Вектор - примери

В последното видео подходих малко формално към дефинирането какво е n-мерно векторно пространство Rn, какво е вектор и събиране на вектори, и умножение на вектор със скаларна величина (число). В това видео искам да се върна към основите и да дам много примери. Искам да придобиеш по-добра представа за векторите и как работим с тях. Ще дефинирам няколко вектора. Повечето вектори, които ще използвам в това видео, ще бъдат в R2. Това е най-вече, защото те се чертаят лесно. Спомни си, че R2 е множество от наредени двойки. Наредените двойки съдържат числа, така че можеш да имаш х1... единицата ми прилича на запетайка... х1 и х2, като всяко от тези е реално число. Значи и х1, и х2 принадлежат на множеството на реалните числа. И за да добиеш представа какво означава това, ако това тук са координатните оси, и ако искам да построя тук всички наредени двойки (х1; х2) – знаеш, че това е първата координата. Винаги взимаме това като координатата по х. После втората координата отнасяме спрямо вертикалната ос. Това по принцип е оста у, но ние ще я наричаме просто втората числова ос. Можеш да представиш визуално всяка наредена двойка R2 като всяка една точка в тази равнина, ако продължаваме до безкрайност във всяка посока. Ето това е R2. R1 съдържа просто точки спрямо една от тези числови оси. Това ще е R1. Веднага разбираш, че R2 е един вид по-обширно пространство. Както и да е, казах, че не искам това видео да е твърде абстрактно, и че ще ти покажа примери. Да вземем някои вектори в R2. Ще дефинирам вектора а. Ще направя буквата удебелена. (У нас вектор се бележи със стрелка над буквата). Векторът ми е равен на... ще си измисля някакви числа, например –1 и 2. Вектор b, ще го направя хубав и удебелен, той ще е... да вземем 3 и 1. Това са нашите два вектора. Хайде да ги съберем и да видим какво се получава. Просто въз основа на определението за събиране на вектори. Ще използвам само един цвят, за да не се налага непрекъснато да сменям цветовете. Хубаво удебелено а, плюс удебелено b, са равни на – просто събирам всеки от тези компоненти. Равно на –1 плюс 3. После 2 плюс 1. Това е определението за събиране на вектори. Това ще е равно на 2 и 3. Това просто следва от определението за сбор на вектори. Как можем да представим този вектор? Вече знаем, че ако имаме координати, както знаеш, ако имаме координати... и това просто е прието така. Това е просто начинът, по който го правим. Начинът, по който го визуализираме. Ако искам да начертая точката (1; 1), отивам при координатните оси. За първата точка се движа по хоризонталата, която обикновено означаваме като оста х. Придвижвам се с 1 в тази посока. Както е прието, за втората компонента се придвижвам с 1 във вертикална посока. Значи това е точката (1;1). Само да поясня. Това са 2 и 2, значи 1 е ето тук, и 1 е ето тук. Значи точката (1;1) е ето тук. Това е стандартният начин. Начинът да се представят вектори е, изкушавам се да кажа, или може би просто представяме този вектор в точката (–1;2). Можеш да направиш това. Ще ти покажа след секунда. Но е прието, че векторите могат да започват от всяка точка. Да кажем, че имаме двумерни вектори. Можеш да започнеш от всяка точка в R2. Да кажем, че започваш от точката (х1; х2). Това е произволна точка в R2. За да представим вектора, ние построяваме отсечка от тази точка до точката х1. Да кажем, че искаме да начертаем вектор а. Значи х1 минус 1. Така представям вектор а. Искам да начертая вектор а. х1 – 1, а после х1 + 2. Ако това ти се струва объркващо, когато го чертая, ще стане очевидно. Да кажем, че искам да започна от тази точка, да кажем, че имам някаква странна причина, и избирам произволна точка тук. Просто избирам точка, ето тази тук. Това е началната ми точка. Значи (–4; 4) Ако искам да представя моя вектор а, както току-що казах, просто добавям първия компонент към моята първа координата. Става х1 плюс –1 или х1 минус 1. И новата ще стане, това ще е х1 минус 4. И сега ще стане, да видим, започвам от точка (–4; 4). Ако искам да начертая вектор а, просто чертая една стрелка до минус 4 плюс първия компонент, минус 1. И после 4 плюс втория компонент, 4 + 2. Колко е това? Това е (–5; 6). Значи отивам до точката (–5; 6). Значи отивам до тази точка и ги съединявам с отсечка. Векторът ще изглежда ето така. Спускам отсечка от тук до тук. И поставям стрелка в крайната точка. Това е едно представяне на вектора [–1;2]. Всъщност ще го направя малко по-добре. Защото –5 е малко по-близо до тук. (–5; 6) е ето тук, така че чертая моя вектор ето така. Но си спомни, че тази точка (–4;4) беше произволна точка, от която да начертаем вектора. Можеше да започна от тази точка тук. Можеше да започна от точка (4; 6) и да направя същото нещо. Щях да се придвижа с –1 в хоризонтална посока, това е придвижването ми в хоризонтална посока. И после +2 във вертикална посока. Значи ще начертая... минус 1 в хоризонтална посока, плюс 2 във вертикална посока ме води точно тук. Така че можеше спокойно да начертая вектора и така. Това са две представяния на един и същ вектор а. Ще ги направя в цвета на вектор а. Вектор а е с този светлосин цвят ето тук. Това е вектор а. Това е вектор а. Понякога се слага малка стрелка отгоре, за да се означи, че е вектор. И двете са този вектор. Мога да начертая безкраен брой вектори а. Мога да начертая вектор а тук. Мога да го начертая ето така. Вектор а, който отива назад с 1 и нагоре с 2. Вектор а може да е и тук. По същия начин и с вектор b. Какво става с вектор b? Мога да избера произволна точка за начало на вектор b. Той отива с 3 надясно, значи отива надясно с 1, 2, 3, а после отива нагоре с 1. Значи вектор b, едно представяне на вектор b е това. Друго представяне може да започне от ето тук. Мога да отида надясно с 3 единици, 1, 2, 3 и после нагоре с 1. Това е друго представяне на моя вектор b. Има безброй представяния на това. Но е прието, векторите да се поставят в така наречената стандартна позиция. Това означава, че започват от точката (0;0). От началото на координатната система, ще запиша това. Стандартна позиция на вектор е просто когато той започва от точката (0; 0) и после го чертаем. Значи вектор "а" в стандартна позиция започва в точка (0;0), ето така, после отива назад с 1 и после с 2 нагоре. Това е вектор "а" в стандартна позиция ето тук. Сега да направим вектор b в стандартна позиция. Ще го надпиша. Това е а. Вектор b в стандартна позиция отива с 3 надясно и после 1 нагоре. Това са векторите в стандартна позиция, но всички тези, които начертахме тук, също са напълно валидни. Сега да видим дали можем да разтълкуваме какво се случва, когато събираме вектор а плюс вектор b. Ако начертая този вектор в стандартна позиция, просто смятам, това е 2, 3. Значи отивам надясно с 2 и нагоре с 3. Ако просто го начертая в стандартна позиция, ще изглежда ето така. Този вектор ето тук. Когато за пръв път го погледнеш, този вектор ето тук е вектор (а + b) в стандартна позиция. Когато го начертаеш така, не е много ясно каква е връзката, когато събираме вектор а и вектор b. За да виждаме какво правим, поставяме вектор а и вектор b начало към край. Това означава, че поставяме началото на вектор b до крайната точка на вектор а. Защото – спомни си – всички тези са валидни представяния на вектор b. Всички са представяния на вектор b. Те всички са успоредни помежду си, но могат да започват от всяка произволна точка. Друго, също така валидно представяне на вектор b, е ако започнем от тази точка тук, от крайната точка на вектор а в стандартна позиция, и после чертаем вектор b, като започваме от тук – отиваме 3 надясно – преместваме се с 1, 2, 3. После отиваме с 1 нагоре. Така че вектор b може да бъде начертан и така. И сега ще видиш нещо интересно, което се случва. Запомни, вектор b не е в стандартната си позиция, но това е също толкова валиден начин да го начертаем. И какво виждаш сега? Ако прибавя вектор а, който е ето тук, към вектор b, какво ще получа, ако съединя началната точка на а и крайната точка на b? Получавам сбор. Събирам двата вектора. Мога да го направя навсякъде. Може вектор а да започва тук. После нанасям крайната точка. Може да започна вектор b от тук, отивам 3 надясно, 1, 2, 3, и после 1 нагоре. Можех да начертая b ето тук по този начин. После, за сумата на векторите а и b отивам от началната точка на вектор а, и после към крайната точка на вектор b. Това също е визуално представяне на а плюс b. Само да проверим, че това съвпада с тези числа, тук отивам 2 надясно, 1, 2, и после отивам 3 нагоре. 1, 2, 3, и получавам а + b. Сега да видим какво се случва, когато променим големината на векторите, когато умножим вектор по скаларна величина (число) . Ще избера нови вектори. Тук стана еднообразно. Ще дефинирам вектор v. v като вектор (vector). Да кажем, че е равен на [1; 2]. Ако искам да начертая вектор v в стандартна позиция, се придвижвам с 1 по хоризонтала и после 2 по вертикала. Това е. Това е вектор v в стандартна позиция. Ако искам да го направя не в стандартна позиция, може да го направя тук. 1 надясно и 2 нагоре, ето така. Еднакво валиден начин да начертая вектор v. Еднакво валиден начин за построяване. Сега да видим какво ще стане, ако умножа вектор v. Ако имам, например, 2 по v? 2 по вектор v ще е равно на 2 по всеки от тези компоненти. Значи става 2 по 1, което е 2, после 2 по 2, което е 4. Как ще изглежда и по вектор v? Ще започна от произволна точка. Ще започна ето тук. Отивам 2 надясно, 1, 2. И отивам с 4 нагоре. 1, 2, 3, 4. Ето това е 2 по вектор v. Това е 2 по вектор v. Ако го разгледаш, той сочи в съвсем същата посока, но сега е два пъти по-дълъг. И това е логично, защото го умножихме по числото 2. Когато умножаваш по скаларна величина, не променяш посоката на вектора. Посоката остава същата като преди. Умножаваш само по тази скаларна величина. Мога да го начертая навсякъде, можеше например тук. Можеше да начертая 2v върху v. Тогава щеше да видиш, но аз не исках да го застъпвам – щеше да видиш, че има съвсем същата посока, ако го бях начертал в стандартна позиция, те са колинеарни. Лежат на една и съща права, само че е два пъти по-дълъг. Просто е два пъти по-дълъг, но имат напълно еднаква посока. А какво щеше да стане, ако бях умножил –4 по вектор v? Това ще е равно на –4 по 1, което е –4. После –4 по 2, което е –8. Това е новият ни вектор: [–4; –8]. Това е –4 по нашия вектор v. Да започнем от произволна точка. Но нека го направя в стандартна позиция. Отиваме надясно с 4. Не, отиваме наляво с 4. Отиваме наляво с 1, 2, 3, 4. После 8 надолу. Изглежда ето така. Новият вектор ще изглежда ето така. Ще опитам да начертая относително права линия. Ето така. Това е минус 4 по нашия вектор v. Ще поставя малка стрелка, за да е ясно, че това е вектор. Какво се случи сега? Пак сме почти в същата посока. По-точно сме в точно обратната посока. Но сме все още на същата права, нали? Но в точно обратната посока. Този минус тук обърна посоката. Ако бях умножил –1 по това, щяхме да имаме обръщане насам, нали? Но ние умножихме по –4. Умножихме го по 4, направихме го 4 пъти по-дълъг, и понеже е отрицателно, това обърна посоката. Обърна го наобратно. Сега, като имаме това понятие, можем да започнем да осмисляме идеята за изваждане на вектори. Ще направя два нови вектора. Да кажем, че вектор х, хубав и удебелен х, е равен на... като правя всичко в R2, но по-късно в част от това видео ще дам примери за R3 или R4. Да кажем, че векторът ни х е равен на [2; 4]. Нека да имаме и вектор у. у, ще го направя хубав и удебелен. Той ще е равен на [–1; –2]. Сега искам да помислим на какво ще е равно х – у. Това е същото като х плюс –1 по вектор у. Нали? Значи вектор х плюс –1 по вектор у. Сега можем да използваме нашите определения. Знаем как да умножаваме по скаларна величина. Значи това е равно на... ще сменя цветовете. Този цвят не ми харесва. Това е нашият вектор х, който е [2;4]. А колко е –1 по вектор у? –1 по у е: –1 по –1, което е 1; После –1 по –2 е 2. Значи х минус у ще бъде равно на сбора на тези два вектора, нали? Просто добавям минус у. Това е минус у. Значи х минус у ще е равно на 3 и 6. Да видим как изглежда, когато ги представим визуално. Вектор х беше [2;4]. [2;4] в стандартна позиция изглежда ето така. Това е вектор х. Вектор у в стандартна позиция – ще го направя в друг цвят, ще го направя в зелено. Вектор у е [–1; –2]. Изглежда ето така. Всъщност без да искам направих колинеарни вектори, но това също е интересно. Това е вектор у. Каква е разликата между тях? Разликата е [3;6]. Значи разликата е вектор [3;6]. Това е този вектор. Ще го начертая на друго място. Ако започна тук, отивам 1, 2, 3. После отивам нагоре 6. 6 нагоре. Това е вектор, който изглежда ето така. Това е разликата между двата вектора. Първо казахме х минус у. Хей, каква е разликата между тези два вектора? Ако припокрием това, ако просто преместим това върху това, започваме тук и отиваме право нагоре. И ще видиш, че това е действително разликата между крайните точки. Един вид свързваш крайните точки. Аз реално не исках да начертая колинеарни вектори. Ще направя друг пример. Макар че този беше един вид интересен. Няма да видиш такъв пример в учебник. Да дефинираме вектор х в този случай да е [2; 3]. Да дефинираме вектор у да е [–4; –2]. Как ще изглежда вектор х в стандартна позиция? Той е [2;3]. Ще изглежда ето така. Това е вектор х, ако започнем от началото на координатната система. Значи това е вектор х. А как ще изглежда вектор у? Ще направя вектор у с оранжево. [–4; –2]. Вектор у изглежда ето така. И колко е х минус у? Вече знаеш, можем да го разглеждаме като 2 плюс –1 по това. Можем просто да кажем, 2 минус –4. Мисля, че разбираш идеята. Направихме го по първия начин предишния път, защото исках да тръгнем от основното определение за произведение на вектор със скалар. Значи х минус у ще е равно на 2 плюс –1 по –4, или 2 минус –4. Това е равно на 2 + 4, което е 6. После имаме 3 минус –2, което е 5. Нали? Разликата между двата вектора е вектор [6;5]. Можем да го начертаем тук. Значи прибавяме 6 към 4, отиваме нагоре тук, после 5, ето така. Значи векторът ще изглежда ето така. Не трябва да се криви така, но това е х минус у. Ако го начертаем между тях, като в предишния пример, където ти показах, че можем да го начертаем между двата края. Ако го начертаем тук, как ще изглежда? Ако започнем в тази точка, и после отиваме 6 надясно, а после нагоре с 5, и завършва ето тук. Значи разликата на тези два вектора... само да се уверя, че се получи, разликата между тези два вектора изглежда ето така. Изглежда точно ето така. Което изглежда доста логично. х минус у. Това е разликата на тези два вектора. Можеш да разглеждаш разликата като един вид как отиваш от единия вектор до другия, нали? Все едно, ако се върнем във втори клас, където има само скаларни величини. Ако попитам колко е 7 минус 5, ще кажеш, че е равно на 2. Това просто ни казва, че 5 плюс 2 е равно на 7. Или че разликата на 5 и 7 е 2. А тук казваме, че разликата на векторите х и у е този вектор ето тук. Равна е на този вектор. Или можеш да кажеш, че ако съберем 5 и 2, то ще получим 7. Или можеш да кажеш, че ако вземеш вектор у, ако събереш вектор х минус у, тогава ще получиш вектор х. Сега да направим нещо друго, което е интересно. Да видим на колко е равно вектор у минус вектор х. у минус х. На какво е равно? Ще го направя с различен цвят. Взимам –4, минус 2, което е –6. После имаме –2, минус 3. Това е –5. Значи у минус х ще бъде, да видим, ако започнем от тук, отиваме с 6 надолу. 1, 2, 3, 4, 5, 6. И после 5 назад. Назад с 2, 4, 5. Така че у минус х изглежда така. Това е точно същия вектор. Спомни си, че няма значение къде започваме. Само че сочи в обратната посока. Така че ако го преместим тук, мога да го начертая върху този. Ще бъде точно равен на х минус у, но само че с обратна посока. Което принципно е добре да се знае. Така че можем да ги начертаем като противоположни един на друг. И нека да изясня това добре. Знаеш, че начертахме вектор у. Всъщност ще начертая вектор х, ще го начертая като [2,3]. Две надясно, три нагоре. Правих го и преди. Това е вектор х, но не в стандартна позиция. Това също е вектор х. Колко е минус х? Минус х е [–2; –3]. Ако трябваше да започна тук, се премествам с –2, после с –3. Значи вектор –х ще изглежда ето така. Минус х, изглежда точно като вектор х. Те са успоредни и имат еднаква големина. Просто имат противоположни посоки. Това е хубаво да се загнезди в ума ти, за да виждаш логиката в тези неща. И сега искам да довърша този урок за събиране и изваждане на вектори. Всичко дотук беше в R2. Но искам да ти покажа, че можем да обобщим това. Можем да го обобщим дори за векторни пространства, които не можем да си представим с обикновената ни логика. Ще дефинирам няколко вектора. Ще дефинирам вектор а, който е равен на [0; –1; 2; 3] Ще дефинирам вектор b, който е равен на [4; –2; 0; 5]. Можем да направим няколко операции за събиране и изваждане с тях. Само че ще е трудно да го визуализираме. Ще ги оставим във векторна форма. Това е полезно за използване при четири измерения. Ако вземем 4 по вектор а, Това е 4 пъти вектор а минус 2 по вектор b. На колко ще е равно това? Резултатът е вектор. На колко ще е равно това? Можем да преработим това като 4 по целия вектор-стълб, 0, минус 1, 2 и 3. Минус 2 пъти вектор b. Минус 2 по 4, –2, 0, 5. На какво ще е равно това? Този член тук, 4 по това, ще получиш... таблета изглежда не работи; ще го направя направо тук. 4 по това, това е 4 по 0, което е 0, минус 4, 8. 4 по 2 е 8. 4 по 3 е 12. После минус, ще използвам жълто, минус 2 по 4, което е 8. 2 по –2 е –4. 2 по 0 е нула. 2 по 5 е 10. Това не е добра част от дъската ми, затова просто... не пише добре ето тук. Не съм решил задачата, но ако бях, тогава какво щяхме да получим тук? 0 минус 8? Минус 8. Минус 4, минус 4. Минус –4. Това е –4 плюс положително 4, което е 0. 8 минус 0 е 8. 12 минус... колко е това? Дори не мога да го прочета. А, това е 10. Сега пак можеш да го видиш. Нещо е много странно. 2 по 5 е 10. Значи 12 минус 10 е 2. Когато вземем вектор и го умножим по 4, и после извадим 2 по този вектор, ние получаваме този вектор. И макар че няма начин това да бъде представено във формат, който е лесен за начертаване, това е много полезна концепция. Ще се убедим в това, когато по-късно използваме някои от тези вектори в многомерни пространства.