Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 4: Оптимизиране на функции на много променливи (статии)

Критерий на вторите частни производни за определяне на вида на критичните точки

Как проверяваме дали дадена функция на две променливи има локален минимум или максимум в определена точка.

Преговор

Незадължителни, но полезни теми

Хесиан

Освен това, ако не си спомняш значението на втората производна за функции на една променлива, припомни си тази тема, за да можеш по-нататък да сравниш този подход с анализа на втори частни производни.

При функциите на една променлива, когато производната на дадена функция е

0

f^{'} (a) = 0

стойността на втората производна дава вида на критичната точка. Тоест,

$f^{″} (a) > 0$ ‍ означава изпъкналост, така че $f$ ‍ има локален минимум в $a$ ‍.
Локален минимум
$f^{″} (a) < 0$ ‍ означава вдлъбнатост, така че $f$ ‍ има локален максимум в $a$ ‍.
Локален максимум
$f^{″} (a) = 0$ ‍ не означава нищо конкретно, например функцията $f (x) = x^{3}$ ‍ има инфлексна точка в $x = 0$ ‍, а функцията $f (x) = x^{4}$ ‍ има локален минимум.
Инфлексна точка
Локален минимум и втора производна нула

Критерий на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки

Ако търсим локалните максимуми/минимуми на дадена функция

f (x; y)

, първо намираме точките

(x_{0}; y_{0})

, в които градиентът е равен на

0

(нулевия вектор).

\nabla f (x_{0}; y_{0}) = 0

Това са точките, в които допирателната равнина към графиката на

f

е хоризонтална.

Критерият на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки ни казва как да разберем дали дадена критична точка е локален максимум, минимум или седлова точка. По-точно, пресмятаме стойността на следния израз:

H = f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}; y_{0})}^{2}

Тогава определяме вида на критичната точка по следния начин:

Ако $H < 0$ ‍, тогава $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е седлова точка.

Ако $H > 0$ ‍, то точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е максимум или минимум. За да разберем кое от двете е, проверяваме следното условие:
- Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) < 0$ ‍, $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е точка на локален максимум.
- Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) > 0$ ‍, $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е точка на локален минимум.
(Можеш да използваш $f_{y y} (x_{0}; y_{0})$ ‍ вместо $f_{x x} (x_{0}; y_{0})$ ‍)

Ако $H = 0$ ‍, нямаме достатъчно информация, за да определим вида на критичната точка.

Хесиан (матрица на Хесе)

Изразът

f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}; y_{0})}^{2}

, който използваме в критерия за определяне на критични точки, е всъщност детерминантата на матрицата на Хесе:

\begin{aligned} det (H f (x_{0}; y_{0})) & = det ([\begin{array}{cc} f_{x x} (x_{0}; y_{0}) & f_{y x} (x_{0}; y_{0}) \\ f_{x y} (x_{0}; y_{0}) & f_{y y} (x_{0}; y_{0}) \end{array}]) \\ = f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - f_{x y} (x_{0}; y_{0}) f_{y x} (x_{0}; y_{0}) \\ = f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}; y_{0})}^{2} \end{aligned}

По-нататък, когато започнем да разглеждаме връзките между линейната алгебра и математическия анализ, ще видим защо тази детерминанта е свързана с локалните максимуми и минимуми на съответната функция. Засега разглеждането на този израз като детерминанта ни позволява:

да запомним израза по-лесно и да избегнем грешки (например ако заменим минуса с плюс)
да преформулираме критерия за определяне на критични точки по-елегантно:
- $det (H f (x_{0}; y_{0})) < 0$ ‍ означава, че $f$ ‍ има седлова точка.
- $det (H f (x_{0}; y_{0})) > 0$ ‍ означава, че $f$ ‍ има локален максимум или минимум.
- $det (H f (x_{0}; y_{0})) = 0$ ‍ означава, че вторите производни не носят информация за вида на критичната точка.

Дори без линейна алгебра можем донякъде да разберем защо този израз е толкова важен.

Първична интуиция

\underset{\begin{matrix} Положително е само когато посоките на х и на у \\ съвпадат с посоката на изпъкналостта \end{matrix}}{\underset{⏟}{\overset{\begin{matrix} изпъкналост \\ в посока х \end{matrix}}{\overset{⏞}{f_{x x} (x_{0}; y_{0})}} \overset{\begin{matrix} изпъкналост \\ в посока у \end{matrix}}{\overset{⏞}{f_{y y} (x_{0}; y_{0})}}}} - \underset{\begin{matrix} Доколко f прилича \\ на g (x; y) = x y \end{matrix}}{\underset{⏟}{f_{x y} (x_{0}; y_{0})^{2}}}

Нека обърнем внимание на следния член:

f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0})

Той определя дали изпъкналостта на

f

е една и съща по

x

и по

y

Например за функцията

f (x; y) = x^{2} - y^{2}

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

имаме седлова точка

(x; y) = (0; 0)

. Втората частна производна спрямо

x

е следната:

\begin{aligned} f_{x x} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial x} 2 x \\ = 2 > 0 \end{aligned}

По-точно имаме

f_{x x} (0; 0) = 2 > 0

, тоест функцията

f (x; y)

е изпъкнала като функция на

x

. От друга страна втората частна производна спрямо

y

е отрицателна:

\begin{aligned} f_{y y} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - y^{2}) \\ = \frac{\partial}{\partial y} - 2 y \\ = - 2 < 0 \end{aligned}

Това означава, че функцията е вдлъбната като функция на

y

. Тази разлика в изпъкналостта на функцията означава, че разглежданата точка е седлова:

f_{x x} (0; 0) f_{y y} (0; 0) = (2) (- 2) = - 4 < 0

Тъй като изразът

{f_{x y} (0; 0)}^{2}

е положителен, ако го извадим от разглеждания досега израз, получаваме нещо "още по-отрицателно"

f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}; y_{0})}^{2}

От друга страна, когато знаците на

f_{x x} (x_{0}; y_{0})

f_{y y} (y_{0}; y_{0})

са положителни или отрицателни, функцията

f

е изпъкнала/вдлъбната и по

x

, и по

y

. В тези два случая изразът

f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0})

е положителен.

Но това не е достатъчно!

Членът $f_{x y}^{2}$ ‍

Нека разгледаме функцията

\begin{array}{r} f (x; y) = x^{2} + y^{2} + p x y \end{array}

където

p

е някаква константа.

Упражнение: Намери четирите втори производни на

f

f_{x x} (x; y) =

f_{y y} (x; y) =

f_{x y} (x; y) =

Тъй като вторите производни

f_{x x} (0; 0)

f_{y y} (0; 0)

са положителни, графиката е изпъкнала по

x

и по

y

(без значение от стойността на

p

Обаче в следното видео виждаме как се променя графиката, когато константата

p

варира от

1

до

3

и обратно до

1

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Какво се случва? Как така графиката има седлова точка, ако е вдлъбната по

x

и по

y

? Краткият отговор на този въпрос е, че и другите посоки имат значение, и в този пример тяхното поведение се определя от члена

p x y

Например, ако изолираме члена

x y

и разгледаме графиката само на

g (x; y) = x y

, тя изглежда така:

Тази функция има седлова точка в

(0; 0)

. Това не е защото изпъкналостта на функцията е различна по

x

и по

y

, а защото функцията е изпъкнала в посока

[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]

и вдлъбната в посока

[\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix}]

Нека видим какво казва критерият за функцията

f (x; y) = x^{2} + y^{2} + p x y

. Вече знаеш стойностите на вторите производни от упражнението по-горе, така че директно можеш да заместиш:

f_{x x} (0; 0) f_{y y} (0; 0) - {f_{x y} (0; 0)}^{2} = (2) (2) - p^{2}

Когато

p > 2

, изразът е отрицателен, тоест

f

има седлова точка. Когато

p < 2

, изразът е положителен, така че

f

има локален екстремум (всъщност минимум).

Можеш да разглеждаш стойността на частната производна $f_{x y} (x_{0}; y_{0})$ ‍ като измерваща в каква степен $f$ ‍ прилича на графиката на функцията $g (x; y) = x y$ ‍ около точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍.

Имайки предвид колко много посоки трябва да показват една и съща изпъкналост, изненадващо е, че стойностите на

f_{x x} (0; 0)

f_{y y} (0; 0)

f_{x y} (0; 0)

са достатъчни.

В следващия урок ще разгледаме по-задълбочено критерия на вторите частни производни за определяне на вида на критичните точки.

Обобщение

Когато имаме точка, в която градиентът на дадена функция е нулевият вектор (т. е. критична точка), критерият на втората частна производна е начин да определим дали тази точка е локален минимум, локален максимум или седлова точка с помощта на вторите частни производни на функцията.
Ключовият израз за критерия на втората частна производна е следният:

H = f_{x x} (x_{0}; y_{0}) f_{y y} (x_{0}; y_{0}) - {f_{x y} (x_{0}; y_{0})}^{2}

Ако $H > 0$ ‍, тогава функцията задължително има локален минимум или максимум в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍.
- Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) > 0$ ‍, това е минимум.
- Ако $f_{x x} (x_{0}; y_{0}) < 0$ ‍, това е максимум.
Ако $H < 0$ ‍, точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ е седлова.
Когато $H = 0$ ‍ нямаме достатъчно информация, за да определим вида на критичната точка.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Преговор

Критерий на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки

Първична интуиция

Членът fxy2‍

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Членът $f_{x y}^{2}$ ‍