Линейни подпространства

Смятам, че вече разполагаме с инструментите да разберем идеята за линейно подпространство на Rn. Ще го запиша. Просто винаги ще го наричам подпространство на Rn. Всичко, което разглеждаме, е линейно. Подпространство на Rn. Ще дам определението. Ще кажа, че имаме едно множество от вектори V. Значи V е подмножество от вектори, някакво подмножество на Rn. Вече казахме, че Rn, когато мислим за него, то всъщност е просто едно безкрайно множество от вектори, като всеки от тези вектори има n на брой компоненти. Няма да го дефинирам формално, но това е просто множество от вектори. Понякога го изобразяваме като многомерно пространство и всичко това, но ако искаме да остане толкова абстрактно понятие, колкото е възможно, това е просто цялото множество. Това е множеството от всички – знаеш, можем да ги наречем х1, х2, и така нататък до xn, като всяко от тези xi принадлежи на множеството на реалните числа за всяко от тези i. Нали? Това беше нашето определение на Rn. Това е просто огромно множество от вектори. Безкрайно голямо множество от вектори. V ще нарека подмножество на Rn, което означава, че е само част... досещаш се, то може да е всички тези вектори, и аз ще обясня това след секунда. Или може да е някакво подмножество от вектори. Може да е всички вектори без един определен вектор. За да може това V да бъде подпространство... вече казах, че е подмножество на Rn. Може би това ще ти помогне. Ако нарисувам всички елементи на Rn тук като един огромен балон, това са всички вектори, които са в Rn. V е подмножество на това. То може да включва всичко в Rn. Ще ти го покажа след малко. Но нека кажем, че това е V. V е подмножество от вектори. За да бъде V подпространство, това е дефиницията, ако V е подпространство, или линейно пространство в Rn, това означава, това е по определение, това означава три неща. Това означава, че V съдържа нулевия вектор. Това е нулевият вектор. Той е равен на 0 във всички посоки и имаш n на брой нули. Значи V съдържа нулевия вектор, който е това удебелено V ето тук. Ако имаме някакъв вектор х, който принадлежи на V... ще го запиша – ако моят вектор х принадлежи на V, ако х е един от векторите в подмножеството V, тогава умножаваме х по всеки член на множеството на реалните числа. Ако х се съдържа във V, тогава, ако V е подпространство в Rn, то х по всяко число (скалар) също е член на V. Това условие трябва да е изпълнено. Множеството V се описва с термина "затворено". Ако това условие е изпълнено за всеки елемент от множеството, то е затворено множество по отношение на умножението Ще го запиша с нов цвят. Множеството е затворено по отношение на умножението със скалар (число). Това е просто завъртян начин да кажем, че ако вземем някакъв елемент от множеството и го умножим по някакъв скалар (число), полученият вектор отново е част от нашето множество. Ако умножим този елемент по някакъв скалар и резултатът е извън множеството, ако получа някакъв друг вектор, който не е част от моето подмножество, тогава това не е подпространство. За да бъде определено като подпространство, ако умножа произволен вектор от подмножеството по някакво реално число, тогава дефинираме това като подпространство над реалните числа, ако го умножа по произволно реално число, ще получа друг елемент от това подмножество. Това е едно от условията. Друго условие е, ако взема два вектора, да кажем, че имаме вектор а, който е ето тук, и имам вектор b ето тук. Това е другото условие V да е подпространство. Ако а, извинявам се, ако вектор а принадлежи на множеството V, и вектор b принадлежи на множеството V, тогава, ако V е подпространство на Rn, това означава, че а плюс b също трябва да принадлежи на V. Това е множество, затворено по отношение на събирането. Ще го запиша. Множество, затворено по отношение на събирането. Това също е завъртян начин да кажем, че ако взема два елемента на това подмножество, и ако ги събера, като това може да са кои да е два произволни елемента на моето подмножество, и ако ги събера, то тогава ще получа друг елемент на моето подмножество. Ето това означава затворено множество по отношение на събирането – че когато събереш два вектора в твоето множество, получаваш друг вектор в същото множество. Няма начин да получиш вектор, който е извън твоето множество. Ако имаме подмножество от вектори в Rn, което включва нулевия вектор, и което е затворено по отношение на умножението и събирането, тогава имаме подпространство. Подпространство означава, че имаме всички тези условия, и всички тези условия означават, че имаме подпространство. Това е определението за подпространство. Всичко това може би изглежда доста абстрактно в момента, но нека да видим няколко примера. Не знам дали тези примери ще направят нещата по-конкретни, но мисля, че ако видим достатъчно, ще разбереш логически какво означава пространство. Да решим няколко примера. Искам да запазим сравнително математическа формалност. Да кажем, че имам едно почти елементарно множество. Да кажем, че моето множество от вектори съдържа само един вектор и това е нулевият вектор. Ще направя едно удебелено 0 тук. Мога да го запиша ето така, единственият вектор в моето множество е нулевият вектор. И сега какво? Имаме R3. Нека моят нулев вектор в R3 да изглежда ето така. Искам да знам дали моето множество V е подпространство на R3? За да бъде подпространство има три условия. Трябва да съдържа нулевия вектор. Да, единственото нещо, което съдържа, е нулевият вектор. Значи определено съдържа нулевият вектор. Така че условието за нулевия вектор е изпълнено. А дали е затворено множество по отношение на умножението? Това означава, че ако взема произволен елемент от множеството, тук има само един член, и ако го умножа по произволен скалар, ще получа друг член от множеството или може би ще получа самия него. Да видим, имаме само един член в множеството. Единственият член на множеството е нулевият вектор. Ако го умножа по произволно число, какво ще получа? Ще получа с по 0, което е 0, с по 0, което също е нула, и с по 0. Ще получа единствения му член. Значи е затворено множество по отношение на умножението. Можеш да умножиш този вектор по всяко число, и отново ще получиш същия този вектор. Така че оставаш в същото множество на нулевия вектор. Това условие е изпълнено. Затворено ли е множеството по отношение на събирането? Очевидно, ако прибавя произволен член на множеството към самия него, имам предвид, че има само един член, към друг член на множеството. Тук има само един вариант. Ако събера това с това, какво ще получа? Получавам отново това. Получавам пак него. Значи определено множеството е затворено по отношение на събирането. Условието е изпълнено. Оказва се, че това елементарно просто подмножество на R3, което съдържа само нулевия вектор, представлява подпространство. Може би елементарно просто подпространство, но то изпълнява условията за подпространство. Не можеш да направиш нищо с векторите в него, което по някакъв начин да те отведе извън това подпространство. Или поне по отношение на умножение със скалар или събиране. Сега да разгледаме пример, в който може би идеята ще стане по-ясна, като ти покажа нещо, което не е подпространство. Нека това да са координатните оси. Да кажем, че искам да намеря подпространство, някакво подмножество, за което не знам дали е подпространство. Ще означа множеството като S. То се състои от векторите с координати х1 и х2, които принадлежат на R2, такива че – и тук ще посоча едно ограничение, такива че, х1 е по-голямо от или равно на 0. Съдържа всички вектори в R2, чиято първа координата е 0 или по-голяма от нула. Ако трябва да начертаем това, какво ще получим? Нищо няма да получим. Можем да се движим нагоре и надолу във всяка посока. Нали? Можем да отиваме нагоре и надолу във всяка посока, но има ограничение. Всички вектори имат първа координата 0 или по-голяма от нула. Всички тези първи координати ще бъдат 0 или по-големи. Ето този, можем да отиваме нагоре и надолу произволно. Значи това всъщност е подмножество на R2, като R2 е цялата декартова равнина. Но това подмножество на R2 ще включва вертикалната ос, най-често е означавана като оста у. Ще включва вертикалната ос и по същество първи и четвърти квадрант, ако си спомняш как номерираме квадрантите. Това е първи квадрант, а това е четвърти квадрант. Въпросът ми към теб е дали S е подпространство на R2. Първият въпрос: дали съдържа нулевият вектор? В случая с R2 дали съдържа вектора [0;0]? Да, разбира се. То включва вектор [0;0] ето тук. Казахме, че х е по-голямо или равно на 0, така че първата координата може да е 0, очевидно няма ограничение за втората координата, така че определено вектор [0;0] се съдържа в множеството S. И това условие е изпълнено. Да видим следващото условие. Ако събера кои да е два вектора от това множество, дали полученият вектор ще е част от нашето множество? Да опитаме с няколко примера. Вероятно това не е доказателство. Ако събера този вектор и този вектор, какво ще получа? Ако прибавя това тук, ще получа този вектор. Ако събера този вектор и този вектор, какво ще получа? Ще ги поставя начало към край, и ще получа вектор, който изглежда ето така. Ако го направя формално, ако събера... да кажем, че имам два вектора, които принадлежат на нашето множество. Да кажем, че първият вектор е [а;b] и го събера с вектора [c;d], какво ще получа? Получавам вектор с координати [(а + с); (b + d)]. Това нещо тук ще е по-голямо от 0. Това също ще е по-голямо от 0. Това е първото условие, за да принадлежи на множеството. Значи, ако първите координати на двата вектора са по-големи от 0, като ги съберем, новата първа координата също ще е по-голяма от 0. Не ни интересува колко са вторите координати, те могат да са всяко число, нямаме ограничения за втория компонент на векторите. Изглежда, че множеството е затворено по отношение на събирането. А какво да кажем за умножението по скалар (число)? Да вземем конкретен случай. Да вземем отново вектор [a;b]. Мога да избера произволен скалар. Произволно реално число. Какво ще стане, ако умножим вектора по –1? Значи по –1. Ако го умножа по –1, ще получа [–a; –b]. За да го представя графично, ако това е... нека [a;b] да е вектор [2;4]. Ще изглежда ето така. Когато го умножа по –1, какво ще получа? Получавам [–а; –b]. Получавам този вектор. Който можем графично веднага да видим, че се намира извън, това е един вид позиционен вектор, който е извън нашето подпространство. Но дори да не го разглеждаш графично, дори да го направиш само математически, очевидно е, че ако това е положително, то това ще е... да кажем, че приемаме, че това е положително, и определено не е нула. Това категорично е положително число. Значи това категорично ще е отрицателно число. Когато го умножим по –1, за всеки елемент от това множество, който не съдържа нула тук, ще получим нещо, което е извън множеството, нали? Този вектор не принадлежи на това множество, защото за да принадлежи на него, първият му компонент трябва да е по-голям от нула. А този първи компонент е по-малък от нула. Така че това подмножество, което начертах тук, подмножеството на R2, не е подпространство, защо? Защото не е затворено по отношение на умножение или на умножение със скалар. Това не е подпространство на R2. Сега ще ти задам един интересен въпрос. Ще те попитам каква е линейната обвивка на някакво множество вектори. Да кажем, че ме интересува линейната обвивка на, не знам, да кажем, че имаме векторите v1, v2 и v3. Даже няма да ти казвам колко компонента има всеки от тези вектори. Дали това е валидно подпространство на Rn? Като n е броят на компонентите, които има всеки от тези вектори. Да изберем един от елементите. Ще дефинирам, да кажем, че u е множеството от всички линейни комбинации на тази линейна обвивка. Ще дефинирам u да е линейната обвивка. Искам да знам дали u е валидно подпространство. Да го разгледаме по следния начин. Ще избера един случаен елемент на u. Дали това съдържа нулевия вектор? Да, със сигурност. Ако умножим всички тези по 0, ако просто кажем 0 по v1, плюс 0 по v2, всички тези са вектори, не съм удебелил символите (у нас поставяме стрелка над символа) плюс 0 по v3, получаваме нулевия вектор, нали? Просто направихме всичко нула. Така че определено съдържа нулевия вектор. Това е линейна комбинация на тези три вектора, значи тя е част от линейната обвивка. Сега ще избера някакъв произволен елемент от линейната обвивка. За да принадлежи към това множество, това означава, че трябва да е представен от... просто ще го нарека вектор х... това означава, че може да го представим като линейна комбинация на тези вектори. Значи някаква комбинация, c1 по v1 плюс c2 по v2, плюс c3 по v3. Нали? Просто изразявам този вектор х, който принадлежи към това множество, така че да бъде изразен като линейна комбинация на тези три вектора. Това множество затворено ли е по отношение на умножението? Нека да умножим това по някаква произволна константа. Колко е с по х? Ще слеза малко надолу. На колко е равно с по х? Всъщност ще умножа по друга константа. Ще умножа по някаква произволна константа а. Колко е а по х? Колко е а по с1 по v1 – просто умножавам двете страни на равенството по а – а по с2 по v 2 плюс а по с3 по v3. Нали? Ако това е произволна константа, можеш просто да представиш това като друга произволна константа. Това е друга произволна константа. Искам да поясня. Просто умножиш двете страни на равенството по скалар (число). Очевидно, този израз ето тук, имам предвид, че мога да го представя, мога да го преработя като с4 по v1 плюс с5 по v2, като това е с5, а това е с4. Плюс с6 по v3. Това очевидно е друга линейна комбинация на тези три вектора. Линейната обвивка е множеството от всички линейни комбинации на тези три вектора. Очевидно това е една линейна комбинация, значи тя принадлежи на линейната обвивка. Това също принадлежи и на u. Също така е в линейната обвивка на тези три вектора. Значи е затворено по отношение на умножение. Сега само трябва да покажем, че е затворено по отношение на събирането, а после ще знаем, че линейната обвивка на... тук направих три, но можеш да включиш произволен брой n вектори, ако линейната обвивка на всяко множество от вектори е валидно подпространство. Ще докажа това. Вече дефинирахме един вектор х тук. Ще дефинирам и друг вектор, който принадлежи на u, или който е в линейната обвивка на тези вектори. Той е равен на, не знам, да кажем, че е равен на d1 по v1, плюс d2 по v2, плюс d3 по v3. И колко е х + у? Ако събера тези два вектора, на колко е равен сборът им? Мога просто да ги събера. х + у означава, че всичко това тук плюс всичко това тук. На колко ще е равно? Ако просто ги събереш, ще получиш (с1 + d1) по v1, плюс (c2 + d2) по v2, плюс (c3 + d3) по v3. Нали? Тук има v3, тук има v 3, просто събираш коефициентите. Това очевидно е просто още една линейна комбинация. Отново това са просто константи. Това е произволна константа, това е произволна константа, това е произволна константа. Значи това е просто линейна комбинация на v1, v2 и v3. Значи по определение трябва да принадлежи на линейната обвивка на v1, v2 и v3. Значи определено множеството е затворено по отношение на събирането. Сега може да кажеш: "Хей, Сал, ти казваш, че линейната обвивка на всеки вектор е валидно подпространство." Но ще ти покажа пример, в който, ако вземем линейната обвивка само на един вектор – ще дефинирам u да е линейната обвивка само на един вектор, ще го направя наистина лесен пример. Ще е просто векторът [1;1]. Очевидно това не може да е валидно подпространство. Да го разгледаме графично. Как изглежда вектор [1;1]? Вектор [1;1] изглежда така. Нали? Линейната обвивка на вектор [1;1]... той е в стандартна позиция – линейната обвивка на вектор [1;1] съдържа всички линейни комбинации на този вектор. Няма с какво да го съберем, така че наистина това ще са всички уголемени и умалени (мащабирани) версии на това. Ако го уголемиш, ще получиш вектори, които изглеждат по-скоро ето така. Ако го смалиш, ще получиш вектори, които изглеждат по-скоро така, ако отидеш в отрицателната област. Значи само като умножаваме този вектор по различни стойности, и ако поставиш всички получени вектори в стандартна позиция, то ще получиш реално една права, която изглежда ето така. Ще кажеш: "Чакай, това не изглежда като цяло подпространство." Няколко бележки. Ясно е, че съдържа нулевия вектор. Можем просто да умножим по 0. Линейната обвивка е просто различните мащабирани версии на това. Ако тук има други вектори, можеш да събереш и тях, разбира се. Но това определено ще бъде нулевият вектор. Значи съдържа нулевия вектор. Затворено ли е по отношение на умножението? Линейната обвивка е множество от всички вектори, за които, ако с са всички реални числа и ги умножиш по [1;1], получаваш линейната обвивка. Очевидно, ще умножиш това по всичко, тогава ще е равно на нещо друго, което определено ще е в тази линейна обвивка. И последно – затворено ли е по отношение на събирането? Всеки два вектора от линейната обвивка могат... да вземем вектор а, който принадлежи на линейната обвивка. Мога да го представя като с1, някакво число, по моя вектор. После, нека да имам друг вектор b, който ще представя като с2 по единствения вектор в моето множество ето тук. На колко ще е равно това? Това ще е равно на с... ще си направя малко място. това ще е равно на с1 + с2 по моя вектор. Това е супер лесно и очевидно. Но очевидно, това не е линейната обвивка. Това е просто мащабирана версия на този вектор. То е в линейната обвивка, то е мащабирана версия на този вектор. Това също ще бъде в линейната обвивка на този вектор, защото това е просто друг скалар. Можем да го означим като с3. Ако го представиш графично, ако взема този вектор ето тук, и ако го събера с този вектор, ако ги поставя начало към край, ще получа ето този вектор. Ето този в зелено. Не знам дали можеш да го видиш. Ще го направя в червено. Ще получиш този вектор. Можеш да направиш така, че ако събереш така всеки вектор с всеки друг вектор на тази права, и ще получиш друг вектор на тази права. Всеки вектор на тази права, умножен по някакво число, ще бъде друг вектор на тази права. Значи множеството е затворено по отношение на умножението. Затворено е по отношение на събирането. Включва нулевия вектор. Следователно тази толкова проста линейна обвивка е валидно подпространство. Това просто потвърждава идеята, която показах тук. Че, по принцип, можех просто да направя това множество от n вектора. Тук избрах три вектора, но можеха да бъдат n на брой вектори и можех да използвам същите аргументи, че линейната обвивка на n вектора е валидно подпространство на Rn. И го показах ето тук.