Размерност на векторното пространство или ранг

Видяхме в няколко видео урока, че векторното пространство на една матрица се намира много лесно. В този случай векторното пространство на матрицата А е равно просто на всички линейни комбинации на вектор-стълбовете на матрицата А. Друг начин да кажем всички линейни комбинации е просто линейната обвивка на тези вектор-стълбове. Ако означим този вектор-стълб като а1, тези са а2, а3, а4. Този е а5. Векторното пространство на матрицата А е равно на линейната обвивка на а1, а2, а3, а4 и а5. Добре. По-интересният въпрос е дали тези вектор-стълбове представляват базис на векторното пространство. Даже още по-интересно е кой е базисът на векторното пространство на А. В това видео ще ти покажа метод за определяне на базиса и междувременно ще разберем защо този метод работи. Ако имам време, но всъщност едва ли ще имам време в това видео. В следващото видео ще ти докажа защо този метод работи. Искаме да намерим базиса на векторното пространство на матрицата А. Спомни си, че базис просто означава линейната обвивка, С(А). Очевидно тези вектори имат за линейна обвивка нашето векторно пространство. Искам да кажа, че линейната обвивка на тези вектори е векторното пространство. Но за да бъде базис, векторите също така трябва да са линейно независими. Но ние не знаем дали тези вектори или това подмножество от тези вектори е линейно независимо. Така че просто – и аз реално ще опиша тук процеса, но не и доказателството – преобразуваме матрицата в ешелонна форма (по редове). Да го направим. Да видим дали мога да направя това. Запазвам първия ред непроменен. 1, 0. Всъщност ще го направя отдясно, ето тук. Запазвам първия ред същия. 1, 0, –1, 0, 4. След това да заместим втория ред с втория ред минус 2 пъти първия ред. Сега вторият ред. 2 минус (2 по 1) е 0. 1 минус (2 по 0) е 1. 0 минус (2 по –1), това е 0 плюс 2. 0 минус (2 по 0) е просто 0. Накрая 9 минус (2 по 4) е 1. Добре. Сега искам да нулирам този ред. Това изглежда лесно. Просто замествам този ред с този ред плюс първия ред. Минус 1 плюс 1 е 0. 2 плюс 0 е 2. 5 минус 1 е 4. 1 плюс 0 е 1. –5 плюс 4 е –1. И накрая този ред тук, за да го нулираме, да заместим с този ред минус първия ред. Значи 1 минус 1 е 0. –1 минус 0 е –1. –3 минус –1, това е –3 плюс 1, значи това е –2. –2 минус 0 е –2. Накрая 9 минус 4 е 5. Направихме един кръг. Получихме първия водещ стълб. Сега да направим още един кръг от операции по редове. Искам да зануля всички елементи тук. За щастие това вече е 0. Не трябва да променяме първия ред или втория ред. Получаваме 1, 0, –1, 0, 4. Вторият ред става 0, 1, 2, 0, 1. Сега да видим можем ли да елиминираме това тук. Да го направим, като заместим синият ред, третия ред, с третия ред минус 2 пъти втория ред. Значи 0 минус (2 по 0) е 0. 2 минус (2 по 1) е 0. 4 минус (2 по 2) е нула. 1 минус (2 по 0) е 1. –1 минус (2 по 1) е –3. Добре. Сега искаме да анулираме този елемент последно, и този елемент да стане нула. Ще заместим четвъртия ред с четвъртия ред плюс втория ред. Значи 0 плюс 0 е 0. –1 плюс 1 е 0. –2 плюс 2 е 0. –2 плюс 0 е –2. Накрая 5 плюс 1 е 6. Приближаваме се към целта. Да видим водещите елементи. Имаме този водещ елемент. Това е водещ елемент. Това не е водещ елемент, защото очевидно следва друг. Този елемент тук е водещ, или ще бъде. Да нулираме това –2 и мисля, че сме готови. Ще взема първия ред както си е, защото всичко над него е 0, така че няма нужда да се тревожим. Първият ред мога да напиша просто като 1, 0, –1, 0, 4. Вторият ред е 0, 1, 2, 0, 1. Третият ред е 0, 0, 0, 1, –3. И сега да заместим четвъртия ред. Ще го заместим с него плюс 2 по третия ред. Значи 0 плюс (2 по 0), 0 плюс (2 по 0), 0 плюс (2 по 0), –2 плюс (2 по 1) е просто 0. 6 плюс (2 по –3), това е 6 минус 6, това е 0. И преобразувахме матрицата в ешелонна форма. Ще я оградя със скоби. Не би било зле, ако опиташ самостоятелно да я преобразуваш. Понякога човек получава главоболие само като мисли за нещо такова, но това не беше толкова зле. Така че това е ешелонната форма на матрицата А. Ще я нарека матрица R. Това тук е матрицата R. Какво прави впечатление за матрицата R? Тя има 3 водещи елемента, или 3 водещи стълба. Ще ги оградя. Стълб 1 е водещ стълб, стълб 2 е водещ стълб и стълб 3 е водещ стълб. Правили сме това в предишните видеа. Има две неща, които правят впечатление. Тези три стълба очевидно са линейно независими. Откъде знаем това? Това е по отношение един спрямо друг. Ако вземем множество от да наречем тези стълбове r1, r2 и r3, това тук ще е r4. Очевидно множеството от r1, r2 и r4 е линейно независимо. Може да попиташ защо е така. Виж, първият стълб тук има 1, докато другите имат нули, нали? Това е определението за водещи елементи. Водещите елементи имат нули, или водещите стълбове имат нули на всички места, освен там, където имат 1. От всички водещи стълбове това е единственият водещ стълб, който има 0 тук. Или е единственият водещ стълб, който има 1 на това място. Няма никакъв начин да събереш комбинации от тези стълбове, и да получиш 1. Можеш да вземеш 100 по 0, минус 3, по 0. Пак ще получиш само нули. Няма комбинация от тези двата, която да е равна на този тук. По същата причина, няма комбинация от това и това, която да дава това. Това е от определението за водещ елемент. Когато преминаваме в ешелонна форма, е много очевидно, че всеки водещ стълб е единственият, който има 1 на това място. Така че е много очевидно, че тези стълбове са линейно независими. Сега се оказва, макар че аз не съм го доказвал, че съответстващите стълбове в матрицата А, това е r1, но той е в А, преди да го преобразуваме в ешелонна форма – оказва се, че тези ето тук, това са а1, а2 и а4 също са линейно независими. Значи а1 – ще го оградя – а2 и а4 са линейно независими. Ще го запиша ето така: а1, а2 и а4. Ще ги запиша като множество. Тези вектор-стълбове са линейно независими, което не съм доказвал. Но мисля, че можеш един вид да усетиш, че тези операции с редовете всъщност не променят същността на матрицата. Ще дам по-добро обяснение на това, но всъщност само исках да разбереш как да изведем базис за векторното пространство. Така че те са линейно независими. Следващият въпрос е дали тяхната линейна обвивка е векторното пространство? За да бъде линейната им обвивка, очевидно всички тези 5 вектора, ако вземем всичките, това ще е линейната обвивка на нашето векторно пространство по определение. Но ако можем да покажем, няма да го правя в това видео, но се оказва, че можеш винаги да представиш неводещите стълбове като линейни комбинации на водещите стълбове. Ние малко се докоснахме до това в предишните видео клипове, където намерихме решение за нулевото пространство и така нататък. Така че тези вектор-стълбове определено могат да се представят като линейни комбинации на тези вектор-стълбове. Не съм го доказвал, но ако го приемеш на доверие, тогава не са ти нужни този стълб и този стълб за линейната обвивка. Ако те не са ти нужни, предполагам, че е по-добре да си го представиш така, ако не са ти нужни за линейната обвивка, въпреки че те са част от линейната обвивка. Защото, ако ти трябва този стълб, можеш винаги да го конструираш като линейна комбинация на тези вектор-стълбове. Ако търсиш базис на векторното пространство на матрицата А, буквално преобразуваш матрицата А в ешелонна форма. Намираш водещите елементи в ешелонната форма на А, това са тези трите. И после гледаш съответните стълбове на тези водещи стълбове в оригиналната матрица А. И те представляват базиса. Защото всяка линейна комбинация от тях, или линейните комбинации от тях могат да се използват за конструиране на неводещите стълбове, и те са линейно независими. Но аз не съм го доказвал още. В този случай, ако искаш да намериш базиса, това е просто а1, а2 и а4. И сега можем да отговорим и на още един въпрос. Значи а1, а2 и а4 образуват базис на векторното пространство на А, защото можеш да конструираш другите два вектора чрез линейни комбинации на базисните вектори, и те също ще са линейно независими. Следващият въпрос е каква е размерността на базиса? Или какъв е размерът – размерността на базиса – колко измерения има векторното пространство на матрицата А? Размерността е равна на броя на векторите в произволен базис на векторното пространство. Всички базиси имат еднакъв брой вектори във всяко дадено подпространство. Значи имаме 1, 2, 3 вектора. Следователно размерността на векторното ни пространство е 3. За размерността на едно векторно пространство всъщност има специален термин, това е т.нар. ранг. Значи рангът на матрицата А е съвсем същото нещо като размерността на векторното пространство, и е равен на 3. Друг начин да разглеждаме това е, че рангът на матрицата А е броят на линейно независимите вектор-стълбове, които имаме, чиято линейна обвивка е цялото векторно пространство. Или броят на линейно независимите вектор-стълбове, които могат да се използват, за да се конструират всички други вектор-стълбове. Надявам се, че това не те обърква твърде много, защото идеята е много проста. Взимаме матрицата А, преобразуваме я в ешелонна форма, и определяме водещите стълбове. Съответните стълбове ще бъдат базис на векторното пространство. Ако искаш да знаеш ранга на матрицата, можеш просто да ги преброиш. Ако не искаш да преброяваш тези, можеш буквално просто да преброиш броя на водещите стълбове в ешелонната форма. Ето по този начин се прави. В следващото видео ще обясня защо се прави по този начин.