Ще се занимаваме с
3D геометрия и ще трябва да
четем внимателно, и да си представим какво се случва, защото трудно чертаем
триизмерно. Имаме шест сфери с радиус 1. Центровете им са във върховете на правилен шестоъгълник
със страна 2. Ще построим правилен
шестоъгълник и ще поставим сфери
във всеки връх. Тъй като радиусът на всяка
сфера е 1, страната на шестоъгълника е 2, то всяка сфера ще допира
двете свои съседни. Имаме шестоъгълник,
шест сфери, всяка от които се допира до
двете съседни на себе си. След това ще построим
голяма сфера с център
центъра на шестоъгълника, така че тя да се допира до
останалите шест. Сега, всяка от по-малките
сфери ще се допира до
вътрешността на голямата. И ще построим осма сфера, която външно допира
малките шест. Имаме шестте малки сфери
около шестоъгълника и ще вземем тази нова сфера и ще я постаим върху тези шест. И тя ще докосва,
точно с върха си, по-голямата сфера. Вече сме си създали някаква картинка какво точно се случва. Сега търсим какъв е радиусът
на последната сфера. Аз лично обичам,за триизмерни задачи, да разглеждам двуизмерни сечения, превръщайки 3D,
в 2D. Когато имам задача с такава
бъркотия от сфери, обичам да вземам сечението през центровете им и през
допирните точки, разбира се когато има такива. Тук, интуитивно е да започнем
от шестоъгълника. Вземаме сечението през шестоъгълника, защото то минава през
центровете на седемте сфери и през техните всевъзможни
допирни точки. Започваме, като построим
правилен шестоъгълник. Ще трябва да следите
мисълта ми. На тест, разбира се,
ще имате линия, ъгломер и пергел и ще можете да
построите точен череж. Най-вероятно ще можете
да построите по-добър чертеж, от този който аз
съм направил. Когато разглеждаме сечението
на сферите ни получаваме окръжности. Също така включваме допирните
точки в това сечение. Разбира се, ще получим и
голямата сфера. Сечението й ще е окръжност, която допира всяка
от по-малките окръжности. И това е чертежът ни. Това е сечение през шестоъгълника. Сега може да означим някои дължини. Знаем дължините на радусите
на малките окръжности - 1, а едно хубаво свойство
на правилните шестоъгълници е , че можем да ги разделим
на равностранни триъгълници. Това ще е равностранен триъгълник. Това е центърът на шестоъгъника
и на голямата окръжност, а мога и да продължа това до
допирната точка на малката сфера и на голямата. Знаем, че това е 1, защото е радиус на малката сфера. Това е 1. Това е равностранен триъгълник
следователно тази страна е колкото тази. Това означава, че това е
1 и така намерихме, че радиусът
на голямата сфера е 3. Получили сме радиуса
на голямата сфера. Имаме радиусите
на малките сфери. Остава да намерим
радиуса на осмата сфера. И , разбира се, тази
сфера не е на чертежа. Тя се намира тук. Ще ни трябва друго сечение, за да намерим радиуса. Ще разглеждаме
такова, което минава през центъра на тази сфера и през допирни точки Искаме да минем през
центровете на някои малки сфери
и разбира се през центъра на целия
чертеж,голямата сфера. Следователно ще вземем
това сечение, а то ще изглежда така. Все още имаме малките сфери и имаме голямата сфера
с радиус 3. Няма да разглеждам какво
се случва тук, защото тогава няма да се изложа
колко грозно чертая, и имам още една окръжност. Това е осмата ми сфера,
нещото подобно на яйце. Това е окръжност. Трябва да използвате въображението си. Това е окръжността,
чийто радиус търсим. Точно тук,
това търсим. Разбира се, ще продължим
това надолу, до центъра на голямата
сфера. И знаем, че тази дължина
е r. Знаем, че тази дължина
е 3-r. Е, можем и да построим
правоъгълен триъгълник. Сега ще трябва да включим
въображението си и ще видим, че това сечение
минава през допирна точка и
тези два центъра. Когато свържем
тези центрове, минаваме през допирната точка. Затова, когато имаме
допиращи се окръжности, е добре да свържем центровете. Знаем, че това е 1, защото е радиус на
малка окръжност Това е r, ами това тук? Това е 1. Преди открихме, че това също е 1. Сега имаме правоъгълен триъгълник и използваме стар метод
за решаване на задачи - когато имаме правоъгълен триъгълник използваме Питагорова теорема. И ще използваме това в
нашата задача. Имаме (3–r)²+2²=(1+r)² Направете сметката. r²–6r+9+4 = r²+2r+1 Прехвърляме 1, където имаме 13,
а 13 – 1 = 12. Добавяме 6r от двете страни. И получаваме 12 = 8r
=> r=3/2. Връщаме се на задачата. И получаваме 3/2, което е
търсеният отговор.