If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Множители на Лагранж (примери)

Различни приложения на множителите на Лагранж.

Множители на Лагранж, бърз преговор

Оптимизация с ограничение
Фигура: Nexcis (автор) [публичен домейн], от Wikimedia Commons
За да намерим локалните екстремуми на функцията f(x;y;) при наличие на дадено ограничение g(x;y;)=c, изпълняваме следните стъпки:
  • Стъпка 1: Въвеждаме нова променлива λ (гръцката буква ламбда) и дефинираме функцията L по следния начин:
    L(x;y;,λ)=f(x;y;)λ(g(x;y;)c)
    Функцията L се нарича "лагранжиан", а новата променлива λ се нарича "множител на Лагранж"
  • Стъпка 2: Приравняваме градиента на L на нулевия вектор.
    L(x;y;,λ)=0нулев вектор
    С други думи, търсим критичните точки на L.
  • Стъпка 3: За всяка критична точка (x0;y0;;λ0) заместваме съответните стойности в f (всички координати без λ0, тъй като f няма аргумент λ ). Точката, която даде най-голяма (или най-малка) стойност на f, е максимумът (или минимумът), който търсим.

Пример 1: Ограничен бюджет

Задача

Фабрика произвежда машинни части от стомана. Производствените разходи са човешкият труд на стойност 20 долара на час и стомана на стойност 170 долара за тон. Приходите R на фабриката се описват от следната формула:
R(h;s)=200h2/3s1/3
  • h са часовете труд на работниците
  • s е количеството стомана (в тонове), използвано от фабриката
Ако фабриката има бюджет от 20 000 долара, то каква е максималната възможна печалба?

Решение

Всеки час труд струва на фабриката 20 долара и всеки тон стомана струва 170 долара, тоест общата цена на производството, изразена чрез h и s, е
20h+170s
Следователно ограниченият бюджет от 20 000 долара означава, че имаме
20h+170s=20 000
Преди да започнем с решението на задачата, можем първо да изобразим задачата на следната графика. Виждаме кои стойности (h;s) дават фиксирана печалба (синята крива), както и кои стойности изпълняват ограничението (червената крива).
Искаме да намерим максимума на функцията R(h;s), при условие че 20h+170s=20 000. Първо намираме лагранжиана:
L(h;s;λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20 000)
След това търсим за кои аргументи производната L е равна на нулевия вектор 0, тоест кога всички частни производни са равни на 0. Първо решаваме уравнението за частната производна по h.
0=Lh0=h(200h2/3s1/3λ(20h+170s20 000))0=20023h1/3s1/320λ
След това решаваме уравнението за частната производна по s.
0=Ls0=s(200h2/3s1/3λ(20h+170s20 000))0=20013h2/3s2/3170λ
Накрая решаваме уравнението за частната производна по λ, което е еквивалентно на даденото ограничение.
0=Lλ0=λ(200h2/3s1/3λ(20h+170s20 000))0=20h170s+20 00020h+170s=20 000
Сега трябва да решим следната система от уравнения
0=20023h1/3s1/320λ0=20013h2/3s2/3170λ20h+170s=20 000
В практиката тази система от уравнения често е твърде сложна и търсим решението ѝ с компютър. Решението на тази система:
h=20003666,667s=20005139,2157λ=A800045932,593
Следователно фабриката трябва да обработи 39 тона стомана в рамките на 667 часа, за да достигне максималната възможна печалба от
R(667;39)=200(667)2/3(39)1/351 777 долара
Ще научим интерпретацията на стойността λ=2,593 в следващия урок

Пример 2: Максимум на скаларно произведение

Задача: Даден е тримерният вектор v:
v=[231]
За кой от всички възможни единични вектори u^ скаларното произведение u^v е най-голямо?
Графиката по-долу е двумерна, но логиката е същата и за три измерения.
скаларно произведение
Двумерна аналогия на нашата тримерна задача. За кой единичен вектор u^ скаларното произведение u^v е максимално?
Ако знаеш достатъчно за скаларното произведение, най-вероятно вече знаеш отговора на задачата. Ако не го знаеш, още по-добре! Ще използваме множители на Лагранж, за да изведем формулата за търсения вектор.
Решение:
Първо трябва да преразкажем задачата в контекста на математическата оптимизация. Нека координатите на векторите са означени с x, y и z:
u^=[xyz]
В задачата векторът u^ е единичен, тоест дължината му е 1:
||u^||=x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1
Това е ограничението.
Скаларното произведение u^v е равно на
[xyz][231]=2x+3y+z
Лагранжанът на тази оптимизационна задача е равен на
L(x;y;z;λ)=2x+3y+zλ(x2+y2+z21).
Сега решаваме системата от уравнения L=0, тоест всички частни производни са равни на 0.
x(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=2λ2x=0y(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=3λ2y=0z(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=1λ2z=0
Отново, последното уравнение от системата, съдържащо частната производна λ, е еквивалентно на даденото ограничение.
λ(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=x2y2z2+1=0
Изразяваме x, y и z и от първите три уравнения получаваме
x=212λy=312λz=112λ
Получените решения са симетрични. И трите израза съдържат множител 12λ, а коефициентите 2, 3 и 1 са равни на координатите на v. Можем да комбинираме тези три израза, за да получим уравнение за u^ и v:
u^=[xyz]=12λ[231]=12λv
Двумерна аналогия на задачата, показваща двата единични вектора, за които скаларното произведение u^v е минимално/максимално.
Тоест решението за u^ е вектор, пропорционален на v. Геометрично погледнато, векторът u^ е успореден на вектора v. Има само два единични вектора, които са успоредни на v,
  • Вектор със същата посока, който дава максималната стойност на скаларното произведение u^v.
  • вектор в обратната посока, който дава минималната стойност на скаларното произведение u^v.
Тогава решението на задачата е нормализираният вектор v, тоест за да го намерим, трябва да разделим вектор v на дължината му:
u^макс=v||v||u^мин=v||v||
Дължината на вектора, ||v||, е равна на 22+32+12=14, така че решението u^макс на задачата е:
u^макс=[2/143/141/14]

Пропусни лагранжиана

В предишния урок видяхме, че основното свойство на лагранжиана L е, че когато L=0, са изпълнени следните две условия:
  • Градиентите на функцията, чийто екстремум искаме да намерим, и на ограничението, са успоредни.
    f(x;y)=λg(x;y)
  • Ограничението е изпълнено:
    g(x;y)=c
Тогава при решаване на оптимизационни задачи бихме се зачудили защо въобще дефинираме лагранжиана и решаваме L=0, вместо да работим директно с уравненията... На практика можем да постъпим така, но така остава възможността да пропуснем някое уравнение (особено ако не си спомняме логиката за успоредните градиенти).
В съвременната научна работа тези задачи се решават с компютър. Съществуват много бързи алгоритми за намиране на точките, в които градиентът на дадена функция е 0, и за да ги използваме е най-лесно да преформулираме задачата като уравнение от вида L=0.
Освен това лагранжианът, както и няколко функции, тясно свързани с него, се появява доста често в различни задачи от математическото оптимизиране. В този контекст обектът L придобива смисъл за себе си.
Във всеки случай, каквито и бъдещи срещи да имаш с математическото оптимиране, полезно е да познаваш различните начини за записване, логиката и интерпретацията на лагранжиана. Чрез горния пример успяхме да проследим как работи и се убедихме, че уравнението L=0 събира в едно уравненията f=λg и g(x;y)=c.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.