Пример за използване на критерия на вторите частни производни, част 1

Често срещана задача в анализа на функции на много променливи обикновено е следната: да се намерят и да се определи вида на всички критични точки на – и е дадена някаква функция на много променливи. Първо, понятието критична точка означава точка, в която градиентът е нула. Значи търсим такива точки, в които градиентът на функцията за някаква входна стойност, някаква конкретна входна стойност (х; у), която трябва да определим, за тази точка градиентът е равен на нула. Както казах в последните няколко видео клипа, причината, поради която търсим критичните точки, е защото искаме да максимизираме стойността на функцията, или искаме да я минимизираме. Второто условие при класифициране на критичните точки е да определим какво ни казва критерият за втората производна. След като установим това, или ако градиентът е равен на нула, можем да определим дали дадената точка е локален максимум, или е локален минимум, или пък е седлова точка. Да решим този пример. Първото нещо, което трябва да направим, за да определим стойностите на х и на у когато градиентът е нула – спомни си, че когато казваме, че градиентът е нула, това всъщност означава, че е равен на нулевия вектор, но е много удобно да поставим всички на една права, така че ще намерим и двете частни производни. Частната производна по отношение на х – първият член, когато намираме частната производна относно х е 3 по х на квадрат, по у – 2 слиза долу, така че получаваме 6 по х по у на трета степен. у на трета степен, у приемаме за константа, така че у на трета степен е константа, минус 3 по х на квадрат – тази двойка от степенния показател слиза отпред. Получаваме минус 6 по х. Членът 3 по у на квадрат – у изглежда като константа навсякъде, така че има нулева производна, когато диференцираме по отношение на х. Сега да намерим частната производна на f по отношение на у. В първия член приемаме х за константа, 3 по х на квадрат. х е константа, когато диференцираме по отношение на у. Значи става 3 по х на квадрат. Вторият член – минус х, извинявам се, минус у на трета степен, след като го диференцираме става минус 3 по у на квадрат. Минус 3 по у на квадрат. Следващият член съдържа само х, значи го приемаме за константа, когато диференцираме по у. И този последният член, сваляме долу две, защото диференцираме у на квадрат, получаваме минус 6 по у. След като намерим критичните точки, първата стъпка е да приравним тези две частни производин на нула. Първата, когато я приравним на нула, можем да го опростим малко, като изнесем пред скоби 6 по х. Това става 6 по х, скоба, по у минус едно. Това приравняваме на нула. От това уравнение виждаме, че или членът 6 по х е равен на нула, което означава, че х ще е равно на нула, или у минус 1 е равно на нула, което означава, че у е равно на 1. Поне едно от тези две твърдения трябва да е вярно. Така намерихме първото условие. Ще се преместя малко надолу. За второто уравнение, когато приравним на нула, не става ясно веднага как можем лесно да намерим стойностите на х и на у. Но понеже вече решихме първото уравнение, един вид можем да заместим получените стойности, и да кажем, че ако х е равно на нула, искаме да видим в какво ще се превърне уравнението, тогава то става 3 по х на квадрат, тук няма нищо, което да е нула, и тогава ни остава минус 3 по у на квадрат, минус 6 по у, равно на нула. Сега можем да разложим, можем да изнесем пред скоби минус 3 по у. Изнасям пред скоби минус 3 по у, което означава, че от първия член остава просто у, а от втория член остава плюс 2, тъй като изнасяме пред скоби минус 3. Значи плюс 2, и цялото е равно на нула. Това, което означава това, е, че или минус 3 по у е равно на нула, и тогава у ще е равно на нула, или у плюс 2 е равно на нула, и това означава, че у ще е равно на минус две. Това е първият случай, когато заместихме с х равно на нула. Сега да видим втория вариант, когато това у е равно на 1, какво получаваме тогава в цялото уравнение – тук отново имаме 3 по х на квадрат, защото сега един вид търсим х – 3 по х на квадрат, минус... после останалото става – да видим, минус 3 по 1 на квадрат. Това е минус 3, заместваме у равно на 1, изваждаме 6, заместваме отново у равно на 1, и цялото нещо става 3 по х на квадрат, после минус 3 минус 6. Значи изваждаме 9. Тук също можем да разложим, имаме 3 по х на квадрат минус 3. Това означава, че – понеже целият израз е равен на нула, това означава, че х на квадрат минус 3 е равно на нула, така че х е равно на плюс или минус корен квадратен от три. Може би тук трябва да посоча, че получихме различни неща. Единият случай е когато х е равно на нула, а другият случай е когато у е равно на едно. Така получаваме общо три различни критични точки, защото в първия случай, когато х е равно на нула, критичната точка – имаме две критични точки, за които координатата х е нула. Съответните координати у са нула или минус две. Значи имаме у равно на нула или на минус две. Тук има два варианта. След това има и друг вариант, когато у е равно на едно, тогава х е равно на плюс или минус корен квадратен от три. Значи х е равно на положителен корен квадратен от три и у е равно на едно, а после х е равно на минус корен квадратен от три, а у е равно на едно. Това са критичните точки, което означава, че всички частни производни са равни на нула. В следващото видео ще класифицираме тези критични точки с помощта на критерия на вторите частни производин.