Векторно неравенство на триъгълника

В последното видео разгледахме неравенството на Коши-Шварц (Буняковски). Мисля, че това е нещо, което си заслужава да запиша отново, защото често ще го виждаме. Това е много удобен инструмент. Съгласно него, ако имаме два вектора х и у, като и двата принадлежат на Rn; и двата са ненулеви вектори; като направихме това допускане по време на доказателството, иначе имаше опасност да делим на някоя от техните дължини, и това щеше да е голяма грешка. Но ако приемем, че и двата вектора са ненулеви, тогава можем да кажем, че абсолютната стойност на скаларното произведение на тези вектори ще бъде по-малко или равно на произведенията от техните дължини. Това е дължината на вектор х и ние я дефинирахме преди няколко урока. А това е дължината на вектор у. Разбира се, че това са просто обикновени числа и и всяко от тези също е обикновено число. Това вече не са вектори, когато разглеждаме дължина. Дължината на 50-мерен вектор може да е просто числото 3. Това е просто скаларна величина. Така че това тук е просто умножение на скалари. Научихме също, че единственият случай, когато това неравенство става равенство, е когато вектор х е равен на някаква скаларно мащабирана версия на вектор у. В някои учебници ще видиш... като това трябва да е ненулева скаларно мащабирана версия. Но това е донякъде очевидно. Вече казах, че х и у са различни от нула. Ако това беше 0, тогава и х щеше да е 0. Но ние вече казахме, че х не е нула. Ако искаш, можеш да кажеш, че знаеш, че с също няма да е нула. Това реално следва от тази информация ето тук. Ако това е случаят, и тогава, и само тогава, когато това е случаят, тогава можем да кажем, че абсолютната стойност на скаларното произведение на тези два вектора е равно на произведението на техните дължини. Това е само преговор на това, което правихме в последното видео. Какво още можем да правим, за което това е полезно? Да си поиграем малко с това. Не мога да се преструвам, че експериментирам, защото знам какво ще се получи. Да видим какво ще се случи, ако търсим дължината на вектора (х + у). Ще събера тези два вектора и после ще повдигна на квадрат дължината на получения вектор. Знаем от преди няколко урока, че дължината на квадрат може да се представи като като скаларно произведение на вектора по самия него. Това ето тук, х плюс у, ми прилича на два вектора. Но това е сборът на два вектора. Резултатът действително е вектор. х + у наистина е вектор. Мога да начертая х + у. Квадратът на дължината на вектор (х + у) мога да преработя като скаларното произведение на този вектор по него самия. Значи това е скаларното произведение на (х + у) по (х + у). Всичко това са вектори. Това не са някакви числа. И това е скаларното произведение на векторите. Това не е обикновено умножение. Видяхме преди два урока, че за скаларното произведение на вектори важат дистрибутивното и асоциативното свойство, както и комутативното свойство, точно както за обикновено умножение на скаларни величини. Така че можеш да развиеш това, както развиваш двучлени. Или може да го разглеждаш като прилагане на дистрибутивното свойство два пъти. Значи това може да бъде представено като скаларно произведение на х по х. Всъщност ще го развия, като приложа дистрибутивното свойство, защото понякога това не е очевидно за всички. Ще направя този х жълт, или ще запиша в жълто цялото (х + у). Значи това тук може да се преработи като скаларно произведение на този вектор х и този вектор (х + у). После ще бъде плюс скаларното произведение на този вектор у... само да сменя цветовете. Плюс скаларното произведение на вектор у по вектор (х + у). Хубаво е да осъзнаеш, че когато умножаваме тези, просто прилагаме дистрибутивното свойство. Тук просто умножих този член по всеки от тези членове на този сбор ето тук. После получих ето това. После мога да умножа всеки от тези по тези вътре в скобите. После това става... трябва да внимавам с цветовете... скаларно произведение на векторите х по х плюс х по у. Може би това е малко прекалено, но мисля, че е хубаво да видиш, че тук няма никаква магия. Просто използваме същите свойства, които доказахме за скаларното произведение на вектори. Това е това ето тук. После имаме плюс скаларното произведение на векторите у и х. Плюс скаларното произведение на този жълт вектор у по жълтия вектор х. Извинявам се, по синия вектор у. Квадратът на дължината на нашия вектор (х + у може да се представи ето така. Пак ще премина на един цвят. Това е равно на това и всичко това – на какво е равно? Това е равно на скаларното произведение на вектор х по вектор х. Колко е скаларното произведение на вектор х по вектор х? Скаларното произведение на х по х е просто дължината. Ще запиша, че това е равно просто на дължината на нашия вектор х. Трябва да спра да използвам думата големина. Квадратът на дължината на нашия вектор х. После тук имам два члена. Имам скаларните произведения на векторите х и у и на векторите у и х. Знаем, че скаларните произведения на векторите у и х и на х и у са еднакви помежду си. Доказахме, че редът няма значение при скаларното произведение на вектори, точно както няма значение при обикновеното умножение на числа. Това са едни и същи членове. Значи можем да запишем това плюс 2 по скаларното произведение на вектор х и вектор у. И накрая, имаме този последен член. Имаме скаларното произведение на вектор у по себе си. Скаларното произведение на у по у е равно на дължината на квадрат на нашия вектор. Сега да видим дали можем да разгадем нашето неравенство на Коши-Шварц (Буняковски). Не знам дали произнасям Шварц правилно. Но това е скаларното произведение на векторите х и у. Имаме абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у. Знаем, че скаларното произведение на векторите х и у ще бъде само... трябва да е по-малко или равно на абсолютната стойност на скаларното произведение на х и у. Защо? Това може да е отрицателно. Мога да ти покажа примери, в които скаларното произведение на векторите е отрицателно. Ако вектор х има само положителни компоненти, а вектор у има само отрицателни компоненти, скаларното произведение на векторите ще е отрицателно. Така че това може да е положително или отрицателно. Ако е положително, ще е равно на абсолютната си стойност. Ако е отрицателно, тогава абсолютната му стойност определено ще е по-голяма от него. Можем да прибавим към неравенството на Коши-Шварц (Буняковски), и това е донякъде очевидно. Можем да прибавим, че скаларното произведение на векторите х и у е по-малко от или равно на абсолютната стойност на скаларното произведение на х и у. Което е по-малко от или равно на дължината на х по дължината на у. Значи скаларното произведение на векторите х и у определено е по-малко от неговата абсолютна стойност. Което определено е по-малко от произведението от дължините на тези два вектора. Ако преработя това, това твърдение тук е определено е по-малко или равно от това напълно еднакво твърдение, но, ако заместя тези с дължините на векторите, това определено е по-малко от или равно на... просто преработвам х на квадрат и ще запиша тук плюс 2. Но искам да е много ясно какво замествам тук. После имам това плюс дължината на моя вектор у на квадрат. Сега аз казвам, че това определено е по-малко от абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у. Което определено е по-малко, съгласно неравенството на Коши-Шварц (Буняковски), определено е по-малко от произведението на двете дължини. Просто замествам това с произведението на на техните две дължини. Значи ще заместя с дължината на х по дължината на у. И понеже това е същото като това, тогава това е същото като това, но това определено е по-малко от това, тогава този целият член трябва да е по-малък от този целият член. Сега искам само да ти припомня какво правим. Казах, че това нещо, което написах тук, то е същото като това. Така че това тук горе, то е същото като това, което също е по-малко от това. Така че можем да запишем, че дължината на х плюс у на квадрат, не големината, а дължината на вектор х плюс у на квадрат е по-малко от това цялото нещо, което написах ето тук. Или по-малко от или равно на. Сега, какво е това нещо? Спомни си, имам предвид, че тези изглеждат симпатични двойни чертички край всеки символ. Но това всъщност са просто числа. (У нас поставяме една черта, както при абсолютна стойност) Тази дължина на х на квадрат, това е просто число. Всички тези са числа и аз мога да кажа: "Хей, виж, това ми прилича на точен квадрат." Този член от дясната страна е съвсем същото нещо като дължината на х плюс дължината на у, и цялото на квадрат. Ако развия този квадратен израз, ще получа просто квадратът на дължината на вектор х плюс два пъти дължината на х по дължината на у, плюс квадратът на дължината на вектор у. Така че квадратът на дължината на нашия вектор (х + у) е по-малка от или равна на тази величина ето тук. И ако коренуваме двете страни на това равенство, ще получим дължината на на нашия вектор (х + у), която е по-малка от или равна на дължината на самия вектор х плюс дължината на самия вектор у. Наричаме това неравенство на триъгълника, което може би си спомняш от геометрията. Защо това се нарича неравенство на триъгълника? Вероятно се досещаш, че всяко от тези може да е отделна страна на триъгълник. Всъщност ще го начертая. Ще начертая това в R2. Ще включа графичен режим. Да видим къде се появяват графите. Ако включа графичен режим тук може би ще мога да чертая тук. Ще начертая вектор х. Да кажем, че вектор х изглежда ето така. Нека това да е моят вектор х. Това е векторът [2;4]. Това е моят вектор х. Да кажем, че вектор у... ще го направя директно начало към край, защото ще трябва да ги събера. Значи вектор у... няма да го правя в стандартна позиция. Да кажем, че изглежда ето така – да кажем, че вектор у изглежда ето така. Искам да го начертая добре. Това е вектор у. Как изглежда векторът (х + у)? Запомни, че не е задължително да чертая два произволни вектора в двумерна равнина като сега. Сега само допускам, че това е в R2. Това е само с цел да ти дам представа. Тогава това е техният сбор, нали? Поставяме ги началото на у към края на х. Този вектор тук е нашият вектор (х + у). Ето затова се нарича неравенство на триъгълника. Това просто означава, че това нещо винаги ще бъде по-малко от или равно на... или че дължината на този вектор винаги ще бъде по-малка от или равна на дължината на този вектор плюс дължината на този вектор. Това изглежда очевидно, когато учиш геометрия в две измерения. Това е много по-ефективен начин да стигнеш от тази точка до тази точка, отколкото да минеш оттук и после оттук. А кога тази дължина е равна на сбора на тези дължини? Ако сплескваме този триъгълник все повече и стигнем до крайния случай, когато може би вектор х изглежда ето така. И ако вектор у е в точно същата посока... ако вектор у е в съвсем същата посока, може би отива само малко по-далеч. Това е вектор х, а това е вектор у. Сега вектор (х + у) просто ще е този целият вектор. Сега това цялото нещо е (х + у). И сега това е случаят, когато всъщност неравенството на триъгълника става равенство. Затова е този знак за равенство. Това е частният случай, в който векторите х и у са колинеарни. Защо се получава така? Можем да се върнем обратно към нашите формули, за да го разберем. Ще изключа графичния режим. Да се върнем към формулите. Връщам се в тази точка, спомни си, точно тук аз направих твърдението, че това нещо е по-малко от това нещо ето тук. Но ако направя едно предположение? Ако кажа, че вектор х е равен на някакъв скалар по вектор у? Всъщност трябва да внимавам, защото някакво число по вектор у... спомни си, че неравенството на Коши-Шварц (Буняковски) казва, че неравенството става равенство, ако х е равно на някакво число, различно от нула, по вектор у. И тогава можем да приложим това. Можем да кажем, че абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у е същото като това ето тук. Но тук нямаме абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у. Не знам, че това е положително. Мога да кажа категорично, че това е положителна величина, защото взех абсолютната му стойност. Тук няма абсолютна стойност. Единственият начин, по който мога да гарантирам, че това е положителна величина, че това е същото като абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у, означава... ако трябва да гарантирам това, трябва да гарантирам, че този член ето тук, че този скалар с е положителен. Защото, ако с е положително, тогава скаларното произведение на векторите х и у ще е равно на скаларното произведение на векторите су и у. Което знаем, че е равно на с по квадрата на дължината на у. Единственият начин да гарантирам, че този израз ето тук е равен на абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите х и у, е скаларът с да е положително число. Ако с е отрицателно, тогава това ще бъде отрицателно число, докато това е положително число. Ако приема, че това е положително, тогава мога да кажа, че скаларното произведение на х и у е равно на абсолютната стойност на х.у. И понеже това е произведение с число, тогава аз мога да кажа, че този член е равен на, не е просто по-малък от или равен на, на дължината на векторите х и у. Надявам се, че не те обърквам. Всичко, което казвам, е, че ако мога да приема, че х е някакво положително произведение на у с някакво число, тогава тук няма да има знак по-малко. Тогава мога да кажа, че скаларното произведение на векторите х и у е равно на абсолютната стойност на скаларното произведение на х и у, тъй като това е положително. И ако това е равно на абсолютната стойност на скаларното произведение х.у и ако те са скаларни кратни един на друг, тогава можем да тръгнем по другия път. Можем да кажем, че това нещо тук... не искам да става твърде разхвърляно. Можем да кажем, че това е равно на това. Ако това е равно на това, тогава това ще стане знак равно, а не знак по-малко или равно. Тогава ще имаме частния случай... не искам да го наричам частен случай. Но можем да кажем, че х + у... ще свършим същата работа, но ще имаме знак за равенство през цялото време, ще е равно на дължината на... Дължината на (х + у) ще е равна на дължината на х плюс дължината на у, когато вектор х е равен на произведението на някакво положително число по вектор у. Значи с е по-голямо от 0. Тези двете се предполагат взаимно. Видяхме го и графично. Координатните оси изчезнаха, но виждаме, че единственият случай, когато дължината на (х + у) е равна на дължината на х плюс дължината на у, е когато двата вектора са колинеарни. Ето тук, това плюс това очевидно... можеш просто визуално да го разгледаш – е по-дълго от това ето тук. Може би ще кажеш отново: "Сал, тази линейна алгебра е малко глупава." Учихме неравенството на триъгълника в осми или девети клас. Защо си причиняваш всички тези мъки, за да го предефинираш? И това е интересното. Това, което начертах тук, е това, което се учи в девети клас. Това е просто R2. Това е просто декартова координатна система, не искам да използвам твърде много понятието измерение, преди да го формулираме математически. Но това е един вид двумерно пространство. Това, което е интересно и полезно в линейната алгебра, е, че ние току-що формулирахме неравенството на триъгълника за n-мерни вектори, като n е произволно число, т.е. вектори, с произволен брой компоненти. Всеки от тези вектори не е задължително да е в R2. Това е вярно, ако сме в R100, където всеки вектор има 100 компонента. Ние току-що формулирахме универсално неравенство на триъгълника. Ние го обобщихме за много повече случаи от двумерната декартова система, повече от три измерения, а за пространство с n-измерения. Още не сме дефинирали какво означава измерение, но мисля, че започваш да осъзнаваш какво представляват те. Както и да е, надявам се че това ти се струва полезно. Сега можем да използваме този резултат, по-точно този резултат и този резултат, и да дефинираме понятието ъгъл между два вектора. Отново, сигурно се питаш: "Защо трябва да дефинираме понятието ъгъл. Не и ли ъгълът просто – ами просто ъгъл?" Да, ние знаем какво е ъгъл в две измерения, но какво означава ъгъл, когато имаме n-измерения? Или когато сме в Rn. Ето за това ще говорим в следващото видео.