Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 4: Оптимизиране на функции на много променливи (статии)

Максимуми, минимуми и седлови точки

Класна стая на Google

Как изглеждат локалните максимуми и минимуми на функция на няколко променливи

Преговор

Основни идеи

Интуитивно, локалният максимум е "връх" в графиката на дадена функция, точно като при функциите на една променлива.
В точките на локален максимум на функция на много променливи градиентът е равен на нулевия вектор, а допирателната равнина към графиката на функцията е хоризонтална.
Формално, локалният максимум е такава точка в дефиниционната област на функцията $f$ ‍, че съществува околност на тази точка, в която стойностите на функцията във всичко останали точки са по-малки от стойността ѝ в точката на локален максимум.

В общия случай графиката на функция с

n

променливи съществува в

(n + 1)

-мерно пространство, а нейната допирателна е в

n

-мерно пространство.

Например графиката на функция на една променлива е двумерна, а допирателната към тази графика е едномерна права; графиката на функция с две променливи е тримерна и допирателната към тази графика е двумерна равнина.

За функции с три и повече променливи допирателната вече няма да е равнина, тъй като равнината задължително е двумерна.

Формалният термин за подпространство, което има едно измерение по-малко от неговото околно пространство, е хиперравнина. Формално, градиентът на функция на много променливи съответства на допирателна хиперравнина.

В тази статия ще наричаме допирателните отново равнини, защото във всички примери, които ще разгледаме, използваме функции на две променливи. Но е важно да запомним, че става въпрос за хиперравнини.

Оптимизиране в по-високи измерения

Едно от най-важните приложения на математическия анализ е намирането на максимуми и минимуми на функции.

Например, ако управителят на дадена фирма иска да намери максималната възможна печалба при определени заплати, производствени цени и т.н.
Или в дизайна на автомобили често търсим минималното съпротивление на въздуха при дадена форма на колата.
В сферата на изкуствения интелект компютърната програма се "учи" как да изпълнява дадена задача като търси минимума на дадена "оценъчна функция".

Локални максимуми и минимуми, визуално представяне

Нека първо разгледаме функции, които можем да визуализираме удобно чрез графика. Например

f (x; y) = \cos (x) \cos (y) e^{- x^{2} - y^{2}}

Тази функция има много върхове и издатини, всяка една от които наричаме локален максимум (мн.ч. локални максимуми).

Точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ в равнината $x y$ ‍, съответстваща на такъв връх, се нарича точка на локален максимум.
Стойността на самата функция в тази точка е самият локален максимум.

Използваме думата "локален", за да направим разграничение от термина глобален максимум. Разликата между двете е, че ако се намираме на върха на някоя планина, това е локален максимум. Само когато върхът е Еверест, този максимум е глобален.

В края на урока ще видим формалната дефиниция на локален максимум. Интуицията обаче е следната: намираме се в локален максимум, когато малко изместване в която и да е посока намалява стойността на функцията.

Аналогично, ако графиката има вдлъбнатина в дадена точка

(x; y)

, точката наричаме точка на локален минимум, а съответстващата ѝ стойност на функцията - локален минимум. В такава точка всяко малко отместване в произволна посока води до нарастване на функцията.

Критични точки при функции на една променлива (преговор)

Следва набързо да си припомним как се намират локалните максимуми и минимуми на функции на една променлива. Да разгледаме следната задача:

Упражнение: За коя стойност на

x

функцията

f (x) = - (x - 2)^{2} + 5

има най-голяма стойност? На колко е равна тази стойност?

x =

Максималната стойност на

f

Локалните максимуми и минимуми на функцията

f

са стойностите на

a

, за които

f^{'} (a) = 0

. Това е така, понеже за функция, която е непрекъсната и диференцируема, допирателната към графиката ѝ в тези точки е хоризонтална, т.е. има наклон

0

Тези стойности на

a

имат няколко различни имена:

Неподвижна точка
Стационарна точка
Критична точка (у нас е прието да се използва термина критична точка)

Всички тези термини означават едно и също:

f^{'} (a) = 0

В тази дефиниция условието

f

да е непрекъсната и диференцируема е важно, тъй като например при прекъсната функция точката на прекъсване може да е локален максимум:

Ако функцията

f

е непрекъсната, но не е диференцируема, можем да имаме локален максимум, изглеждащ така:

Във всеки от тези случаи допирателната към графиката в тези максимуми не е дефинирана.

Обаче, дори когато

f

е навсякъде непрекъсната и диференцируема, не е достатъчно производната да е

0

, тъй като това се случва не само в локалните екстремуми, а и в инфлексните точки на функцията:

Това означава, че намирането на критичните точки е само първата стъпка в търсенето на максимума на функцията.

Критични точки при функции на две променливи

Ситуацията с функциите на няколко променливи е аналогична на познатите ни едномерни функции. Когато функцията е непрекъсната и диференцируема, в точката на локален максимум или минимум всичките ѝ частни производни са равни на $0$ ‍.

\begin{aligned} \underset{Частна производна спрямо x}{\underset{⏟}{f_{x} (x_{0}; y_{0}; \dots)}} & = 0 \\ \underset{Частна производна спрямо y}{\underset{⏟}{f_{y} (x_{0}; y_{0}; \dots)}} & = 0 \\ ⋮ \end{aligned}

По отношение на графиката на функцията това означава, че допирателната равнина в точки на локален максимум или минимум е хоризонтална. Например ето как изглежда една графика с няколко локални екстремума и съответните им допирателни равнини:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Всички частни производни в дадена точка са равни на нула тогава и само тогава, когато градиентът в тази точка е равен на нулевия вектор:

\begin{aligned} \nabla f (x_{0}; y_{0}; \dots) \\ = [\begin{array}{c} f_{x} (x_{0}; y_{0}; \dots) \\ f_{y} (x_{0}; y_{0}; \dots) \\ ⋮ \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ ⋮ \end{array}] \end{aligned}

Можем да запишем този израз по-компактно по следния начин:

\nabla f (x_{0}) = 0

Припомняме, че удебелените променливи са вектори.

x_{0}

е векторът от аргументи на функцията

(x_{0}; y_{0}; \dots)

, а

0

е нулевият вектор.

Точките

x_{0}

, които изпълняват това условие, наричаме по същия начин като критичните точки при наличието само на една променлива:

Неподвижна точка
Стационарна точка
Критична точка

Използваме термините "неподвижна точка" и "стационарна точка", тъй като стойността на функцията се променя необичайно бавно в околността на такива точки. Терминът "критична точка" винаги ми се е струвал прекалено драматичен, все едно функцията я грози някаква опасност около тази точка.

Както и при скаларните функции, нулевият градиент не е достатъчно условие за локален екстремум. Точката също може да е нещо като инфлексна:

Обаче имаме и съвсем нова възможност, която не се среща при функции на една променлива.

Седлови точки

Нека разгледаме функцията

f (x; y) = x^{2} - y^{2}

. Да видим какво се случва около началната точка

(0; 0)

Двете първи производни са $0$ ‍:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} - y^{2}) & = 2 x \to 2 (0) = 0 \\ \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} - y^{2}) & = - 2 y \to - 2 (0) = 0 \end{aligned}

Следователно

(0; 0)

е критична точка.

Когато оставим само $x$ ‍ като променлива, дадената функция се свежда до $f (x; 0) = x^{2} - 0^{2} = x^{2}$ ‍. Тази функция има локален минимум в точката $x = 0$ ‍.
Когато оставим само $y$ ‍ като променлива, дадената функция се свежда до $f (0; y) = 0^{2} - y^{2} = - y^{2}$ ‍. Тази функция има локален максимум в точката $y = 0$ ‍.

С други думи, променливите

x

y

дават различна информация за вида на критичната точка

(0; 0)

. Тя не е нито минимум, нито максимум, нито инфлексна точка!

Ето как изглежда графиката на тази функция:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Околността на точката

(0; 0; 0)

прилича много на конско седло.

Заради визуалната си прилика със седло такава критична точка наричаме седлова точка. По дефиниция седловата точка е критична точка, която е максимум в една посока и минимум в друга.

Максимум или минимум

"Добре,"

мислим си,

"значи градиент

0

не е достатъчен за екстремум, понеже може да имаме инфлексни точки или седлови точки. Но как можем да разпознаем дали дадена критична точка е локален максимум или минимум?"

Това е темата на следващата статия върху критерия за определяне на вида на критичните точки. Засега ще завършим с кратка дефиниция на локален максимум.

Формална дефиниция

Дори и когато имаме интуитивна идея за значението на дадена математическа дефиниция, винаги е полезно да обърнем внимание и на формалната ѝ форма. Това е важно, тъй като в математиката често се налага да превеждаме интуиция в прецизни твърдения, и обратно.

За да дефинираме понятието локален максимум, ще означим с вектори, например с

x

, аргументите на дадените функции.

Дефиниция на локален максимум: Дадена скаларна функция

f

има локален максимум в точката

x_{0}

ако съществува положителна константа

r > 0

, такава че:

$f (x) \leq f (x_{0})$ ‍ за всички стойности на $x$ ‍, за които $| | x - x_{0} | | < r$ ‍

Нека разясним за какво става въпрос:

Изразът "

| | x - x_{0} | | < r

" означава, че променливата

x

е на разстояние

r

от максимума

x_{0}

. Например, когато векторът

x

е двумерен, това означава, че

x

лежи във вътрешността на кръга с радиус

r

и център

x_{0}

В по-общия случай, когато векторът

x

n

-мерен, множеството от всички вектори

x

, такива че

| | x - x_{0} | | < r

, е

n

-мерна сфера с радиус

r

и център

x_{0}

Можем да преведем тази дефиниция от математически език на български по следния начин:

$x_{0}$ ‍ е локален максимум на $f$ ‍ ако съществува малък (кръгъл) регион около точката $x_{0}$ ‍, такъв че максималната стойност на $f$ ‍ измежду всички точки в региона е в точката $x_{0}$ ‍.

Упражнение: Запиши формалната дефиниция за локален минимум, като внимателно обмислиш (докато се убедиш, че разбираш) всяка част от нея.

Обобщение

Интуитивно, локалният максимум е "връх" в графиката на дадена функция, точно като при функциите на една променлива.
В точките на локален максимум на функция на много променливи градиентът е равен на нулевия вектор, а допирателната равнина към графиката на функцията е хоризонтална.
Формално, локалният максимум е такава точка в дефиниционната област на функцията $f$ ‍, че съществува околност на тази точка, в която стойностите на функцията във всичко останали точки са по-малки от стойността ѝ в точката на локален максимум.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.