Множители на Лагранж (въведение)

Преговор

• Контурни графики
• Градиент
• Локални максимуми и минимуми

Основни идеи

• С помощта на множителите на Лагранж можем да намираме минимум или максимум на дадена функция $\blueE{f(x; y; \dots)}$start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, end color #0c7f99 при наличие на ограничения върху аргументите.
• Ограниченията изглеждат така:

  $\redE{g(x; y; \dots) = c}$start color #bc2612, g, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612

  Където $\redE{g}$start color #bc2612, g, end color #bc2612 е друга функция със същия брой аргументи като $\blueE{f}$start color #0c7f99, f, end color #0c7f99, а $\redE{c}$start color #bc2612, c, end color #bc2612 е константа.

  [Картинка]
• Основната идея е да разгледаме точките, в които контурните линии на $\blueE{f}$start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 и $\redE{g}$start color #bc2612, g, end color #bc2612 се допират.
• С други думи, търсим точките, в които градиентите на $\blueE{f}$start color #0c7f99, f, end color #0c7f99 и $\redE{g}$start color #bc2612, g, end color #bc2612 са успоредни.
• Този процес е еквивалентен на това да приравним градиента на една специална функция, наречена лагранжиан, на нулевия вектор.

  [По-точно...]

Мотивиращ пример

В общ вид

Контурни карти (графики)

$\blueE{f(x; y) = 2x^2 + \sqrt{5y}}$start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, square root of, 5, y, end square root, end color #0c7f99,

Ролята на градиента

Обратно към нашия пример

• $g(x_0; y_0) = 1$g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 1, тоест
  $\quad \redE{x_0^2 + y_0^2 = 1}$start color #bc2612, x, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, y, start subscript, 0, end subscript, squared, equals, 1, end color #bc2612
• $\nabla f(x_0; y_0) = \greenE{\lambda_0} \nabla g(x_0; y_0)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start color #0d923f, lambda, start subscript, 0, end subscript, end color #0d923f, del, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis за някоя константа $\greenE{\lambda_0}$start color #0d923f, lambda, start subscript, 0, end subscript, end color #0d923f, тоест;
  $\begin{aligned} \quad {2} &{= 2\greenE{\lambda_0} x_0} \\ {1} &{= 2\greenE{\lambda_0} y_0} \end{aligned}$

Лагранжиáнът

• Ограничението:
  $\redE{g(x_0; y_0) = c}$start color #bc2612, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, c, end color #bc2612
• Допиращи се контури:
  $\nabla f(x_0; y_0) = \lambda_0 \nabla g(x_0; y_0)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, lambda, start subscript, 0, end subscript, del, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Обобщение

• Стъпка 1: Въвеждаме нова променлива $\greenE{\lambda}$start color #0d923f, lambda, end color #0d923f (гръцката буква ламбда) и дефинираме функцията $\mathcal{L}$L по следния начин:

  $\mathcal{L}(x; y; \dots, \greenE{\lambda}) = \blueE{f(x; y; \dots)} - \greenE{\lambda} (\redE{g(x; y; \dots)-c})$L, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, f, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, end color #0c7f99, minus, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, left parenthesis, start color #bc2612, g, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, right parenthesis, minus, c, end color #bc2612, right parenthesis

  Функцията $\mathcal{L}$L се нарича "лагранжиан", а новата променлива $\greenE{\lambda}$start color #0d923f, lambda, end color #0d923f се нарича "множител на Лагранж"
• Стъпка 2: Приравняваме градиента на $\mathcal{L}$L на нулевия вектор.

  $\nabla \mathcal{L}(x; y; \dots, \greenE{\lambda}) = \textbf{0} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{нулев вектор}}}$del, L, left parenthesis, x, ;, y, ;, dots, comma, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text, left arrow, start color gray, start text, н, у, л, е, в, space, в, е, к, т, о, р, end text, end color gray

  С други думи, търсим критичните точки на $\mathcal{L}$L.
• Стъпка 3: За всяка критична точка $(x_0; y_0; \dots; \greenE{\lambda}_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots, ;, start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, заместваме съответните стойности в $f$f (всички координати без $\greenE{\lambda}_0$start color #0d923f, lambda, end color #0d923f, start subscript, 0, end subscript, тъй като $f$f няма аргумент $\greenE{\lambda}$start color #0d923f, lambda, end color #0d923f ). Точката, която даде най-голяма (или най-малка) стойност на $f$f, е максимумът (или минимумът), който търсим.