If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Линейна алгебра > Раздел 1

Урок 7: Нулево пространство и векторно пространство

Векторно пространство на матрица

Векторно пространство на матрица. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Отделихме доста време на нулевото пространство. Сега в това видео ще те запозная с нов тип пространство, което може да се дефинира във връзка с една матрица, и то е стълбовото пространство. Вероятно се досещаш какво представлява само от наименованието му. Нека да имаме матрица А. Нека тя да е матрица m по n. Мога да запиша моята матрица А... ние сме виждали това много пъти – мога да я запиша като съвкупност от вектор-стълбове. Това е първият, това е вторият, и така всички тях. Как знам, че имам n на брой такива? Защото имам n стълба. Във всички тези вектор-стълбове, колко компонента ще имаме? Значи v1, v2 и така до vn. Тази матрица има m реда. Всеки от тези стълбове ще има m компоненти. И те всички принадлежат на Rm. Това стълбово пространство се дефинира като всички възможни линейни комбинации на тези вектор-стълбове. Значи стълбовото пространство на моята матрица А са всички линейни комбинации на тези вектор-стълбове. Какво представляват всички линейни комбинации на множество от вектори? Това е линейната обвивка на тези вектори. Това е линейната обвивка на вектор 1, вектор 2 и така нататък до вектор n. Правили сме го преди, когато разглеждахме линейна обвивка и подпространства. Много е лесно да се покаже, че линейната обвивка на произволно множество от вектори е легитимно подпространство. Тя определено съдържа нулевия вектор. Ако умножиш всички тези вектори по 0, което е валидна линейна комбинация, и ги събереш, ще видиш, че тя съдържа нулевия вектор. Ако, да кажем, че имам някакъв вектор а, който принадлежи на стълбовото пространство на матрицата А. Това означава, че той може да се представи с някаква линейна комбинация. Значи вектор а е равен на с1 по вектор v1, плюс с2 по вектор v2, и така нататък до сn по vn. Въпросът сега е: дали това е затворено множество по отношение на умножението? Ако умножа а по някакво ново... да кажем, че го умножа по някакъв скалар S, избирам случайна буква – тогава S по вектор а дали е в нашата линейна обвивка? S по вектор а ще е равно на S по c1 по v1 плюс S по c2 по v2, и така нататък до S по cn по vn, което е просто линейна комбинация на тези вектор-стълбове. Значи това е вектор S по а, който очевидно принадлежи на векторното пространство на вектор а. И накрая, за да се уверим, че това е валидно подпространство... всъщност това не се отнася само за векторното пространство, това се отнася за всяка линейна обвивка. Това е просто преговор на това, което сме правили досега. Само трябва да се уверим, че е затворено по отношение на събирането. Нека вектор а да принадлежи на нашето векторно пространство. Нека вектор b също принадлежи на нашето векторно пространство, или на линейната обвивка на тези вектор-стълбове. Тогава вектор b може да бъде представен като b1 по v1, плюс b2 по v2, и така до bn по vn. Въпросът ми е дали вектор а плюс вектор b принадлежи на линейната обвивка, на нашето векторно пространство, на линейната обвивка на тези вектори? Да, определено, колко е вектор а плюс вектор b? Вектор а плюс вектор b е равно на (с1 + b1) по v1, плюс (с2 + b2) по v2. Просто събирам този член и този член, за да получа този член. Точи член събирам с този член, за да получа този член. И така нататък до (bn + сn) по vn. Което, очевидно, е просто още една линейна комбинация на тези вектори. Значи този вектор определено принадлежи на тази линейна обвивка. Той не е уникален за една матрица. Матрицата всъщност е само един начин да запишем множество от вектор-стълбове. Значи това се отнася за всяка линейна обвивка. Това определено е валидно подпространство. Векторното пространство на матрицата А определено е валидно подпространство. Да помислим за други начини, по които можем да тълкуваме този начин за записване на векторното пространство. Да помислим от гледна точка на израза... трябва ми хубав цвят – ако умножа... хайде да помислим по следното. Да помислим за множеството от стойностите, ако взема матрицата А, която е m по n, и ако я умножа по произволен вектор х, като х принадлежи на – спомни си, х трябва да принадлежи на Rn. Той има n компонента, за да бъде добре дефинирано това умножение. Значи х принадлежи на Rn. Да помислим какво означава това. Това казва, че мога да взема всеки член, всеки n-компонентен вектор, и да го умножа по А, като ме интересуват всички възможни произведения, на които може да е равно това, всички възможни стойности на А по х, когато избера произволен вектор х от Rn. Да помислим какво означава това. Ако го запиша по този начин, ако запиша х ето така... нека го запиша малко по-добре, ще запиша х ето така – х1, х2 и така нататък до xn. Колко е А по х? А по х може да се представи като х1... виждали сме това и преди – А по х е равно на х1 по v1, плюс х2 по v2, и така нататаък, до плюс xn по vn. Виждали сме това много пъти. Това следва от дефиницията на произведение на матрица по вектор. Ако А по х е равно на това, всъщност казвам, че мога да избера произволен вектор х в Rn, казвам, че мога да избера всички произволни стойности на елементите тук, всички реални стойности и всички техни реални комбинации. И на какво е равно това? Какво е множеството на всички възможни комбинации? Мога да преработя това твърдение ето тук като множеството от всички възможни x1 по v1, x2 по v2, и така нататък до xn по vn. х1, х2 до xn принадлежат на множеството на реалните числа. Това казвам тук. Това твърдение е еквивалентно на това твърдение. Когато казвам, че вектор х може да бъде всеки член на множеството Rn, казвам, че неговите компоненти могат да бъдат произволни реални числа. Ако просто взема множеството на... всъщност, комбинациите на всички тези вектор-стълбове, където техните реални числа, където техните коефициенти са членове на множеството на реалните числа. Какво правя тук? Това са всички възможни линейни комбинации на вектор-стълбовете на матрицата А. Значи това е равно на линейната обвивка на v1, v2, до Vn, което е точно същото нещо, като векторното пространство на матрицата А. Значи векторното пространство на А, можеш да кажеш всички възможни вектори, или множеството на всички вектори, които мога да създам чрез линейни комбинации на тези, или линейната обвивка на тези вектори. Можеш да разглеждаш това като кои са всички възможни стойности, които А по х може да заеме, ако х принадлежи на множеството Rn. Да го разгледаме по следния начин. Да кажем, че искам да реша уравнението А по х е равно на... прието е тук да се записва b – но аз ще използвам едно специално b, ще използвам b1. Да кажем, че искам да реша това уравнение: А по х е равно на b1. После трябваше да ти кажа... да кажем, че търся векторното пространство на матрицата А, и ти казвам, че b1 не принадлежи на векторното пространство на матрицата А, така че какво означава това? Това означава, че това ето тук, А по х, никога не може да е равно на b1, защото всички тези стойности, които това може да приеме, представляват векторното пространство на матрицата А. Ако b1 не принадлежи на това, това означава, че това не може да приеме стойността на b1. Това би означавало, че това уравнение, което се опитваме да съставим, А по х е равно на b1, няма решение. Ако то имаше решение, да кажем, че А по х е равно на b2 има поне едно решение. Какво означава това? Това означава, че за това конкретно х, или може би много различни х, определено можеш да постигнеш тази стойност. Че има някакво х, такова, че когато го умножиш по матрицата А, определено ще получиш тази стойност. Това предполага, че b2 е определено член на векторното пространство на матрицата А. Някои от тези неща донякъде са почти очевидни. Това следва от определението за векторно пространство. Векторното пространство е всички линейни комбинации от вектор-стълбовете, което може да се изтълкува още, че това са всички стойности, които А по х може да приеме. Ако се опитам да приравня А по х на някаква стойност, която то не може да приеме, определено няма да получа никакво решение. Ако мога да намеря решение, мога да намеря някаква х стойност, за която А по х е равно на b2, тогава b2 определено е една от стойностите, които А по х може да заеме. Ще спра дотук. Сега имаш поне донякъде абстрактна представа какво е векторно пространство. В следващите няколко видео клипа ще опитам да събера нещата за това, което знаем за векторните пространства и нулевите пространства, както и всичко друго, за да разберем матричните произведения и произведенията на матрица по вектор от всяка гледна точка.