Нулево пространство 2: Изчисляване на нулевото пространство на матрица

В последното видео разгледахме теоретично какво представлява нулево пространство и доказахме, че то е валидно подпространство. В това видео ще изчисляваме нулевото пространство на дадена матрица. Ще изчислим нулевото пространство на матрицата А. Нулевото пространство е просто множеството от всички вектори, които, когато умножим матрицата А по всеки от тези вектори, нека векторите х1, х2, х3 и х4 да принадлежат на нашето нулево пространство. Когато умножим тази матрица по този вектор, ще получа нулевия вектор. Ще получа вектора. Искам да отбележа няколко неща, Матрицата има четири стълба. Това е матрица 3 по 4, така че можем да дефинираме умножението на матрицата по нашия 4-компонентен вектор, или член на Rn. Ще означа това като х. Това е нашият вектор х, който принадлежи на R4. Той има 4 компонента. Когато ги умножим, трябва да получим нулевия вектор. Нулевото пространство е множеството от всички вектори, такива, че като ги умножим по А, трябва да получим нулевия вектор. Какво ще получим? Умножаваме първия ред по това и това ще бъде първият компонент, после този ред по това дава втория компонент и после третия ред. Значи трябва да имам три нули. Моят нулев вектор е в R3 Как да определим множеството от всички хиксове, които удовлетворяват това? Ще използвам формалния начин на записване. Нулевото пространство на А е множеството от всички вектори, които принадлежат на – по принцип казваме на Rn, но това е матрица 3 на 4, така че това ще са всички вектори, които принадлежат на R4, защото използвам тази конкретна матрица А, такива, че произведението на матрицата А по всеки от тези вектори е равно на нулевия вектор. В този случай ще бъде нулевият вектор в R3. Как ще направим това? Това е най-обикновено линейно уравнение. Можем да го запишем по следния начин. Ако действително трябва да направим умножението с матрицата, ще получим 1 по х1. Ще го запиша ето тук. Ще използвам различен цвят. 1 по x1, плюс 1 по x2, плюс 1 по x3, плюс 1 по х4, е равно на този нулев вектор. Това по това е равно на това 0. После това по това трябва да е равно на това 0. Значи 1 по x1 дава x1, плюс 2 по x2, плюс 3 по х3, плюс 4 по х4 ще е равно на това 0. И накрая имаме това по този вектор, което трябва да е равно на това 0. Скаларното произведение на този вектор-ред с този вектор-стълб ще е равно на това 0. Получаваме 4 по х1. 4 по x1, плюс 3 по x2, плюс 2 по x1, плюс 2 по x3, плюс x4 е равно на 0. Сега трябва само да намерим множеството от решения на това и сме намерили нашето нулево пространство. Намирали сме множества от решения на подобни системи от уравнения. Имаме три уравнения с четири неизвестни. Можем да го правим. Можем да представим тази система с разширена матрица и после да я преобразуваме в ешелонна форма по редове. Да го направим. Мога да представя тази задача като разширена матрица. 1, 1, 4. 1, 2, 3. 1, 3, 2. И после 1, 4, 1. И ще разширя матрицата с нулевия вектор. Веднага ще забележиш, че ние си направихме труда да умножим това по това е равно на това, и съставихме тази система от уравнения, но сега искаме да решим системата от уравнения и трябва да се върнем отново в света на разширените матрици. Какво представлява тази разширена матрица? Това е просто нашата матрица А. Това е просто матрицата А, а това е просто нулевият вектор. За да решим това, както сме го правили преди, просто ще преобразуваме разширената матрица в ешелонна форма по редове. Когато я преобразуваме в ешелонна форма по редове, ще установиш, че тази дясна страна няма да се промени изобщо, защото по каквото и да умножаваме или каквото и да вадим, всеки път просто работим с нули, така че просто продължаваме да получаваме 0. Когато преобразуваме тази матрица в ешелонна форма по редове, всъщност преобразуваме матрицата А в ешелонна форма по редове. Но по-добре да го направя, вместо само да говоря за това. Отначало ще запазя първия ред същия. Първият ред е 1, 1, 1, 1, 0. После искам да елиминирам тази единица тук, така че ще заместя втория ред с ред 2 минус ред 1. 1 минус 1 е 0. 2 минус 1 е 1. 3 минус 1 е 2. 4 минус 1 е 3. 0 минус 0 е 0. Виждаш, че нулите няма да се променят. Сега ще заместя този ред с 4 пъти по този ред минус този ред. Така ще се отърва само от това. Значи 4 по 1 минус 4 е 0. 4 по 1 минус 3 е 1. 4 по 1 минус 2 е 2. 4 по 1 минус 1 е 3. 4 по 0 минус 0 е 0. Сега искам да се отърва от... за да преобразувам това в ешелонна форма по редове, трябва да се отърва от този член и този член. Ще запазя средния ред същия. Средният ми ред е 0, 1, 2, 3. Това е 0 в разширената част на матрицата, макар че тези нули никога няма да се променят, но е полезно просто като упражнение да продължим да ги пишем. За първия ред да заместим с първия ред минус втория ред, така че да се отърва от тази единица. Значи 1 минус 0 е 1. 1 минус 1 е 0. 1 минус 2 е –1. 1 минус 3 е –2. 0 минус 0 е 0. Сега ще заместя последния ред с последния ред минус средния ред. Значи 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0. 2 минус 2 е 0. Предполагам, че виждаш какво ще получим. 3 минус 3 е 0. Очевидно 0 минус 0 е 0. Тази система от уравнения беше преобразувана просто като преобразувахме в ешелонна форма по редове тази задача тук. Ако преработя това тук, това може да напиша като система уравнения от х1 минус х3 минус х4, нали? Това 0 по х2 е равно на 0. Във втория ред няма х1, има само x2, плюс 2 по x3, плюс 3 по x2 е равно на 0, а последният ред очевидно не ми дава никаква информация. Мога да реша това. Мога да намеря х1 и х2, и какво получавам? Получавам, че х1 е равно на х3 плюс х4. Всъщност тук допуснах грешка. Това е х1 минус х3, минус 2 по х4, е равно на 0. Ако преработя това, ще получа х1 е равно на х3 плюс 2 по х4. И после получавам х2. Ще го направя със зелено. х2 е равно на минус 2 по х3, минус 3 по х2. (Сал пише 3х2 вместо 3х4, което по-късно ще поправи) Ако искам да напиша множеството от решенията на това уравнение, ако искам да го изразя чрез това, трябва да напиша х1, х2, х3, х4 е равно на... на колко е равно х1? То е равно на х3 по 1, плюс х4 по 2. Нали? Получих това от ето това уравнение тук. х1 е равно на 1 по х3 плюс х4 по 2. Това е просто ето това тук. х2 е равно на х3 по –2, плюс х4 по –3. Какво правя? Започнах да се губя. Това х2 тук е х2 плюс 2 по х3, плюс 3 по х4, равно на 0. Значи х2 е равно на –2 по х3, минус 3 по х4. Точно така. Извинявам се, не съм напълно съсредоточен в задачата и правя глупави грешки. Но мисля, че сега разбираш. Сега на колко е равно х3? То е равно на 1 по х3, плюс 0 по х4, нали? х3 е равно на х3. На колко е равно х4? То е равно на 0 по х3 плюс 1 п ох4. Значи всички тези вектори в R4, те принадлежат на R4, които удовлетворяват уравнението, първоначалното уравнение, Ах = 0, могат да бъдат представени като линейна комбинация на тези два вектора, нали? Това са просто случайни числа, които принадлежат на... Можем да изберем произволно реално число за х3 и можем да изберем произволно реално число за х4. Значи множеството от решения е просто линейна комбинация на тези два вектора. По какъв друг начин можем да изразим линейна комбинация на два вектора? Ще го запиша. Нулевото пространство на А, което е просто множеството от решения на това уравнение, то е просто всички х, които удовлетворяват уравнението, то е равно на всички линейни комбинации на този вектор и този вектор. Как наричаме всички линейни комбинации на два вектора? Това е линейната обвивка на тези два вектора. Значи е равно на линейната обвивка на този вектор и този вектор. На вектора [1; –2; 1; 0] и на вектора [2; –3; 0; 1]. Това е нашето нулево пространство. Преди да приключа, искам да посоча нещо интересно тук. Ние представихме системата от уравнения по този начин и я преобразувахме в ешелонна форма по редове, така че това е А и това е 0. Това тук е... само да си направя малко място, ще пиша ето тук. Това тук е ешелонната форма по редове на матрицата А. И всъщност това уравнение, това е линейно уравнение, чрез което търсим решението на задачата. Ешелонната форма по редове на матрицата А по вектор х е равно на 0. Всички решения на това са също и решения на първоначалната задача, на първоначалното А по х = 0. Какво е решението на това? Всички стойности на х, които удовлетворяват това, това е нулевото пространство на ешелонната форма по редове на матрицата А. Нали? Значи тук са всички стойности на х, това е нулевото пространство, за тази задача, ако намерим всички стойности на хикс, това е нулевото пространство на ешелонната форма по редове на матрицата А. Но ние казваме, че тази задача е същата задача като тази, нали? Значи можем да кажем, че нулевото пространство на А е равно на нулевото пространство на ешелонната форма по редове на А. Това може би изглежда малко объркващо – защо изобщо писахме това? – но всъщност това е много полезно, когато изчисляваме нулеви пространства. Дори не е нужно да записваме тази разширена матрица тук. Можем да вземем нашата матрица А, да я преобразуваме в ешелонна форма по редове, и после да намерим нейното нулево пространство. Прескачаме направо в тази точка ето тук. Това е ешелонната форма по редове на А, и после веднага можем да решим тези уравнения, нали? Просто ни трябва скаларното произведение на ешелонната форма по редове, или не скаларното произведение, произведението на матрицата и вектора на ешелонната форма по редове на А и този вектор, и ще получим тези уравнения, а после тези уравнения веднага, мога да просто да ги преработя в този вид и ще получа резултата. Както и да е, надявам се, че намираш това за полезно.