Доказване на свойствата на скаларното произведение на вектори

В това видео искам да докажа някои от основните свойства на скаларното произведение на вектори, и може би това ще ти се стори досадно. Честно казано, донякъде е досадно. Но го правя по две причини. Първата е, че това често ще бъде изисквано от теб в часовете по линейна алгебра. Но по-важното е, че ще те накара да оцениш, че ние наистина един вид изграждаме векторната математика от основите, и, че не трябва да приемаш нищо без доказателство. Ще си готов/а да доказваш всичко самостоятелно. Първото нещо, което искам да докажа, е, че скаларното умножение на вектори, когато имаме скаларното произведение на векторите v и w, то е комутативно. Това означава, че редът, в който вземам векторите, няма значение. Искам да докажа, че това е равно на скаларното произведение на w по v. И така, как ще го направим? Това е общият модел за повечето от тези векторни доказателства. Ще запиша векторите. v изглежда така: [v1; v2...vn]. Да кажем, че това е равно на v. И да кажем, че вектор w е равен на [w1; w2;...wn]. На колко е равно скаларното произведение на v и w? Скаларното произведение на v и w е равно на... ще сменя цветовете – на v1 по w1 плюс v2 по w2 плюс... чак до vn по wn. Добре. А на какво е равно скаларното произведение на w по v? Знаеш, че когато дадох определението, просто намираме произведенията. Но аз ще го направя в реда, в който те са ни дадени. Значи това е равно на w1по v1 плюс w2 по v2. Плюс... чак до wn по vn. Тези два израза очевидно са равни помежду си, защото защото като сравним първия член тук и първия член тук, те очевидно са равни. v1 по w1 е равно на w1 по v1. Мога да кажа това, защото тук работим просто с обикновени числа. Тук работим с вектори и имаме този странен начин за умножение, наречен скаларно произведение на вектори. Но определено мога да кажа, че тези са равни, защото това е обикновено умножение. И това е просто комутативното свойство на умножението. Да видим вярно ли написах комутативно. Доколкото си спомням от времето, когато го учих аз, беше във втори или трети клас. Знаем, че тези са равни и по същата причина знаем, че тези двете също са равни. Можеш да преработиш всеки от тези членове, като ги разместиш. Това е свойство на умножението на скаларни числа, т.е. на обикновени реални числа. Ето това ни казва, че тези две неща са равни или че тези две неща са равни. Ние доказахме, че редът няма значение при скаларното умножение на вектори. Следващото нещо, което ще разгледаме, е дали скаларното произведение на вектори притежава дистрибутивно свойство. Тук ще дефинирам още един вектор х. Още един вектор х, като се досещаш как ще го дефинирам. [х1; х2;...хn]. Сега искам да видя дали скаларното произведение притежава дистрибутивно свойство, както очакваме, което означава, че ако събера векторите v и w и после ги умножа по х. Първо, не трябва да има значение редът, по който го правя. Както го показахме тук. Намирам скаларното произведение на х по това. Няма значение редът, защото току-що доказахме, че е комутативно. Ако важи дистрибутивното свойство, тогава това трябва да е същото като скаларното произведение v . x плюс скаларното произведение w . x. Ако тези бяха просто числа и това беше обикновено умножение, можеш да умножиш това по всеки от членовете в скобите, и това искам да покажа сега. Да видим дали е вярно за скаларното произведение. Колко е v + w? v + w е равно на... просто събираме всички съответстващи си компоненти: v1 плюс w1, v2 плюс w2, и така чак до vn плюс wn. Това е това тук. И после намираме скаларното произведение с х1, х2 чак до хn. Какво ще получим? Получаваме (v1 + w1) по x1, плюс (v2 + w2) по x2, и така нататък чак до плюс (vn + wn) по хn. Това е просто скаларното произведение на тези двете. Умножих съответстващите си компоненти и ги събрах. Това е скаларното произведение. Това е скаларното произведение на вектор (v + w) по вектор х. Ще го запиша. Това е скаларното произведение на вектор (v + w) по вектор х. Сега да разгледаме тези неща тук горе. Ще пиша ето тук. Колко е скаларното произведение на v и х? Вече сме го виждали. Това е просто v1 по x1. Тук няма вектори, това са просто компонентите. Плюс v2 по x2 и така нататък чак до vn по xn. Колко е скаларното произведение на векторите w и х? Скаларното произведение на w и х е равно на w1x1 + w2x2 +...wnxn. Какво ще получим, когато съберем тези два израза? Обърни внимание, тук събирам две скаларни величини. Това е скалар и това е скалар. Това вече не е сбор на вектори. Така че това е скаларна величина и това е скаларна величина. Какво получавам, като ги събера? скаларното произведение v . x плюс скаларното произведение w . x е равно на v1 x1 плюс w1 x1, плюс v2 x2 плюс w2 x2, и така нататък, чак до vn xn плюс wn xn. Знам, че е много монотонно. Но можеш да видиш, че тук работим с обикновени числа. Така че можем да изнесем х пред скоби и какво ще получим? Ще го напиша ето тук. Това е равно на... можем просто да изнесем х извън скоби. (v1 + w1) по x1, плюс (v2 + w2) x2, и така нататък, чак до (vn + wn) xn. И виждаме, че това е същото нещо, като това ето тук. Така че показахме, че този израз ето тук, е равен на израза, когато разкриваме скобите и умножаваме, дистрибутивното свойство важи, точно както очакваме за скаларното произведение на вектори. Знам, че това е много досадно. Защо го правим? Правя го, за да ти покажа, че ние обосноваваме нещата. Не можем да приемем това просто така. Но доказателството е много лесно. По принцип не направих тези доказателства, когато разглеждахме събиране на вектори и умножение на вектор с число, но трябваше. Но ти можеш да докажеш, че са комутативни (разместителното свойство). За умножението на вектор с число можеш да докажеш, че важи дистрибутивното свойство, като използваш същото доказателство като това. В много учебници по линейна алгебра тези доказателства са оставени просто като упражнения за учениците, защото са скучни, и считат, че не си струва да си хабят хартията за тях. Сега искам да ти покажа последното свойство, асоциативното свойство. Ще ти го докажа. Ако взема едно число и го умножа по някакъв вектор v. И ако взема скаларното произведение на това с вектор w, ако важи асоциативното свойство, както е при обикновеното умножение, това трябва да е равно на... тук оставям въпросителен знак, защото още не съм го доказал. Ще е равно на с по скаларното произведение на векторите v и w. Да го докажем. Колко е с по вектор v? с по вектор v е равно на с по v1, с по v2 и така нататък, до c по vn. След това вектор w, вече знаем какво ще получим. На това ли е равен вектор w по с? Получаваме това по първия компонент на вектор w. Става c по v1 по w1, плюс това по втория компонент на вектор w, което е c по v2 по w2, и така нататък, до c по vn по wn. Добре. Тази страна е равна на това. Сега да направим тази страна. Кое е скаларното произведение на векторите v и w? Ще го напиша ето тук. Правихме го няколко пъти. Това е просто v1 w1 + v2 w2, и така нататък, чак до vn wn. Започнах да се изморявам от това, вероятно и ти се измори да гледаш, но е хубаво да минем през тези упражнения. Ако някой поиска да докажеш това, вече ще можеш да го направиш. Колко е с по това? Умножавам някакво число по това, това е същото нещо като умножението на някакво число по това. Просто умножавам скалар, т.е. число по... това е обикновеното разпределително свойство за обикновени числа. И това ще бъде равно на c v1 w1 + c v2 w2 + и така нататък до c vn wn. Виждаме, че това е равно на това, защото това е равно на това. Сега най-трудната част... спомням си, че когато за пръв път учих линейна алгебра, установих го, когато професорът възложи да докажем това. Беше ми трудно да го направя, защото изглеждаше смешно очевидно. Мислех си, че само като погледнеш компонентите, просто умножаваш всеки отделен компонент и после ги събираш, и това е асоциативно, така че това е очевидно... какво има да се доказва? И след известно време ме накараха да го напиша. Това не беше нещо, което да разклати земята. Просто ми казаха да умножа компонент по компонент и просто да приема, че важат дистрибутивното, асоциативното и комутативното свойства на обикновените числа, че може да се докаже, че същите свойства се отнасят по сходен начин и за векторите, и за скаларното произведение на вектори. Надявам се, че това ти се струва полезно, и ще се видим в следващото видео, когато ще използваме някои от тези инструменти, за да докажем още интересни свойства на векторите.