Драскулки в математиката: Звезди

Да кажем, че ти си мен и си в час по математика и се очаква да учиш за разлагането. Проблемът е, че учителят ти твърде силно опитва да те убеди, че разлагането е полезно умение за средностатистическия човек и е с приложение в реалния живот, вариращо от взимането на изпитите чак до получаването на по-висок резултат на SAT. За нещастие, той няма време да ти покаже защо разлагането е интересно. Напълно логично е в тази ситуация да ти доскучае. И като всеки разумен човек, започваш да си драскаш в тетрадката. Може би понеже монотонният глас на учителя ти напомня за приспивна песен, но започваш да си рисуваш. И понеже ти си аз, обичайната петолъчка бързо ти става скучна и се чудиш: "Защо пък пет?" И започваш да експериментираш. Изглежда очевидно, че звезда с пет лъча е най-простият вариант, изисква най-малко щрихи, за да бъде начертана. Разбира се, можеш да започнеш с четири точки, но това всъщност не е звезда, според начина, по който определяш звездите. После има звезда с шест лъча, или ъгъла, която също е доста позната, но е напълно различна от петоъгълната, понеже изисква две отделни линии, за да се нарисува. И после си мислиш, че както комбинираш 2 триъгълника за шестоъгълна звезда, можеш да комбинираш два квадрата, за да направиш осмоъгълна звезда. Всяка звезда с четен брой ъгли с р точки може да бъде направена от два р-върху-2-ъгълника. В този момент осъзнаваш, че ако искаш да избегнеш мисленето за разлагането, може би рисуването на звезди не е било най-добрата идея. Един момент, 4 е четен брой точки, и това означава, че можеш да го изградиш от два двуъгълника. Може би са те учили, че многоъгълници само с две страни не могат да съществуват. Но за целите на рисуването на звезди това върши доста добра работа. Естествено, четириъгълната звезда не изглежда много като звезда. Но после осъзнаваш, че можеш да направиш шестоъгълната звезда от три от тези неща и получаваш звездичка, която определено прилича на звезда. Всъщност всяка звезда, при която броят точки се дели на 2, можеш да начертаеш като звездичка. Но ти не търсиш точно това. Искаш игра на драскане и ето я. Начертай р точки на една окръжност, равно отдалечени. Избери число Q. Започни от една точка, обиколи окръжността и свържи с точката, отдалечена на две места. Повтори. Ако стигнеш до началното място, преди да покриеш всички точки, прескочи до несвързана точка и продължи. Ето така се правят звезди. И това е успешна игра, понеже преди обмисляше да избягаш с писъци от стаята. Или прозорецът беше отворен, така че това също е опция. Но сега не само се забавляваш, но започваш да се чудиш за природата на тази игра. Интересното нещо е, че колкото повече точки имаш, толкова повече различни начини има да се начертае звездата. Аз например харесвам звездата със седем лъча, понеже има два много добри начина да я начертаем, но все още е проста. Тук искам да отбележа, че никога не съм напускала часа по математика през прозореца, но не мога да кажа същото за други предмети. 8 също е интересно, понеже не само има два добри начина да я начертаем, но единият е съставен от два многоъгълника, докато другият може да бъде начертан без да вдигаме молива. После е 9, която, в допълнение към две други добри версии, може да бъде направена от три триъгълника. И понеже ти си мен и си зубър, и обичаш да се забавляваш, решаваш да наречеш този вид звезда квадратна звезда, понеже това е забавно име. Започваш да чертаеш други квадратни звезди. 4 четириъгълника, 2 двуъгълника, дори напълно дегенератския 1 едноъгълник. За нещастие, 5 петоъгълника е много трудно да се разпознае. И освен това е много трудно да се види и да се оцени структурата на квадратните звезди. Така че ти доскучава и преминаваш към 10 точки в една окръжност, което е интересно, понеже това е първото число, с което можеш да направиш звезда, съставена от по-малки звезди – тоест, 2 скучни стари петоъгълни звезди. Освен ако не броиш звездичките, при което 8 беше 2 четворки, 2 двойки и 4. Но 10 е интересно, понеже можеш да я съставиш по повече от един начин, понеже се дели на 5, което само по себе си може да бъде направено по два начина. После е 11, която не може да бъде направена от отделни части, понеже 11 е просто число. Въпреки че тук започваш да се чудиш как да прогнозираш колко пъти ще преминем около окръжността, преди да се върнем обратно в началото. Но вместо да проучваш вълнуващия свят на аритметиката, преминаваш към 12, което е много готино число, понеже има множество делители. И тогава нещо започва да те притеснява. Звездата с 25 върха дали е съставена от 4 петоъгълни звезди и квадратна звезда? Досега си мислеше само за петоъгълници, понеже при най-малките числа този въпрос не съществуваше. Как успя да пропуснеш това? Може би учителят ти каза нещо интересно за простите числа и ти инцидентно изгуби внимание за момент. Не знам. Става още по-лошо. 6^2 ще е звезда със 36 върха, направена от 6 шестоъгълника. Но ако си позволиш да използваш звезди с 6 върха, тогава това е същото като да е съставена от 12 триъгълника. И това изглежда не подхожда на духа на квадратните звезди. Ще трябва да определиш квадратните звезди по-точно. Но харесваш идеята, че има три начина да направиш звездата 7^2. Както и да е, цялата история за това какъв вид звезди могат да бъдат направени с кои числа е доста интересна. Окуражавам те да проучиш това в часа си по математика.