи този израз ето тук, който е скаларното произведение на вектор а и вектор b може да се представи като – току-що ти казах, че това е дължината на вектор а, по косинус от тита, което е равно на тази малка лилава прилежаща страна. Значи това е равно на прилежащата страна. Можеш да разглеждаш скаларното произведение на вектор а по вектор b като произведение от дължината на вектор b – тази дължина – и прилежащата страна. И може да попиташ: "Сал, какво ми дава това?" Това ти казва, че ти умножаваш на практика дължината на вектор b по тази част от дължината на вектор, която има същата посока като вектор b. Това е един вид сянката на вектор а. В бъдеще ще говорим за проекции. Ще дам математическа дефиниция, но ако терминът проекция ти помага, можеш просто да го използваш. Ако имаш една светлина, която свети отгоре, тази прилежаща страна е един вид сянката на вектор а върху вектор b. Можеш да си представиш, че ако тези два вектора... ако двата вектора изглеждат по-скоро така, ако те реално сочеха в една посока. Да кажем, че това е вектор а и това е вектор b, тогава прилежащата страна, която ме интересува, ще бъде... те ще имат много по-голямо припокриване. Частта от вектор а, която отива в същата посока като вектор b щеше да е много по-голяма. Така че щяхме да имаме по-голямо скаларно произведение. Понеже скаларното произведение всъщност ни казва каква част от тези вектори сочи в една посока. Но то е само едно число, така че това е само тази прилежаща страна по дължината на вектор b. Ами ако векторите са съвсем перпендикулярни помежду си? Ако имам два вектора, които изглеждат ето така? Ако моят вектор а изглежда ето така и вектор b изглежда така? Сега прилежащата страна, по начина, по който я дефинирах тук, ако трябва да построя правоъгълен триъгълник като този, тогава прилежащата страна е много къса. Така че скаларното произведение, въпреки, че вектор а пак е доста голям вектор, сега скаларното произведение е много по-малко, защото векторите а и b имат много малка обща част в една и съща посока. Може да го направиш и по обратния начин. Можеш да начертаеш това ето така и тогава прилежащата страна е наобратно, но това няма значение, защото вектор а и b са произволни. Изводът е, че скаларното произведение на вектор а и вектор b е равно на дължините на всяка от тези отсечки по косинус от ъгъл тита. За мен това означава, че скаларното произведение ми показва каква част от моите вектори се движи в една посока. Или произведението от частите на векторите, които се движат в една посока. Произведение от дължините на векторите, които сочат в една и съща посока. Можеш да разглеждаш тази прилежаща страна като частта от вектор а, която е насочена в посоката на вектор b. Това е частта от вектор а, която има същата посока като вектор b. Така че умножаваш вектор b по себе си. Ето това е скаларното произведение. Колко двете неща са в една и съща посока. Обърни внимание, че когато два вектора са ортогонални или перпендикулярни... когато скаларното произведение на вектор а и вектор b е 0, тогава те са перпендикулярни. И това е съвсем логично от гледна точка на разбирането какво представлява скаларното произведение. Защото това означава, че те са идеално перпендикулярни. Значи това е вектор b и това е вектор а. Тогава прилежащата страна на вектор а, ако построя правоъгълен триъгълник, тя ще се проектира право надолу. И ако трябваше да кажа проекцията на вектор а, тогава тук няма да начертая нищо. Ако поставя светлина отгоре и попитам каква е сянката на вектор а върху вектор b? Ще получим нищо. Получаваме 0. Тази стрелка няма дължина, въпреки че аз начертах някаква дължина. Тя няма дължина. Така че тук долу ще начертаем нула. Частта на вектор а, която отива в посоката на вектор b. Никаква част от този вектор не отива в същата посока като този вектор. Така че имаме прилежаща страна 0 по b, така че ще получим нещо, което е 0. Надявам се, че разбираш това. Сега да разгледаме векторното произведение. Векторното произведение ни казва, че дължината на вектора, получен при това действие (вектор а по (х) вектор b) което аз с много труд показах, че това е равно на дължината на вектор а по дължината на вектор b, по синус от ъгъла между двата вектора. Ще дам същия пример. Ще начертая моите два вектора. Това е вектор а и това е вектор b. Сега синус – спомни си от тригонометрията. Синус от ъгъл тита – ще го запиша. Синус от ъгъл тита е равен на срещулежащата страна върху хипотенузата. Ако построя тук правоъгълен триъгълник, ако спусна перпендикуляр ето тук, това е ъгъл тита. На какво е равен синус от тита в този контекст? Равен е на тази страна ето тук. Ще я нарека просто срещулежаща. Равен е на срещулежащата страна върху хипотенузата. Хипотенузата е дължината на този вектор а ето тук. Това е дължината на този вектор а. Значи хипотенузата е дължината на моя вектор а. Ако умножа двете страни на това по дължината на моя вектор а, ще получа дължината на вектор а по синус тита, което е равно на срещуположната страна. Ако малко разместим това, мога да го преработя като това е равно на – просто ще ги разменя. Трябва също да напиша скаларното произведение. Това е равно на дължината на вектор b по дължината на вектор а по синус от ъгъл тита. Това тук е просто срещулежащата страна, както я дефинирах тук. Това е срещулежащата страна, ето тази страна ето тук. Когато намираме векторното произведение, ние всъщност умножаваме дължината на вектор b по тази част от вектор а, която е перпендикулярна на вектор b. Тази срещулежаща страна е частта от вектор а, която е перпендикулярна на вектор b. Така че тези две произведения са един вид противоположни помежду си. При скаларното произведение умножаваш частта от вектор а, която е в същата посока като вектор b. Докато при векторното произведение умножаваме частта от вектор а, която е в перпендикулярна посока на вектор b, по дължината на вектор b. Това е мярка, особено когато взимаме дължината на това, това е показател колко перпендикулярни са тези два вектора. А това е мярка до колко двата вектора се движат в една посока. Да видим няколко примера. Ако вземем два правоъгълни триъгълника. Значи това е вектор а и това е – ако вземем двата вектора да са перпендикулярни един на друг, дължината на векторното произведение на векторите а и b ще бъде равна на... ако просто използваме тази формула ето тук – дължината на вектор а по дължината на вектор b. Колко е синус от 90 градуса? Той е 1. Значи в този случай един вид максимизираш дължината на векторното произведение. Това е максимално високо. Защото това е максималната стойност на синус от тита. Синус от тита винаги е по-малко или равно на 1. Така че това е най-доброто, което можеш да постигнеш. Това е възможно най-голямата стойност, когато имаш перпендикулярни вектори. Сега, когато... всъщност, само искам да се върна и да отбележа нещо. Кога имаш най-голяма стойност на косинуса в скаларното произведение? Това е, когато двата вектора са колинеарни. Ако вектор а изглежда ето така, и вектор b всъщност е просто друг вектор в същата посока, тогава ъгъл тита е нула. Между тях няма ъгъл. И тогава скаларното произведение на векторите а и b е равно на дължината на вектор а по дължината на вектор b, по косинуса на ъгъла между тях. Косинусът на ъгъла между тях, в този случай косинус от нула, ъгълът е нула градуса, тогава косинусът е 1. Когато имаш два вектора, които са в една и съща посока, или те са колинеарни вектори, тогава един вид максимизираш скаларното им произведение. Векторното произведение е максимално, когато векторите са напълно перпендикулярни помежду си. И само да изясня тази аналогия, когато имаш перпендикулярни помежду си вектори, тогава минимизираш големината на скаларното им произведение. Съществуват отрицателни скаларни произведения, но абсолютната стойност на скаларното произведение е минимална, когато векторите са перпендикулярни помежду си. По подобен начин, ако вземеш два колинеарни вектора, които имат еднаква посока, тогава, ако това е вектор а, и това е вектор b, който е просто още един вектор, който ще начертая върху този. Мисля, че разбираш идеята. Нека това е вектор b. Ъгъл тита е нула. Даже не се вижда. Той се е сплескал. Просто двата вектора са един върху друг. В този случай векторното произведение на вектор а и вектор b (вектор а по (х) вектор b) е равно на дължината на тези два вектора по синус от ъгъл тита. Синус от 0 е нула. Значи е просто 0. Значи големината на векторното произведение на два колинеарни вектора е 0. Но скаларното произведение на вектор а по вектор b ще бъде максимално голямо. Ще достигне възможно най-голямата си стойност. Ще бъде равно на дължината на а по дължината на b. Тук имаме обратния сценарий. Когато векторите са перпендикулярни помежду си, тяхното векторно произведение е максимално, защото то показва колко е перпендикулярната част на вектор а – умножена по дължината на вектор b. После, ако имаш два ортогонални вектори, тогава скаларното им произведение е минимално, абсолютната стойност на тяхното скаларно произведение. Значи скаларното произведение на вектор а и вектор b е равно на нула. Исках да изясня това, защото понякога човек се задълбава във формулите и определенията и един вид изгубва логиката какво означават действително те. Всъщност, преди да продължа, искам да засегна още нещо във връзка с това как може да се интерпретира векторното произведение. Тъй като векторното произведение затруднява хората повече. Това е вектор а и това е вектор b. Как мога да намеря площта на този успоредник? Ако преместя вектор а ето тук и после преместя вектор b ето тук, и начертая отсечка, успоредна на b, и ако искам да изчисля площта на този успоредник тук, как мога да го направя, като използвам само обикновена геометрия? Ще спусна тук една височина. Това е перпендикуляр и има дължина h. Площта на тази фигура, на този успоредник е равна на дължината на основата, която е просто дължината на нашия вектор b по височината. Но кое е нашата височина? Тук ще напиша ъгъл тита. Ще направя тита в зелено, за да се вижда по-добре. Значи ъгъл тита. Вече знаем, че синус от ъгъл тита е равен на срещулежащата страна върху хипотенузата. Така че това е равно на височината върху хипотенузата. Хипотенузата е просто дължината на вектор а. Значи това е просто дължината на вектор а. Можем да намерим височината, и ще получим, че височината е равна на дължината на вектор а по синус от ъгъл тита. Ще преработя това. Ще заместя с това и ще получа, че площта на този успоредник е равна на дължината на вектор b по дължината на вектор а, по синус от ъгъл тита. Но това е просто дължината на векторното произведение на вектор а х вектор b. Това е същото нещо. Искам да кажа, че можем да преобразуваме векторите а и b. Така че сега можем да разглеждаме по още един начин векторното произведение. Векторното произведение на два вектора, или поне големината, или дължината на векторното произведение на два вектора, защото очевидно, векторното произведение ще ни даде трети вектор. Но дължината на този трети вектор е равна на площта на успоредника, който е дефиниран, или който един вид построихме от тези два вектора. Както и да е, надявам се, че това ти се струва логично и че ти дадох малко по-добра представа какво представляват скаларното и векторното произведение.