Основно съдържание
Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3
Урок 6: Оптимизация с ограничение (статии)Множители на Лагранж (примери)
Различни приложения на множителите на Лагранж.
Множители на Лагранж, бърз преговор
За да намерим локалните екстремуми на функцията при наличие на дадено ограничение , изпълняваме следните стъпки:
- Стъпка 1: Въвеждаме нова променлива
(гръцката буква ламбда) и дефинираме функцията по следния начин:Функцията се нарича "лагранжиан", а новата променлива се нарича "множител на Лагранж" - Стъпка 2: Приравняваме градиента на
на нулевия вектор.С други думи, търсим критичните точки на . - Стъпка 3: За всяка критична точка
заместваме съответните стойности в (всички координати без , тъй като няма аргумент ). Точката, която даде най-голяма (или най-малка) стойност на , е максимумът (или минимумът), който търсим.
Пример 1: Ограничен бюджет
Задача
Фабрика произвежда машинни части от стомана. Производствените разходи са човешкият труд на стойност долара на час и стомана на стойност долара за тон. Приходите на фабриката се описват от следната формула:
са часовете труд на работниците е количеството стомана (в тонове), използвано от фабриката
Ако фабриката има бюджет от долара, то каква е максималната възможна печалба?
Решение
Всеки час труд струва на фабриката долара и всеки тон стомана струва долара, тоест общата цена на производството, изразена чрез и , е
Следователно ограниченият бюджет от долара означава, че имаме
Преди да започнем с решението на задачата, можем първо да изобразим задачата на следната графика. Виждаме кои стойности дават фиксирана печалба (синята крива), както и кои стойности изпълняват ограничението (червената крива).
Искаме да намерим максимума на функцията , при условие че . Първо намираме лагранжиана:
След това търсим за кои аргументи производната е равна на нулевия вектор , тоест кога всички частни производни са равни на . Първо решаваме уравнението за частната производна по .
След това решаваме уравнението за частната производна по .
Накрая решаваме уравнението за частната производна по , което е еквивалентно на даденото ограничение.
Сега трябва да решим следната система от уравнения
В практиката тази система от уравнения често е твърде сложна и търсим решението ѝ с компютър. Решението на тази система:
Следователно фабриката трябва да обработи тона стомана в рамките на часа, за да достигне максималната възможна печалба от
Ще научим интерпретацията на стойността в следващия урок
Пример 2: Максимум на скаларно произведение
Задача: Даден е тримерният вектор :
За кой от всички възможни единични вектори скаларното произведение е най-голямо?
Графиката по-долу е двумерна, но логиката е същата и за три измерения.
Ако знаеш достатъчно за скаларното произведение, най-вероятно вече знаеш отговора на задачата. Ако не го знаеш, още по-добре! Ще използваме множители на Лагранж, за да изведем формулата за търсения вектор.
Решение:
Първо трябва да преразкажем задачата в контекста на математическата оптимизация. Нека координатите на векторите са означени с , и :
В задачата векторът е единичен, тоест дължината му е :
Това е ограничението.
Скаларното произведение е равно на
Лагранжанът на тази оптимизационна задача е равен на
Сега решаваме системата от уравнения , тоест всички частни производни са равни на .
Отново, последното уравнение от системата, съдържащо частната производна , е еквивалентно на даденото ограничение.
Изразяваме , и и от първите три уравнения получаваме
Получените решения са симетрични. И трите израза съдържат множител , а коефициентите , и са равни на координатите на . Можем да комбинираме тези три израза, за да получим уравнение за и :
Тоест решението за е вектор, пропорционален на . Геометрично погледнато, векторът е успореден на вектора . Има само два единични вектора, които са успоредни на ,
- Вектор със същата посока, който дава
на скаларното произведение . - вектор в обратната посока, който дава
на скаларното произведение .
Тогава решението на задачата е нормализираният вектор , тоест за да го намерим, трябва да разделим вектор на дължината му:
Дължината на вектора, , е равна на , така че решението на задачата е:
Пропусни лагранжиана
В предишния урок видяхме, че основното свойство на лагранжиана е, че когато , са изпълнени следните две условия:
- Градиентите на функцията, чийто екстремум искаме да намерим, и на ограничението, са успоредни.
- Ограничението е изпълнено:
Тогава при решаване на оптимизационни задачи бихме се зачудили защо въобще дефинираме лагранжиана и решаваме , вместо да работим директно с уравненията... На практика можем да постъпим така, но така остава възможността да пропуснем някое уравнение (особено ако не си спомняме логиката за успоредните градиенти).
В съвременната научна работа тези задачи се решават с компютър. Съществуват много бързи алгоритми за намиране на точките, в които градиентът на дадена функция е , и за да ги използваме е най-лесно да преформулираме задачата като уравнение от вида .
Освен това лагранжианът, както и няколко функции, тясно свързани с него, се появява доста често в различни задачи от математическото оптимизиране. В този контекст обектът придобива смисъл за себе си.
Във всеки случай, каквито и бъдещи срещи да имаш с математическото оптимиране, полезно е да познаваш различните начини за записване, логиката и интерпретацията на лагранжиана. Чрез горния пример успяхме да проследим как работи и се убедихме, че уравнението събира в едно уравненията и .
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.