Драскулки в математиката: начало на завъртулките

Може би обичаш да чертаеш завъртулки, когато ти е скучно в час. Някак криволичещият път на линията, който се вие като монотонното бърборене на учителя ти, перфектно улавя начина, по който продължава и продължава, говори за едни и същи неща отново и отново, но без да стига никъде в задълбочено изложение на артистична метафора. Но след като си ветеран в драскането от скука, научаваш, че някои завъртулки са по-добри от други. Добрите завъртулки могат да запълнят страницата, завъртайки се около себе си колкото е възможно по-плътно в една единствена линия, която не се пресича. Като идеалният вариант ще е да седнеш в началото на най-малко любимия си час, да поставиш молива на хартията и да продължиш да чертаеш една единствена линия, като запълваш все повече и повече място, докато не звънне звънеца, което всъщност прави учителя ти, но с думи. Може да откриеш, че си разработваш някои стратегии. Например внимаваш да не изолираш малка част пространство, понеже може да искаш да се върнеш там по-късно. И ако оставиш само малко място, за да стигнеш до определена част, когато стигнеш дотам, запълваш голяма част от нея, преди да напуснеш тази част отново или, вместо драсканица, имаш нещастна не-драсканица. Или може би решаваш да направиш мета завъртулка. Завъртулка, направена от завъртулки. Това може да бъде направено абстрактно или изключително прецизно. Например да кажем, че рисуваш тази проста завъртулка, после рисуваш тази завъртулка, използвайки тази завъртулка. Но за да запълниш добре пространството, правиш външните части по-големи. После, за да я направиш прецизна, правиш броя завъртулки винаги еднакъв. Лесно е да продължиш да правиш завъртулки с тази завъртулка през цялата страница, ако задържиш ритъма в главата си. Ето една завъртулка надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре. Но след като правиш това известно време, решаваш да отидеш едно ниво по-навътре. Една завъртулка в завъртулка в завъртулка. Точно така, преминаваме три нива по-надолу. Тази сериозна задача може да направи нещо подобно. Завъртулка надясно, завъртулка наляво, завъртулка надясно, наляво – опа, завъртулка надясно, завъртулка наляво, завъртулка надясно, наляво, завъртулка надясно, завъртулка наляво, завъртулка надясно, наляво, опа. И следващото е още по-щуро. И завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре, надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, завъртулка нагоре, надолу, завъртулка нагоре, надолу, завъртулка нагоре, надолу, чак до тук. И завъртулка надолу, завъртулка нагоре, завъртулка надолу, нагоре, завъртулка надолу, нагоре, завъртулка надолу, нагоре, надолу, нагоре, завъртулка надолу, нагоре, чак до тук. Добре, но да кажем, че ти си аз и си в час по математика. Това означава, че имаш разграфена хартия. Възможност за прецизност. Можеш да начертаеш първата крива така. Завъртане, завъртане, завъртане, завъртане, завъртане, завъртане, завъртане. Второто повторение, което да се нагоди към завъртулките, преминаващи нагоре-надолу, ще има права част от три кутиѝки през горната и долната част, ако искаш завъртулките да са толкова близо до мрежата, колкото е възможно, без да се докосват. Може да си припомниш това, като си казваш – три завърти, завърти, завърти, три, завърти, завърти, завърти. Следващото повторение има завъртане и ще трябва да намериш колко дълго ще е то. Междувременно, другите дължини се променят, за да останат нещата приближени. И две завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Две, девет. Две, завърти, завърти, завърти. Три завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти, две, девет. Можем да запишем модела ето така. Какъв ще е следващият модел? Пет. Две, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Две, девет. Две, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти, две. Девет. Две, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Три, завърти, завърти, завърти. Две, девет. И 15 чак до тук. И сега – Да! Абсолютно мога да говоря толкова бързо. Но нека не се отклоняваме твърде много от първоначалната цел, която беше добре да запълним една страница с тази завъртулка. Най-добрите завъртулки, които могат да запълнят страницата, имат донякъде една и съща гъстота на завъртулката навсякъде. Не искаш да ги скупчваш тук, но имаш останало пространство тук, понеже чудовищата могат да започнат да растат в останалото място. Искаш да работиш прецизно на разграфената хартия. Да кажем, че искаш завъртулка, която преминава през всяко квадратче точно веднъж и може да бъде увеличена до безкрайност. Така че опитваш няколко варианта и решаваш, че след като целта им е да запълнят цялото пространство, можеш да ги наречеш запълващи пространството криви. Да, това е напълно технически термин, но внимавай, понеже кривата ти може да е змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия, змия – И за да я направиш по-прилежна, рисуваш правите на правите и променяш правилата, за да преминаваш през всяко пресичане на разграфената хартия точно веднъж. Което е същото нещо, докато взимаме предвид пространството. Това е запълваща място крива, която един човек на име Хилберт е измислил, понеже Хилберт е бил чудесен, но сега е мъртъв. Това е първото повторение. Второто ще построим част-по-част, като свързваме четири копия на първото. Ето едно. Постави второто пространство на малко място до него и ги свържи. После обърни страницата, за да поставиш третото настрани под първото, и ги свържи. И четвъртото ще е огледално изображение на това от другата страна. Сега имаш една хубава крива. Третото повторение ще е направено от четири копия на второто повторение. Първо построй кривата на второто повторение от четири копия на първото повторение – 1, 2, 3, 4 – и после поставяме още едно до него, после две места встрани отдолу. Свържи ги. Готово. Четвъртото повторение е направено от четири копия на третото повторение, по същия начин. Ако се научиш да правиш второто повторение в една част, това ще направи процеса по-бърз. После правиш две трети повторения с лице нагоре едно до друго и две встрани и отдолу. Можеш да продължиш, докато не ти свърши мястото, или можеш да направиш всяка нова версия в същия размер, като направиш всяка права половината от дължината. Или можеш да го направиш от змии. Или, ако имаш приятели, всеки може да направи повторение със същия размер и да ги свържете в едно. Или измисли собствена фрактална крива, така че да направиш нещо готино като Хилберт. Който си е казал: "Математика? Ще изобретя мета-математиката!"