Тетраедър: задача от АМИП (2003 AIME II задача 4, част 1)

В един правилен тетраедър – това е просто многостен с четири стени, който е правилен, така че всички стени и всички лица са равни – центровете на четирите стени са върхове на по-малък тетраедър. Отношението на обема на по-малкия тетраедър към обема на по-големия е m:n, като m и n са взаимно прости положителни цели числа. Намери m + n. Първо да начертаем този правилен тетраедър. Това е правилен тетраедър. За да има четири равни стени или четири равни лица, бих казал, в три измерения, трябва да изглежда ето по този начин. Това трябва да са четири триъгълника. Имаме един триъгълник, ето така. После имаме друг триъгълник, ето така. След това имаме друг триъгълник отзад. Това е другият триъгълник отзад. И накрая имаме триъгълна основа. Това е правилен тетраедър, за който всяко от лицата е равностранен триъгълник. Всяка от тези стени е равностранен триъгълник. Ако погледнеш – тази дължина е равна на тази дължина, тази дължина е равна на тази дължина. Добре. Това е нашият правилен тетраедър. Дадено е, че центровете на четирите стени... да разгледаме центровете на тези четири стени. Нека това да е центърът на едната стена. Това е центърът на другата стена. Тук отзад е центърът на стената, която не можем да виждаме, защото е зад тези две стени. После това е центърът, ето този тук, това е центърът на основата. Центровете на четирите стени са върхове на по-малък тетраедър, така че можем да ги свържем, и получаваме по-малък тетраедър. Значи имаме този ръб, който свързва центъра на това лице с центъра на основата. От центъра на основата до центъра на това лице ето тук имаме този ръб. Свързваме тези и получаваме стените на един по-малък тетраедър. Тук минава ето така, това е един вид връх. Ако го обърнеш, това ще бъде основата му, но това ще е върхът на по-малкия тетраедър. После, когато свържеш тези точки отзад, ще получиш двете стени, които не се виждат – тази стена и тази стена. В задачата се иска да намерим отношението на обема на по-малкия тетраедър, този цикламен тетраедър, към този жълт тетраедър ето тук. Може би вече се чудиш как да намериш обема на тетраедър и всичко друго. Но тук важното е да се разбере, че ако вземем две подобни тела и ако знаем отношението на една двойка от техните размери, можем да приемем, че всички техни размери имат същото отношение – в този случай това са тези тук – тогава обемът ще е равен на кубът на отношенията на една двойка от техните страни. Ще ти покажа това ето тук. Ще го изобразя. Да кажем, че тази дължина ето тук, нека я наречем дължината LB на големия тетраедър. Да намерим съответния ръб на малкия тетраедър. Да кажем, че имаме друга страна на малкия тетраедър, която да означим като LS. Ако знаем отношението на голямата дължина към малката дължина, можем да намерим отношението на големия тетраедър към малкия тетраедър – отношението на обема на големия тетраедър към обема на малкия тетраедър е равно просто на отношението на двете страни на трета степен. Можем да направим това, защото тези две тела са напълно еднакви във всяка посока, във всяко измерение. Каквото и да е отношението на това към това, то е равно на отношението на това към това. Всъщност всички тези страни са равни, значи всички тези страни също ще бъдат равни. Телата са еднакви във всяко измерение. Като казахме това, сега просто трябва да намерим отношението на една от страните на големия тетраедър към дължината на страната на малкия тетраедър. За да го направим, нека да си представим... Има много елегантни начини да направим това, но те са доста по-абстрактни. Това, което аз ще направя, е да опитам да намеря някои от координатите на върховете на големия тетраедър. От тях можем да намерим средата между тези координати, за да намерим координатите на тези върхове – центровете на тези стени. Ще начертая координатни оси. Нека това е оста у. Опитвам се да ги начертая така, че да можем да си представим три измерения. Нека това е оста у. Ще направя оста х приблизително ето така. Това е оста х. После е оста z, право нагоре и надолу. Всъщност още няма да я чертая. Това, което искам да начертая сега, е основата на по-големия тетраедър. Ще направя това. Просто ще избера произволни координати. Интересуват ни само отношенията, така че можем да изберем произволен размер на големия тетраедър. Да кажем, че върхът ето тук се намира ето тук. Този връх се намира ето тук. После този връх ето тук се намира ето тук. Сега да... ще го направя така, че да изглежда малко по-добре. Това е основата на тетраедъра, на големия тетраедър. Тя е равностранен триъгълник – всички страни са равни помежду си. Само за простота по отношение на координатите, ще направя координатите ето тук, да кажем, че това х е равно на 1, у очевидно е 0, защото точката лежи на оста х, тя не се придвижва по оста у. Изобщо не обърнах внимание на z, но това е в равнината ху, така че z също е 0. На този връх координатите са (–1;0;0). Това е на оста у. Това разстояние ето тук е 1, това разстояние тук е 1, тази цялата страна е 2. Знаем, че тази страна също е с дължина 2. Можем да използваме триъгълници 30-60-90, за да намерим това разстояние, което ни е нужно, за да намерим координатата у ето тук. Искам да поясня. Координатите на тази точка ето тук, х очевидно тук е 0. х е 0. z очевидно е 0, защото сме в равнината ху. Но не знаем координатата у. Така че ще трябва да направим малко изчисления – да използваме знанията си за триъгълниците 30-60-90, или ако не искаш да правиш това, можеш да използваш направо питагоровата теорема. Търсим тази координата у. Търсим това разстояние ето тук. Тази координата у на квадрат плюс 1 на квадрат, е равно на 2 на квадрат. Ще напиша това ето тук. Значи това – искам нов цвят – координатата у на квадрат плюс 1 на квадрат е равно на 2 на квадрат, което е равно на 4, където е тази координата у. Значи у^2 ще е равно на 3. у е равно на корен квадратен от 3. Това разстояние ето тук е корен квадратен от 3. Можем да напишем корен квадратен от 3... виждаш, че това удовлетворява питагоровата теорема – мога да поставя координата – неговата координата е корен квадратен от 3 в посока у. Сега, докато сме се фокусирали върху основата на основата на големия тетраедър, можем да намерим центъра на тази основа, да намерим центъра на тази стена, който може би се намира ето тук. Лесният начин да намерим центъра на тази стена е буквално да намерим средната стойност на координатите. Координатите на този център ето тук ще са средната стойност на координатите хикс, значи 0 плюс 1 минус 1 е 0, делено на 3 е 0, което е много очевидно. Този център лежи на оста у. Той не се измества в посока х нито наляво, нито надясно. Координатата у: имаме корен квадратен от 3 плюс 0, плюс 0, върху 3. Това е просто корен квадратен от 3, върху 3. Значи това е 1/3 от разстоянието до върха на тази основа. После координатата z, намираме средното аритметично, но тя очевидно е в равнината ху. Значи ще бъде 0. Взимаме 0 плюс 0, плюс 0, делено на 3, това е 0. Така намерихме също един от върховете на малкия тетраедър. Сега искам да намеря координатите на този връх ето тук. После можем да намерим това разстояние, да го сравним с разстоянието 2 и после, по същество, да го повдигнем на трета степен, и ще получим желаното отношение. Сега можем да решим останалата част от задачата – m + n. За да намерим тези координати, трябва да намерим средното на тези координати, тези координати и тези координати ето тук. Знаем тези две координати. Знаем и тези две координати. Трябва само да намерим тези координати ето тук. За да направим това, сега да отидем в посока z. Ако трябва да отидем направо от тази точка... Ако трябва да отидем право нагоре от тази централна точка, ние намерихме това разстояние. Сега да отидем надясно. Мога да начертая по-хубава височина от тази. Да кажем, че трябва да отида право нагоре от тази точка точно тук отгоре на този тетраедър... този тетраедър – казвам го малко странно. Сега тетраедърът, досещаш се, изглежда ето така. Тук трудната част е чертежът. Това е предната страна на тетраедъра. Дори не трябва да го чертая целия. Предполагам, че можеш да си го представиш. Чертаенето ме затруднява, ръката ми заема странни положения. Да видим дали мога да го начертая с прекъсната линия. Значи тази страна. Току-що начертах тази стена на тетраедъра. Току-що начертах тази цикламена стена на тетраедъра. Мога да начертая и задната страна. Ще начертая задната страна ето така. Мога да я начертая ето тук. Мисля, че ти е много ясно, че тази точка ето тук ще лежи точно отгоре над тази централна точка ето тук. Вече знаем някои от нейните координати. Знаем х и у координатите. Трябва да намерим само z координатата. Значи х-координатата ще бъде просто 0. Това е тази същата х координата ето тук – ние не се преместваме спрямо оста х. Координатата у е корен квадратен от 3, върху 3. Това е същото като на тази точка ето тук, но ще има известна дължина в посока z. Така че трябва да намерим колко е това разстояние. За да го направим, сега ще начертая, по същество това е една височина към основата на тази предна стена. Отиваме от тази точка тук горе, или от тази точка ето тук. Ако погледнеш тази синя линия ето тук, ние вече намерихме това разстояние. Всички стени – това е правилен тетраедър, така че всички стени имат еднакви размери. Значи това разстояние тук в синьо е равно на това разстояние ето тук, защото това е височината на тази основа ето тук. Ние вече намерихме колко е това разстояние, то е корен квадратен от 3. Това беше първото, което намерихме, че това разстояние ето тук от тази точка до тази точка е корен квадратен от 3. Значи това разстояние също е корен квадратен от 3. Знаем също, че това разстояние ето тук... ще използвам нов цвят – знаем също, че това разстояние ето тук е корен квадратен от 3, върху3. Това тук е прав ъгъл. Може би не ти стана ясно по начина, по който го направих, но това тук е височина. Сега можем да намерим височината на пирамидата или на тетраедъра. Тази височина до тази точка ще бъде нашата координата z. Да наречем тази височина h. От питагоровата теорема знаем, че h на квадрат плюс основата на квадрат ето тук – която е корен квадратен от 3 върху 3 на квадрат, или 3 върху 9, е равно на корен квадратен от 3 на квадрат – което е равно на 3. Ако извадим това от двете страни, получаваме h на квадрат равно на... това е 3 минус 3 върху 9, това е 3 минус 1/3, което е същото като 9/3 минус 1/3, което е равно на 8/3. Ако коренуваме двете страни, ще получим, че h е равно на корен квадратен от 8, което е корен квадратен от 4 по корен квадратен от 2. Това е 2 по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 3. Това е h. Това също така е тази координата z ето тук. Така че това е 2 по корен квадратен от 2 върху корен квадратен от 3. Видеото вече наближава 14 минути, така че ще продължа в следващото видео. Но сега получихме координатите на тази точка тук горе. Значи можем да намерим средната стойност на тези три координати, да намерим координатата на тази точка ето тук, после да намерим разстоянието между тази точка и тази точка, тъй като вече намерихме координатата, за да намерим колко е дължината на тази страна. После можем да съставим отношението на това към това, да го повдигнем на трета степен, за да получим отношението на обемите.