Визуализация на векторното пространството като равнина в R3

В предишното видео започнах с тази матрица ето тук, и от самото начало казах, че линейната обвивка на тази матрица е просто линейната обвивка на вектор-стълбовете, които тя включва, и го записах ето тук. Но ние не изяснихме дали е налице линейна независимост, и ако векторите не са линейно независими, то тогава те не е могат да служат за базис на матрицата. После продължихме и намерихме нулевото пространство на матрицата А. Установихме, че нулевото пространство на матрицата А съдържа повече вектори, а не само нулевия вектор. Това тук е само линейната обвивка на на тези два вектора, което означава, че тези стълбове не са линейно независими. Видяхме това преди няколко урока. И ние използвахме тази информация, че те не са линейно независими, за да опитаме да ги направим линейно независими, като премахнем излишните вектори. Отървахме се от този вектор-стълб и от този, защото принципно това са стълбовете, които са свързани със свободни променливи. Успяхме да направим това, като използвахме една техника ето тук, и направихме едната свободна променлива да е равна на 0, другата да е равна на –1, след което намерихме стойностите на водещите променливи. След това сложихме втория да е равен на 9, и другият да е равен на –1 и намерихме водещите променливи. Вероятно се досещаш, че това е процес, който може да се обобщи. Ако имаш куп свободни променливи, можеш да приравниш на нула всички тях, освен една, и тогава тази променлива, която не е приравнена на 0, я приравняваш на –1. Можеш да изразиш това като сума на водещите променливи, като водещите променливи са функция от свободните променливи. По принцип, това е бърз начин за решение. Но сега ще го направим по-бавно. Ако е дадена матрицата А и искам да намеря базиса на векторното пространство, векторното пространство е просто линейната обвивка на тези вектори, но ако искам линейно независим базис, трябва да намеря някакво множество от тези вектори, което е линейно независимо. Мога да преобразувам тази матрица в ешелонна форма (по редове). Когато я преобразувам в ешелонна форма, което направих ето тук, това е ешелонната форма на матрицата А, тогава мога да разгледам променливите, които са свързани с водещите елементи. Значи това е х1. Ще сляза малко надолу. Това е свързано с х1, нали? Когато умножим това по х1, получаваме този стълб по х1, този стълб по х2, този стълб по х3, този стълб по х4, ето така. Когато имаш една обикновена матрица А, когато разгледаш твоята матрица, всичко е съвсем същото. Ако трябва да запишеш А по х равно на 0, този стълб ще бъде свързан с х1, този стълб ще бъде свързан с х2, с х3, с х4, по този начин. Значи първо я преобразуваш в ешелонна форма по редове. Определяш в кои стълбове има водещи елементи или са свързани с водещи променливи. Казваш: "х1 и х2 са свързани с водещи променливи, или те са водещи променливи, и те са свързани с първите два стълба, така че тези първите два стълба ще бъдат базис на векторното пространство." Как получаваме това? Да не би да си съчинявам нещата в движение? О, не! Всичко следва от факта, че винаги можеш да конструираш ситуация, в която векторите, свързани със свободни променливи, можеш да ги представиш като линейна комбинация на векторите, свързани с водещите променливи, и ние разгледахме специален случай на това миналия път. Един много бърз и несъвършен начин да го направим, не знам дали всъщност е несъвършен, но просто взехме матрицата, преобразувахме я в ешелонна форма и казахме, че този стълб и този стълб са свързани със свободните променливи. Следователно този стълб и този стълб трябва да са свързани с нашите свободни променливи. Множествата на решенията са същите като за А по х равно на 0, или за ешелонната форма на матрицата А по х, което е равно на 0. Те са същите. Ако този стълб и този стълб са свързани със свободни променливи, това се отнася и за този стълб и този стълб, което означава, че те могат да бъдат изразени като внимателно избереш стойностита за свободните променливи като линейни комбинации на стълбовете, свързани с водещите променливи, с водещите елементи, които са този стълб и този стълб. Значи този стълб и този стълб ще бъдат базис на матрицата А, и ние го видяхме. Установихме го ето тук чак до тук долу. [1; 2; 3] и [1; 1; 4]. Ние свършихме много работа и стигнахме до тук, като казахме, че това е базис на векторната линейна обвивка на матрицата А. След като всичко това е свършено, да видим дали можем всъщност да визуализираме векторното пространство на матрицата А. Имам странното чувство, че може би казах векторна линейна обвивка няколко пъти, а трябва да е векторно пространство, и как изглежда то? Има няколко начина да разсъждаваме за това как изглежда то. Единият начин е да кажем: "Виж, линейната обвивка на това е 2... това принадлежи на R3. Това е вектор в R3, и това е вектор в R3. Имаме две... ако си представиш... Ще начертая осите х, z... обикновено се чертаят така. Обикновено това е оста у, това е оста z в R3, ако искам да представя тримерно пространство. После вектор [1; 2; 3] може да изглежда ето така, едно, две, едно, две, три, значи слизаме едно надолу тук, после тук три нагоре. Значи векторът ще изглежда ето така в стандартна форма. Това е ето това тук. Вектор [1; 1; 4] ще бъде едно, едно и четири нагоре, така че ще изглежда като нещо такова. Всъщност е трудно да ги начертая много добре в три измерения, но ти схващаш идеята. Но векторното пространство е линейната обвивка на тези вектори, така че то е всички линейни комбинации на тези два вектора. Всички линейни комбинации на тези два вектора ще създадат равнина, която съдържа двата вектора. Ако просто съберем тези вектори в множество комбинации, ще получим всеки вектор в тази равнина. Ако просто ги съберем, ще получим този вектор ето тук. Ако съберем този вектор и два пъти този вектор, ще получим някакъв вектор ето тук. Ако ги разглеждаме като позиционни вектори, те образуват равнина в R3. Но да видим дали можем да изведем уравнението на тази равнина. Как може да стане това? Знаем, че можем да намерим уравнението на една равнина въз основа на факта, че скаларното произведение на нормалния вектор с... тук ще запиша нормалния вектор ето така. Скаларното произведение на нормалния вектор по някакъв позиционен вектор, определящ някаква позиция в равнината. Ще означа това като вектор х минус произволна точка в равнината или произволен позиционен вектор в равнината. Значи мога да напиша, че скаларното произведение на този вектор минус вектор [1; 2; 3] и нормалния вектор трябва да е равно на 0. Можем да използваме тази информация, за да намерим уравнението на равнината. Но кой е нормалният вектор? Как да намерим нормалния вектор към тази равнина? Това ще бъде вектор. Да видим мога ли да начертая това така, че да не става объркване. Ако равнината изглежда ето така, нормалният вектор трябва да сочи ето така. Как мога да създам нормален вектор? Научихме, че взимаме векторното произведение на два произволни вектора в R3, и това векторно произведение съм дефинирал досега само в R3, така че ще получа вектор, който е нормален и към всеки един от тези вектори. Да намерим векторното произведение. Това е хубав начин да го разглеждаме, защото всъщност това обединява всичко, което сме учили досега. Ще дефинирам нормалния вектор да е равен на векторното произведение на вектор [1; 2; 3] по вектор [1; 1; 4]. На колко е равно то? Първият член, игнорирам това, получавам 2 по 4, минус 3 по 1. 2 по 4 е 8. 2 по 4, минус 3 по 1. 8 минус 3. Вторият ред, имам 1 по 4, изкушавам се да умножа 1 по 4, минус 3 по 1. Но ти ги обърни. Умножи 3 по 1, което е 3, минус 1 по 4. Правили сме го няколко пъти. Може да гледаш отново видеото за векторно произведение, ако това ти изглежда непознато. Пренебрегваме средния ред, и обикновено умножаваме 1 по 4, минус 3 по 1, но средния ред обръщаме. Това е дефинирано само за R3, така че вместо това умножаваш 3 по 1, минус 1 по 4. И накрая последния ред, игнорираме го, казваме, че 1 по 1, което е 1, минус 2 по 1, което е –2. И това е равно на вектор [5; –1; –1], който по определение е векторното произведение, и аз ти доказах няколко пъти, че той е нормален и към всеки един от тези вектори. Значи той е нормален към всяка линейна комбинация на тези два вектора. Сега, когато имаме нашия нормален вектор, можем да дефинираме обичайното уравнение на равнината. Знаем, че нашият нормален вектор [5; –1; –1], който получихме като векторно произведение на векторите от базиса, неговото скаларно произведение с произволен вектор в тази равнина. Ще запиша един произволен вектор. Ще го запиша просто като [х; у; z]. Значи [х; у; z], според означенията на осите ето тук. Това е оста х. [х; у; z]. [х; у; z] минус... просто ще избера един от тези вектори. Мога да избера всеки от тях – минус [1; 2; 3], скаларното произведение на тази разлика и нормалния вектор трябва да е равно на 0 Какво е това? Това ще е равно на... ще го напиша малко по-дребно, малко по-спретнато – [5; –1; –1] по (.) – какъв ще е този вектор? х минус 1, у минус 1, и z минус 3, трябва да е 0. Какво е скаларното произведение? Това е 5 по (х – 1), плюс... или може би трябва да кажа минус 1, значи това е плюс –1 по (у – 2), плюс –1 по (z – 3) е равно на 0. Това е просто определението за скаларно произведение. Като опростя това, получавам 5х минус 5, минус у, плюс 2, минус z плюс 3 е равно на 0. 2 плюс 3 е 5, минус 5, тези се унищожават. Това е равно на 0. И получаваме 5х – у – z = 0. Тази равнина в R3 е векторното пространство на матрицата А. Така доказахме, че това действително е равнина в R3. Всъщност е логично, че тази равнина пресича началото на координатната система. Ако приравним х, у и z равно на 0, това удовлетворява уравнението. Това е логично, защото казахме, че векторното пространство на една матрица трябва да е валидно подпространство, а валидното подпространство трябва да съдържа нулевия вектор. В R3 това е вектор с координати 0, 0, 0. Сега искам да видя дали можем да получим същия отговор, като подходим по точно обратния начин. Нека да вземем оригиналната матрица А, която забравихме. Аз съм писал върху нея, но сега ще я копирам и поставя. Това е първоначалната матрица А. Копирам я. И я поставям. Не. Не исках това да направя. Да видим, оригиналната матрица А... Бях копирал нещо друго. Сега ще... не искам да ти губя времето. Едит, копирай, едит, постави. Готово и сега ще скролна малко надолу до място, което е сравнително чисто. Свалям матрицата А надолу. Използвал съм много място. Ето така. Това е първоначалната матрица А. Сега искам да видя дали мога да получа този резултат по напълно различен начин. Получих този резултат, като намерих базиса на векторната линейна обвивка, като намерих нормалния вектор чрез векторното произведение на двата вектора на базиса, и после използвах скаларното произведение на нормалния вектор с разликата... този вектор ето тук, където взимам произволен вектор от равнината минус един от базисните вектори, за да намеря вектор в равнината. Това е някакъв вектор в равнината. Значи произволен вектор в равнината, скаларно умножен по нормалния вектор ще бъде равно на нула. Всъщност може би трябва да направя една странична забележка, че единствената причина да мога да кажа, че нормалният вектор е векторно произведение на двата базисни вектора е защото знам, че тези два вектора на базиса не само, че определят някаква точка в равнината... да кажем, че този вектор е този синият вектор. Не само, че определят някаква точка в равнината ето тук, но векторът лежи изцяло в равнината. Откъде знам това? Защото знам от самото начало, че векторът [0;0] е част от линейната обвивка, нали? Знаех, че ако начертая този вектор в стандартна позиция, точката [0; 0; 0] е в линейната обвивка и знам, че крайната му точка е в линейната обвивка, така че целият вектор е в равнината и, по същия начин, този целият вектор лежи в равнината. Така че векторното произведение на произволен нормален вектор към тези вектори или всяка комбинация от тези вектори ще бъде нормална към равнината, и така получихме този резултат ето тук. Но сега ще взема това ето тук и ще използвам друга дефиниция на линейната обвивка на вектор-стълба. Другото определение, или едно еквивалентно определение за линейна обвивка е, че тя съдържа всички валидни решения на А по х, където х принадлежи на Rn. Друг начин да мислим за това е, че можем да го разглеждаме това като всички валидни b, за които А по х е равно на b, и х принадлежи на Rn. Това са еквивалентни твърдения. Просто дефинирам b като А по х, така че тези са еквивалентни твърдения. Но нека да поработим над това тук. Да кажем, че дефинирам b такова, че то да е вектор в R3, нали? Вече имаме интуиция за това. Нека b... Когато умножа А по х, получавам вектор b, който е равен на [х; у; z]. Искам да определя за кои х, у и z мога да получа валидни решения. Ако взема моя вектор А и го умножа по... всъщност, най-добрият начин да го направим е... мисля, че го използвах току-що. Ако решавам уравнението А по х равно на b, мога всъщност да направя разширена матрица, като имам матрицата А и я разширя с b, и да я преобразувам в ешелонна форма, и това всъщност представлява моето множество от решения. Да го направим. Ако просто разширя тази матрица ето тук с b, записвам х, у, z. Това е матрицата А, разширена с b. Това е А, това е b. Ще я преобразувам в ешелонна форма и ще намеря множеството от решенията. Това са х, у и z, които дефинират валидно b. Какво ще получа? Първо искам, като ние вече сме правили това, ще запазя първия ред непроменен. 1, 1, 1, 1 и после тук е х. Сега да заместим втория ред с втория ред минус първия ред. Или всъщност ще го направя така. Ще заместя втория ред с 2 по първия ред минус втория ред. Значи 2 по първия ред минус втория ред, получаваме 2х минус у ето тук. После 2 по 1, минус 2 е 0. 2 по 1, минус 1 е 1. 2 по 1, минус 4 е –2. 2 по 1, минус 3 е –1. –2 и –1. Добре. Сега ще заместя третия ред с третия ред минус 3 по първия ред. Значи от третия ред вадим... не, ще го направя по следния начин. Третия ред минус 3 пъти първия ред. Първо ще направя стълб b, защото помня какво направих. Третия ред минус три пъти първия ред. 3 минус 3 по 1 е 0. 4 минус 3 по 1 е 1. 1 минус 3 по 1 е –2. И после 2 минус 3 по 1 е –1. Сега мога да преобразувам в ешелонна форма, но вече се случи нещо интересно. Ще се опитам още сега да нулирам третия ред. Най-добрият начин да нулираме третия ред е просто да заменим третия ред... Значи първия ред... даже няма да пиша първия ред. Вторият ред е 0, 1, –2, –1 и 2х – у. Засега няма да се тревожа за този първи ред. Но сега да заместим третия ред, просто като искаме да преобразуваме в ешелонна форма. Да заместим втория ред с втория ред минус третия ред. Получаваме 2х – у, минус z + 3х. Просто взех това минус това. Значи минус z + 3х. Значи 0 минус 0 е 0. 1 минус 1 е 0. –2 минус –2 е 0, и това също е 0. Значи ще имаме валидно решение на Ах = b само когато това ето тук е 0. Какво ще стане, ако този елемент не е 0? Тогава ще имаме куп нули, които са равни на някакво число, което означава, че няма решение. Така че, ако изберем b, когато този елемент не е равен на 0, тогава няма решение. Ако този елемент е 5, ако избера х, у и z, такива, че този израз да е равен на 5, тогава Ах = b няма да има решение, защото ще получим, че 0 е равно на 5. Значи това трябва да е 0. Така 2х минус у, минус z, плюс 3х трябва да е равно на 0, за да може b да е валидно и да принадлежи на векторното пространство на А, за да получим валиден вектор като резултат от Ах, или произведението А по х да е валидно за някакво х. И на какво е равно това? Ако съберем 2х плюс 3х, получаваме 5х, минус у, минус z, което е равно на 0, което е същият резултат, като този, който получихме чрез базисните вектори. Казахме: Знаеш ли какво? Базисните вектори трябва да принадлежат на векторното пространство по определение. Затова да намерим нормалния вектор към двата от тях, като намерим векторното произведение. Направих това и казах, че векторното произведение по произволен валиден вектор в нашето пространство минус един от базисните вектори трябва да е равно на нула, и после получихме това уравнение. Можехме да го направим и по обратния път. Можехме буквално да решим това уравнение, като приемем, че нашето b е равно на това. Попитахме: Кои стойности на b ще ни дадат валидно решение? И едиственото валидно решение може да се получи, когато този вектор е равен на 0, защото останалата част от този ред става 0. И когато сложим това да е равно на 0, получаваме съвсем същото уравнение. Надявам се, че намираш това за сравнително удовлетворяващо, защото успяхме да решим същата задача от две различни посоки, и да получим един и същ резултат, което показва красотата на линейната алгебра, и как всичко започва да си пасва.