Подготовка за разглеждане на критерия на вторите частни производни

В анализа на функции на една променлива, ако е дадена функцията f от (х) и искаме да определим максимума или минимума на тази функция, това, което правим, е да намерим производната и да я приравним на нула. Графично това може да се тълкува като – досещаш се, ако имаме графиката на f, когато производната е нула, това означава, че разглеждаме местата, в които допирателната е хоризонтална, има нулев наклон. На графиката, която съм начертал, това са тези две допирателни, които имат нулев наклон. След като намерим тези точки, знаеш, че например, тук имаме едно решение, което ще означа като х1, а после имаме второ решение, х2. И можем да се запитаме дали това са максимуми или минимуми, нали? Защото в тези две точки допирателните са хоризонтални. Когато определим това и искаме да разберем дали това е максимум или минимум, ние можем да определим това, просто като разгледаме графиката. Можем да определим, че тази точка е локален максимум, а тази точка тук е локален минимум. Но когато не разполагаме с графиката на функцията, има един добър критерий за намиране на отговора. Тогава гледаме втората производна и в този случай, понеже имаме изпъкналост, втората производна е по-малка от нула, а ето тук, понеже имаме вдлъбнатост, втората производна е по-голяма от нула. Когато имаме тази информация за изпъкналостта, можем да направим извод, че когато имаме изпъкналост, тогава е налице локален максимум, а когато имаме вдлъбнатост, тогава имаме локален минимум. Когато втората производна е нула, случаят е неопределен. Трябва да направим допълнителни изследвания, за да го определим. Не е известно. В света на анализа на функции на много променливи ситуацията е много подобна. Както казах в предходните видео клипове, това, което правим, когато имаме някаква функция, да кажем, че това е функция на две променливи, и вместо да търсим къде производната е равна на нула, трябва да определим къде градиентът на функцията е равен на нулевия вектор, като удебелявам нулата, за да се вижда, че това е вектор. Това съответства на намирането на допирателна равнина с нулев наклон. Ако това ти се струва непознато, върни се и гледай видеото, в което въвеждам понятията минимум и максимум на функция на много променливи. Темата на това видео е това, което е аналогично на този критерий на втората производна, когато при функциите на една променлива просто намираме втората производна и определяме дали е по-голяма, или е по-малка от нула. Как можем при функциите на много променливи да направим нещо подобно, за да определим дали имаме локален минимум, локален максимум или този трети вариант – седлова точка, която разгледахме в последното видео? Съществува друг критерий, който се нарича критерий на вторите частни производни. Ще го разгледаме подробно в края на това видео. За да се подготвим за това всъщност искам да разгледаме един конкретен пример, в който да определим дали градиентът е нула, само за да видим как изглежда това, и за да работим с конкретни формули. Функцията, чиято графика съм показал, е f от (х;у) равно на х на четвърта степен, минус 4 по х на квадрат, плюс у на квадрат. Това е функцията, която ще разгледаме. За да определим къде допирателната равнина е с нулев наклон, да видим къде градиентът е равен на нула. Спомни си, че това е просто един начин да "разопаковаме" информацията в двете частни производни – частната производна на f по отношение на х в някаква точка, като ще заместим координатите х и у да са равни на нула. Също така ще видим къде частната производна на f относно у в тази същата точка (х;у) е равна на нула. Идеята е, че това ще ни даде някаква система от уравнения, от която можем да намерим х и у. Да го направим. В този случай частната производна по отношение на х, поглеждаме тук и виждаме, че единствените членове, съдържащи х, са х на четвърта минус 4 по х на квадрат. Производната на х на четвърта степен е 4 по х на трета степен, производната на –4 по х на квадрат е равна на минус 8 по х. После разглеждаме у като константа. Добавяме константата и тук нищо не се променя. Първото условие е тази част да е равна на нула. След това намираме частната производна по отношение на у. Единственото място, където има у, е членът у на квадрат. Следователно частната производна по отношение на у е просто 2 по у. Приравняваме това на нула. Избирам този прост пример, в който уравненията са с тези частни производни – виждаш, тук имаме само х, а тук имаме само у, но не винаги се получава точно така. Представи си ако променливите са малко по-разбъркани, тук ще имаме смес от х и от у и тогава ще е много по-трудно да решим това. Но аз искам просто пример, в който да можем да намерим решенията. Когато решим тази система, това уравнение 2 по у равно на нула – това дава, че у е равно на нула. Това е добре, нали? После второто уравнение – 4 по х на трета минус 8 по х равно на 0 – да го преработим, така че да изнесем х пред скоби, както и да изнесем 4 пред скоби, получаваме 4 по х, по в скобите х на квадрат минус 2, което е равно на нула. Има две възможни решения, за да бъде равно на нула, нали? Или самото х трябва да е равно на нула, така че това е едното решение, х равно на нула, или х на квадрат минус 2 да е равно на нула, което означава, че х е равно на плюс/минус корен квадратен от две. Решението на системата от уравнения, знаем, че това е при всички случаи, у е равно на 0. Тогава може да се случи едно от три възможни неща. Х равно на нула, х равно на положителен корен квадратен от 2, или х равно на минус корен квадратен от 2. Това ни дава три отделни решения Ще ги напиша. Нашите три решения като наредени двойки са: (0; 0), когато х е нула и у е нула. второто е корен квадратен от 2; нула. третото е минус корен квадратен от 2; нула. Това са три различни точки, три различни стойности на х и у, които удовлетворяват тези две условия, когато и двете частни производни са нули. Какво означава това на графиката – когато разгледаме тези три входни точки, всички те имат допирателни равнини без наклон. Първата точка, (0; 0), ако я погледнем отгоре, все едно сме тук вътре в графиката, Точката (0; 0) е началото на координатната система. Виждаме, само като разглеждаме графиката на функцията, че това е седлова точка. Спомни си – това не е нито локален максимум, нито локален минимум. Не изглежда нито като връх, нито като долина. После другите две, където един вид се преместваме по оста х, предполагам, че тази точка тук, която е точно отдолу, е х равно на плюс корен квадратен от 2, а този друг минимум, който е точно отдолу, е х равно на минус корен квадратен от 2. Мога да определя това, само като разгледам графиката, но ние току-що го определихме. Виждаме от графиката, че това са два локални минимума. Въпросът обаче е как можем да определим това, след като сме намерили решенията, ако нямаме графиката, за да погледнем – как тогава можем да определим, че точката (0; 0) е седлова точка, а другите две решения съответстват на локални минимуми? Ако приложим принципа, който се използва при критерия за втората производна при функции с една променлива, какво можем да направим, ако знаем тези втори частни производни на нашата функция, за да видим как те влияят на изпъкналостта. Например, ако намерим втората частна производна по отношение на х – ще го сместя ето тук. Втората частна производна на функцията по отношение на х – диференцираме два пъти относно х, намираме втората производна на този израз относно х, така че изнасяме отпред това 3, така става 12, защото е 3 по 4, дава 12, по х на квадрат, значи 12 по х на квадрат минус 8. Това означава, че... о, преместих това. Това, което означава това по отношение на графиката, е, че ако се преместваме само по посока на х, което означава, че един вид срязваме с една равнина, която съответства на постоянна стойност на у, и ако разгледаме среза на графиката, този израз ни показва изпъкналостта във всяка дадена точка. Така че тези двете точки долу съответстват на х равно на плюс и минус корен квадратен от 2. Ако дойдем ето тук и ако разгледаме случая, когато х е равно на корен квадратен от 2, и ако заместим в този израз, какво ще получим? Ще получим 12 по... ако х е равно на корен квадратен от 2, тогава х на квадрат е равно на 2, така че това е 12 по 2, минус 8. Това е 24 минус 8. Получаваме 16. Това е положително число, ето защо имаме положителна изпъкналост във всяка от тези точки. Така че по отношение на посоката х изглежда, че в тези две точки имаме положителна изпъкналост. Те изглежда са локални минимуми. Тогава, ако заместим тук нула, ако вместо това дойдем тук, и ако кажем, че е равно на нула, тогава когато заместим тук, имаме 12 по нула, минус 8. Вместо 16, сега получаваме минус 8. Понеже получаваме отрицателна стойност, това означава, че има отрицателна изпъкналост на графиката, което обяснява защо по отношение на х началната точка на координатната система изглежда като локален максимум. Ще го запиша. Ако слезем един вид тук долу, и ако анализираме всяко от тези решения, ако разгледаме как изглежда това от гледна точка на всяка променлива – доколкото се отнася до х, началната точка на координатната система изглежда като максимум, а всяка от тези две точки изглежда като минимум. Така изглежда в очите на променливата х. После, ако направим нещо подобно за променливата у, ако намерим втората частна производна по отношение на у – ще го напиша ето тук, съвсем набързо, втората частна производна относно у – намираме производната на този израз относно у, която е просто константа. Това е просто 2. Понеже е положителна стойност, това означава, че по отношение на у навсякъде имаме положителна изпъкналост. Какво означава това на графиката? Ако просто разгледаме нещата, където един вид срязваме с равнина за постоянна стойност на х, за да видим само движението по посока у, тогава винаги ще имаме положителна изпъкналост. Тук съм начертал само равнината, когато х винаги е равно на нула, но си представи, че един вид преместим тази равнина наляво или надясно, тогава винаги ще получим положителна изпъкналост. По отношение на у всичко изглежда като локален минимум. Все едно слизаме надолу и всичко тук ни изглежда като локален минимум. Минимум, минимум, минимум. Може би е изкушаващо да кажем, че сме готови и сме намерили цялата информация, която ни е нужна. Защото казваме, че в посока х и в посока у има противоречие дали началната точка на координатата система е минимум или максимум, което означава, че това е седлова точка, а има съответствие относно другите две точки, които изглеждат и двете като минимум. Ето защо може да си помислиш, че можем да приемем, че тези точки изглеждат като минимуми. Но всъщност това не е достатъчно. Има случаи, съществуват примери, които мога да ти покажа, когато анализ от този вид може да те доведе до погрешно заключение. Може да заключиш, че определени точки са локален минимум, когато всъщност те са седлови точки. Основната причина е, че трябва да се вземе предвид информацията, която се съдържа в другата втора частна производна. Защото при анализа на функции на много променливи можем да намерим частната производна по отношение на едната променлива, а после по отношение на другата променлива. Така че трябва да вземем предвид смесената частна производна, за да достигнем до окончателно заключение. Опасявам се, че това видео може би стана твърде дълго, така че ще спра дотук. В следващото видео ще разгледаме критерия на втората частна производна в неговия пълен блясък, като вземем предвид тази смесена частна производна, но това ще е в следващото видео. Ще ти покажа и логиката откъде получаваме това, защо се получава така, защо този прост анализ, който направихме в този пример, е доста близко до реалната ситуация, но не е достатъчно пълен и не винаги води до правилно заключение. До скоро!