If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:20:35

Видео транскрипция

Един термин, който ще чуваш често в тези видео клипове и в линейната алгебра като цяло, е понятието линейна комбинация на вектори. Линейната комбинация на вектори е просто – тя е просто линейна комбинация. Нека ти покажа какво означава това. Нека имаме няколко вектора: v1, v2 и така чак до vn. И всички те са в, знаеш, могат да са в R2 или в Rn. Да кажем, че всички са в Rn-мерно пространство. Те са в някакво измерение на реалното пространство, ако мога да кажа така, но идеята е много проста. Линейната комбинация на тези вектори означава, че просто събираш векторите. Това е някаква комбинация на сумата от векторите, значи v1 плюс v2, плюс, и така нататък, чак до vn, като ги умножаваме по произволни константи. Умножаваме ги по с1, с2, и така чак до сn, като всички числа от с1 до сn принадлежат на множеството на реалните числа. Ето това е линейна комбинация. Нека ти покажа конкретни примери на линейни комбинации. Ще начертая един вектор. Ще дефинирам вектора като... и всички символи са удебелени. (у нас означаваме вектор със стрелка отгоре) Тези цикламени символи са удебелени, защото с тях означаваме вектори, но понякога е малко трудно нещата да се удебеляват постоянно. Нека векторът да е дефиниран като равен на [1; 2]. И дефинирам друг вектор b, който е равен на [0; 3]. Каква е линейната комбинация на векторите a и b? Тя е равна на всяка константа по а плюс всяка константа по b. Може да е 0 по а плюс... плюс 0 по b, и колко ще е това? Това ще е 0 по 0, това ще е 0, значи [0; 0]. Това ще е нулев вектор, но това е напълно валидна линейна комбинация. Можем да означим нулевия вектор просто с една голяма удебелена нула, ето така. Може да взема 3 по а. Избирам случайни числа. 3 по а плюс... и ще взема отрицателно число, просто за разнообразие. Ще го направя плюс –2 по b. На колко е равно това? Да видим. Ще го запиша. Това е 3 минус 2 по 0, значи минус 0, а 3 по 2 е 6. 6 минус 2 по 3, което е –6, получаваме вектор [3; 0]. Това е линейната комбинация на векторите а и b. Мога да продължа да избирам случайни реални числа тук и тук, и ще получа различни линейни комбинации от моите вектори а и b. Ако тук имам трети вектор, ако имам вектор с, и ако евентуално той е, например, [7; 2], тогава мога да го добавя към комбинацията и да прибавя тук 8 по вектор с. Всички тези представляват линейни комбинации. И защо не ги наричаме просто комбинации? Защо трябва да слагаме това линейни отпред? Защото просто ги умножаваме по някакво число. Ние не умножаваме самите вектори един по друг. Ние дори не сме дефинирали какво е умножение на вектори, като то може да стане по няколко начина. Ние не можем да повдигаме един вектор на квадрат, даже още не сме дефинирали какво е това, но това ще го направи нелинеен по някакъв начин. Така че всичко, което правим, е да събираме вектори, и ние просто ги умножаваме по някакво число, ето защо това се нарича линейна комбинация. Може да кажеш: "Хей, Сал, защо изобщо ме занимаваш с тази линейна комбинация?" Защото искам да те запозная с идеята, и това е нещо, което обърква повечето ученици, когато го учат за пръв път. Предполагам, че е заради начина, по който се преподава. Ето тук аз просто слагах различни числа като "тежести", ако мога да кажа така, за с1 и с2 в тази комбинация на векторите а и b, нали? Нека за малко да игнорираме с. Просто тук слагах различни числа. Но това води до въпроса: какво е множеството от всички вектори, които мога да получа? Това е просто един член на това множество. Но какво е множеството на всички вектори, които мога да получа, като правя линейни комбинации на векторите а и b? Ще начертая векторите а и b тук. Може би като си го представиш визуално, тогава евентуално ще можеш да го осмислиш математически. Нека да имаме векторите а и b. Вектор а е [1; 2]. [1; 2] изглежда ето така. Това е вектор а. Ще направя вектор b с различен цвят, с жълто. Вектор b е [0; 3]. Значи вектор b изглежда ето така: [0; 3]. Какво е множеството от всички вектори, които мога да представя чрез събиране и изваждане на тези вектори? Както казах, ако умножим и двата вектора по нула и ги съберем, се оказваме тук. Ако взема 3 по а, това е еквивалентно на увеличение 3 пъти. Значи това е 1а, 2а, 3а. Това е 3а, умножен по 3 изглежда ето така. Това е векторът 3а, и после го събираме с 2b, нали? О, не, изваждаме 2b от това, така че минус b изглежда така. Минус 2b изглежда ето така. Това е минус 2b, в стандартен вид, стандартна позиция, минус 2b. Значи ако събера 3а и –2b, ще получа този вектор. 3а минус 2b дава този вектор тук, и това е точно както го правим, когато го решаваме математически. Получаваме вектор [3;0]. Получаваме този вектор ето тук, [3;0]. Но това е само една комбинация, една линейна комбинация на а и b. Вместо да умножаваме по 3, можем да умножим а по 1 цяло и 1/2 и тогава ще дойдем ето тук. 1 и 1/2 а минус 2b ще изглежда пак същото. Изглежда приблизително като това. Ще изглежда... само да се уверя, че правя това... Ще изглежда приблизително така. И така новият ни вектор, който намерихме, ще е нещо подобно. Просто ти показах, че мога да намеря този вектор чрез линейна комбинация. Мога да намеря този вектор чрез линейна комбинация. Оказва се, че можеш да представиш всеки вектор в R2 с някаква линейна комбинация на тези вектори тук, на векторите а и b. Сега да видим един пример, или може би просто да опитаме един мисловен визуален пример. Където и да искаме да отидем, можем да вземем произволно... можем да умножим по някаква произволна стойност. Това е някаква тежест върху вектор а, и после можем да съберем с произволно кратно на вектор b. Вектор b е точно нагоре и надолу, така че можем да прибавим произволни кратни на b към това. Така че можем да стигнем до всяка точка на тази права. Сега, ако го уголемим още малко повече, и после прибавим произволно кратно на b, ще отидем до всяка точка от тази права. Ако умножим вектор а по отрицателно число и после прибавим вектор b в двете посоки, ще получим всяка точка от тази права. Можем да го правим безкрайно. Няма причина да не изберем произволен вектор а, такъв, че да запълним всяка от тези празнини. Ако търсим точка тук, просто ще вземем вектор а малко по-малък, а после можем да прибавим всички вектори b, така че да запълним тази права. Така че можем да представим всяка точка в равнината R2 с комбинации на векторите а и b. Така че тук можем да запишем, че линейната обвивка – ще запиша този термин. Линейната обвивка на векторите а и b... ще запиша това – е равна на R2 или е равна на всички вектори в R2, което е, знаеш, това са всички наредени двойки. R2 представлява всички наредени двойки, които са комбинации от две реални числа. Значи е равна на цялата R2. Това просто означава, че мога да представя всеки вектор в R2 като някаква линейна комбинация на векторите a и b. Сигурно се чудиш дали можем да направим това с всеки два вектора. Ами ако векторите а и b са... да кажем, че вектор [2;2] е вектор а, и да кажем, че вектор b е векторът [–2; –2], значи вектор b е този вектор. Вектор b е векторът [–2; –2]. Как можем да представим произволен вектор чрез тях? Можем да увеличаваме и намаляваме вектор а, така че да стигнем до всяка точка от тази права, а после да прибавим вектор b, като вектор b реално има същата посока. Той е в обратната посока, но мога да го умножа по отрицателно число и да стигна до всяко място на правата. Значи всяка комбинация на векторите а и b лежи на същата права ето тук, ако я начертая в стандартен вид. Това ще бъде вектор със същия наклон като векторите а и b, или същата стръмност, както искаш го наречи. Аз никога не мога... няма комбинация на векторите a и b, с която да мога да представя този вектор, с която да представя вектор с. Просто не мога да го направя. Мога да ги събера в стандартен вид. Мога да увеличавам/намалявам вектор а, мога да увеличавам/намалявам вектор b, да ги поставям начало към край, но винаги оставам върху тази права. Никога няма да получа това. В този случай, линейната обвивка – искам да поясня това. Това се отнася за конкретни вектори а и b, не за а и b... за това синьо а и за това жълто b, линейната обвивка е е просто тази права. Тя е просто тази права. Тя не е цялата R2. Така че това не е просто едно твърдение, което направих, когато дадох този пример. То звучи като: "Може ли два произволни вектора да представят всичко в R2?" Ами не. Току-що ти показах два вектора, които не могат да представляват това. А каква е линейната обвивка на нулевия вектор? Ще сложа отгоре една стрелка, това е нулевият вектор, ще го удебеля. Нулевият вектор е просто 0, така че не ни е грижа по колко ще го умножим. Линейната му обвивка са всички линейни комбинации на това, така че принципно мога да поставя произволни реални числа тук, но винаги ще получавам вектора [0; 0]. Значи линейната обвивка на нулевия вектор е просто нулевият вектор. Единственият вектор, който мога да получа с линейни комбинации от него, от самия нулев вектор, е просто самият нулев вектор. По същия начин, ако взема линейната обвивка на ... да се върнем към този пример тук. Моят вектор а беше ето такъв. Ще избера по-хубав цвят. Моят вектор а изглежда ето така. И ако търся коя е линейната обвивка на вектор а, тя е всички вектори, които могат да се получат от линейни комбинации само на вектор а. Това е просто увеличение и намаление. Всъщност дори не става въпрос за комбинации. Това е само с по а, всички тези вектори. И във видеото, в което параметризирахме, където показах параметрично предтавяне на права, видяхме, че линейната обвивка само на този вектор а, това е правата, която се получава, когато просто го увеличаваме или намаляваме. Значи линейната му обвивка е просто права. Трябва да имаш два вектора, които не са колинеарни, за да може линейната обвивка да е цялата R2. Още не съм доказал това, но видяхме с този пример, че ако избера това а и това b, можем да представим всичко в R2 само чрез тези два вектора. Двата вектора, за които знаеш най-добре, че покриват R2, ако си учил/а по физика, това са единичните вектори î и ĵ. (Означават се с шапчица (циркумфлекс) отгоре). При нашия начин на записване, единичният вектор î, който си учил/а в часовете по физика, е векторът [1;0]. Значи това е векторът î, а вектор ĵ е просто единичният вектор [0;1]. Това се учи по физика. Ще използвам различен цвят. Това е вектор ĵ. И си учил/а, че те са ортогонални, като ние ще говорим повече какво означава ортогоналност, но от това, което се учи в гимназията, знаем, че това означава, че те сключват ъгъл от 90 градуса. Но можеш да представиш всеки ъгъл или всеки вектор в R2 чрез тези два вектора. Фактът, че са ортогонални, ги прави изключително удобни, и това е причината този начин... ще използвам един термин, който още не сме дефинирали. Те образуват базиса, те формират базиса на R2. Всъщност можеш да представиш всичко в R2 с тези два вектора. Даже няма да дефинирам какво означава базис. Ще го направя в друго видео. Но ще запиша формалната математическа дефиниция на линейна обвивка за твое удовлетворение. Ако трябва да запишем линейната обвивка на множество от вектори v1, v2 чак до vn, това означава множеството от всички вектори, за които c1 по v1 плюс c2 по v2 и така нататък чак до cn по vn – ще се преместя – чак до cn по vn. Значи това е множество от вектори, защото мога да избера моите с-та с индекс i, като произволни реални числа, и това важи и за i – значи ще запиша, че i е произволно цяло число между 1 и n. Просто казвам, че мога да умножа всеки от тези вектори по всяка произволна стойност, реална стойност, и после мога да ги събера. И множеството от всички комбинации, всички мащабирани комбинации, които имам, това е линейната обвивка на тези вектори. Можеш да я разглеждаш като пространството на всички вектори, които могат да се представят като комбинация от тези вектори ето тук. Терминът "линейна обвивка" – за мен той няма логично обяснение. Имам предвид, че, разбираш, в първия пример показах, че линейната обвивка на двата вектора а и b е R2. Записах го ето тук. Това означава, че всеки вектор в R2 може да бъде представен като линейна комбинация на векторите а и b. И всъщност, просто в случай че този визуален начин за "псевдо-доказване" не е убедителен за теб, аз ще го докажа алгебрично. Казвам ти, че ще взема... да кажем, че искам да представя... ще преработя отново моите вектори а и b. Това е вектор а. Той е [1;2]. Вектор b е [0; 3]. Да запомним това. Значи моят вектор а е [1; 2], а вектор b е [0; 3]. Твърдението ми е, че мога да представя всяка точка. Да кажем, че искам да представя произволна точка в R2. Координатите ѝ са х1 и х2. Трябва да ти докажа, че мога да стигна до всяко х1 и до всяко х2 с някаква комбинация от тези вектори. Да кажем, че комбинацията ми... нека с1 по вектор а плюс с2 по вектор b да е равно на вектор х. Ще ти покажа, че винаги мога да ти дам с1 и с2, ако ти ми посочиш някакви хиксове. Ще го запиша ето тук с действителните вектори, които ще запиша във вид на стълбове. Значи, когато имаме с1 по този вектор а, плюс с2 по вектор b, вектор [0; 3], това ще е равно на моя вектор х, трябва да може да е равно на моя вектор [х1; х2], като тези са просто произволни числа. Да видим мога ли да докажа, че това е вярно. Ако това е вярно, тогава следното ще е вярно. с1 по 1 плюс 0 по с2 трябва да е равно на х1. Това следва от определението за умножение на вектори по числа и събиране на вектори. После, ние знаем също така, че 2 по с2... извинявам се. с1 по 2 плюс с2 по 3, което е 3с2, трябва да е равно на х2. Ако мога да ти покажа, че мога винаги да намеря с1 и с2, за всяко х1 и х2, тогава ще ти докажа, че мога да стигна до всяка точка в R2 само чрез тези два вектора. Да видим дали ще успея. Това е просто система с две неизвестни. Това е просто 0. Можем да го игнорираме. Да умножим това уравнение по –2, и да го добавим тук. Получаваме –2с1... просто умножавам това по –2. Тук получаваме 0, плюс 0 е равно на –2 по 1. После събираме двете. Получаваме 3с2, нали? Тези се съкращават. Полачаваме 3... ще го запиша с друг цвят. Получаваме 3с2 е равно на х2 минус 2х1. Делим на 3 двете страни, получаваме с2 е равно на 1/3(х2 –х1). Сега да заместим обратно с1. Имаме първото уравнение, това с1, в първото уравнение с1 плюс 0 е равно на х1, така че с1 е равно на х1. Това тук ни доведе до това. Значи с1 е равно на х1. Значи, ако ми дадеш произволна точка в R2... това са просто две реални числа – и ако аз извърша тази операция, и ще ти кажа каква тежест трябва да сложа на моите вектори а и b, за да стигна до тази точка. Ако ме попиташ: " Каква комбинация на векторите а и b ще ме отведе в тази точка?" – да кажем, че искаме да отидем в тази точка – ще се върна пак тук горе. Това е прекалено нагоре. Да кажем, че искам да отида в точката (2;2). Значи х1 е 2. Ще го запиша ето тук. Да кажем, че искам да отида в точката... вектор [2; 2]. Каква комбинация от векторите а и b ще ме отведе там? Знам, че с1 е равно на х1, значи то е равно на 2. с2 е равно на 1/3 по (2 минус 2). 2 минус 2 е равно на 0, значи с2 е равно на 0. Ако искам да отида в точката (2;2), трябва просто да умножа... о, чакай, видях нещо. Това изглежда подозрително. Направих малка грешка тук, и това е добре, защото всъщност го проверихме с реални числа. Ето тук, където имах 3с2 е равно на х2 минус 2 по 1, тук съм изпуснал тази двойка. Тук има 2. Деля двете страни на 3. Получавам 1/3 по (х2 – 2х1). Ето защо ми се стори странно. Ще направя малка пауза. Да видим коригираната дефиниция на с2. с2 е равно на 1/3 по х2. Значи 2 минус 2 по х1, значи минус 2 по 2. Това е равно на 1/3 по (2 – 4), което е равно на –2, значи е равно на –2/3. Значи, ако умножа вектор а по 2 и вектор b по –2/3, ще получа вектора [2; 2]. Можеш да провериш това самостоятелно. 2 по вектор а, [1;2], минус 2/3 по вектор b, [0; 3], това трябва да е равно на [2; 2].