2013 AMC 10 A #22 / AMC 12 A #18

Ще се занимаваме с 3D геометрия и ще трябва да четем внимателно, и да си представим какво се случва, защото трудно чертаем триизмерно. Имаме шест сфери с радиус 1. Центровете им са във върховете на правилен шестоъгълник със страна 2. Ще построим правилен шестоъгълник и ще поставим сфери във всеки връх. Тъй като радиусът на всяка сфера е 1, страната на шестоъгълника е 2, то всяка сфера ще допира двете свои съседни. Имаме шестоъгълник, шест сфери, всяка от които се допира до двете съседни на себе си. След това ще построим голяма сфера с център центъра на шестоъгълника, така че тя да се допира до останалите шест. Сега, всяка от по-малките сфери ще се допира до вътрешността на голямата. И ще построим осма сфера, която външно допира малките шест. Имаме шестте малки сфери около шестоъгълника и ще вземем тази нова сфера и ще я постаим върху тези шест. И тя ще докосва, точно с върха си, по-голямата сфера. Вече сме си създали някаква картинка какво точно се случва. Сега търсим какъв е радиусът на последната сфера. Аз лично обичам,за триизмерни задачи, да разглеждам двуизмерни сечения, превръщайки 3D, в 2D. Когато имам задача с такава бъркотия от сфери, обичам да вземам сечението през центровете им и през допирните точки, разбира се когато има такива. Тук, интуитивно е да започнем от шестоъгълника. Вземаме сечението през шестоъгълника, защото то минава през центровете на седемте сфери и през техните всевъзможни допирни точки. Започваме, като построим правилен шестоъгълник. Ще трябва да следите мисълта ми. На тест, разбира се, ще имате линия, ъгломер и пергел и ще можете да построите точен череж. Най-вероятно ще можете да построите по-добър чертеж, от този който аз съм направил. Когато разглеждаме сечението на сферите ни получаваме окръжности. Също така включваме допирните точки в това сечение. Разбира се, ще получим и голямата сфера. Сечението й ще е окръжност, която допира всяка от по-малките окръжности. И това е чертежът ни. Това е сечение през шестоъгълника. Сега може да означим някои дължини. Знаем дължините на радусите на малките окръжности - 1, а едно хубаво свойство на правилните шестоъгълници е , че можем да ги разделим на равностранни триъгълници. Това ще е равностранен триъгълник. Това е центърът на шестоъгъника и на голямата окръжност, а мога и да продължа това до допирната точка на малката сфера и на голямата. Знаем, че това е 1, защото е радиус на малката сфера. Това е 1. Това е равностранен триъгълник следователно тази страна е колкото тази. Това означава, че това е 1 и така намерихме, че радиусът на голямата сфера е 3. Получили сме радиуса на голямата сфера. Имаме радиусите на малките сфери. Остава да намерим радиуса на осмата сфера. И , разбира се, тази сфера не е на чертежа. Тя се намира тук. Ще ни трябва друго сечение, за да намерим радиуса. Ще разглеждаме такова, което минава през центъра на тази сфера и през допирни точки Искаме да минем през центровете на някои малки сфери и разбира се през центъра на целия чертеж,голямата сфера. Следователно ще вземем това сечение, а то ще изглежда така. Все още имаме малките сфери и имаме голямата сфера с радиус 3. Няма да разглеждам какво се случва тук, защото тогава няма да се изложа колко грозно чертая, и имам още една окръжност. Това е осмата ми сфера, нещото подобно на яйце. Това е окръжност. Трябва да използвате въображението си. Това е окръжността, чийто радиус търсим. Точно тук, това търсим. Разбира се, ще продължим това надолу, до центъра на голямата сфера. И знаем, че тази дължина е r. Знаем, че тази дължина е 3-r. Е, можем и да построим правоъгълен триъгълник. Сега ще трябва да включим въображението си и ще видим, че това сечение минава през допирна точка и тези два центъра. Когато свържем тези центрове, минаваме през допирната точка. Затова, когато имаме допиращи се окръжности, е добре да свържем центровете. Знаем, че това е 1, защото е радиус на малка окръжност Това е r, ами това тук? Това е 1. Преди открихме, че това също е 1. Сега имаме правоъгълен триъгълник и използваме стар метод за решаване на задачи - когато имаме правоъгълен триъгълник използваме Питагорова теорема. И ще използваме това в нашата задача. Имаме (3–r)²+2²=(1+r)² Направете сметката. r²–6r+9+4 = r²+2r+1 Прехвърляме 1, където имаме 13, а 13 – 1 = 12. Добавяме 6r от двете страни. И получаваме 12 = 8r => r=3/2. Връщаме се на задачата. И получаваме 3/2, което е търсеният отговор.