Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 4: Оптимизиране на функции на много променливи (статии)

Максимуми, минимуми и седлови точки

Класна стая на Google

Как изглеждат локалните максимуми и минимуми на функция на няколко променливи

Преговор

Основни идеи

Интуитивно, локалният максимум е "връх" в графиката на дадена функция, точно като при функциите на една променлива.
В точките на локален максимум на функция на много променливи градиентът е равен на нулевия вектор, а допирателната равнина към графиката на функцията е хоризонтална.
Формално, локалният максимум е такава точка в дефиниционната област на функцията f, че съществува околност на тази точка, в която стойностите на функцията във всичко останали точки са по-малки от стойността ѝ в точката на локален максимум.

[Бележка относно равнини и хиперравнини]

Оптимизиране в по-високи измерения

Едно от най-важните приложения на математическия анализ е намирането на максимуми и минимуми на функции.

Например, ако управителят на дадена фирма иска да намери максималната възможна печалба при определени заплати, производствени цени и т.н.
Или в дизайна на автомобили често търсим минималното съпротивление на въздуха при дадена форма на колата.
В сферата на изкуствения интелект компютърната програма се "учи" как да изпълнява дадена задача като търси минимума на дадена "оценъчна функция".

Локални максимуми и минимуми, визуално представяне

Нека първо разгледаме функции, които можем да визуализираме удобно чрез графика. Например

f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, e, start superscript, minus, x, squared, minus, y, squared, end superscript

Тази функция има много върхове и издатини, всяка една от които наричаме локален максимум (мн.ч. локални максимуми).

Точката left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis в равнината x, y, съответстваща на такъв връх, се нарича точка на локален максимум.
Стойността на самата функция в тази точка е самият локален максимум.

Използваме думата "локален", за да направим разграничение от термина глобален максимум. Разликата между двете е, че ако се намираме на върха на някоя планина, това е локален максимум. Само когато върхът е Еверест, този максимум е глобален.

В края на урока ще видим формалната дефиниция на локален максимум. Интуицията обаче е следната: намираме се в локален максимум, когато малко изместване в която и да е посока намалява стойността на функцията.

Аналогично, ако графиката има вдлъбнатина в дадена точка left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, точката наричаме точка на локален минимум, а съответстващата ѝ стойност на функцията - локален минимум. В такава точка всяко малко отместване в произволна посока води до нарастване на функцията.

Критични точки при функции на една променлива (преговор)

Следва набързо да си припомним как се намират локалните максимуми и минимуми на функции на една променлива. Да разгледаме следната задача:

Упражнение: За коя стойност на x функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 5 има най-голяма стойност? На колко е равна тази стойност?

x, equals

Максималната стойност на f е

Локалните максимуми и минимуми на функцията f са стойностите на a, за които f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0. Това е така, понеже за функция, която е непрекъсната и диференцируема, допирателната към графиката ѝ в тези точки е хоризонтална, т.е. има наклон 0.

Тези стойности на a имат няколко различни имена:

Неподвижна точка
Стационарна точка
Критична точка (у нас е прието да се използва термина критична точка)

Всички тези термини означават едно и също: f, prime, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 0

В тази дефиниция условието f да е непрекъсната и диференцируема е важно, тъй като например при прекъсната функция точката на прекъсване може да е локален максимум:

Ако функцията f е непрекъсната, но не е диференцируема, можем да имаме локален максимум, изглеждащ така:

Във всеки от тези случаи допирателната към графиката в тези максимуми не е дефинирана.

Обаче, дори когато f е навсякъде непрекъсната и диференцируема, не е достатъчно производната да е 0, тъй като това се случва не само в локалните екстремуми, а и в инфлексните точки на функцията:

Това означава, че намирането на критичните точки е само първата стъпка в търсенето на максимума на функцията.

Критични точки при функции на две променливи

Ситуацията с функциите на няколко променливи е аналогична на познатите ни едномерни функции. Когато функцията е непрекъсната и диференцируема, в точката на локален максимум или минимум всичките ѝ частни производни са равни на 0.

\begin{aligned} \quad \underbrace{ f_\blueE{x}(x_0; y_0; \dots) }_{\text{Частна производна спрямо $\blueE{x}$}} &= 0 \\ \underbrace{ f_\redE{y}(x_0; y_0; \dots) }_{\text{Частна производна спрямо $\redE{y}$}} &= 0 \\ &\vdots \end{aligned}

По отношение на графиката на функцията това означава, че допирателната равнина в точки на локален максимум или минимум е хоризонтална. Например ето как изглежда една графика с няколко локални екстремума и съответните им допирателни равнини:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Всички частни производни в дадена точка са равни на нула тогава и само тогава, когато градиентът в тази точка е равен на нулевия вектор:

\begin{aligned} &\phantom{=} \nabla f(x_0; y_0; \dots) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} f_\blueE{x}(x_0; y_0; \dots) \\ f_\redE{y}(x_0; y_0; \dots) \\ \vdots \end{array} \right] \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}

Можем да запишем този израз по-компактно по следния начин:

del, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, start bold text, 0, end bold text

Припомняме, че удебелените променливи са вектори. start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript е векторът от аргументи на функцията left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, ;, y, start subscript, 0, end subscript, ;, dots, right parenthesis, а start bold text, 0, end bold text е нулевият вектор.

Точките start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, които изпълняват това условие, наричаме по същия начин като критичните точки при наличието само на една променлива:

Неподвижна точка
Стационарна точка
Критична точка

Използваме термините "неподвижна точка" и "стационарна точка", тъй като стойността на функцията се променя необичайно бавно в околността на такива точки. Терминът "критична точка" винаги ми се е струвал прекалено драматичен, все едно функцията я грози някаква опасност около тази точка.

Както и при скаларните функции, нулевият градиент не е достатъчно условие за локален екстремум. Точката също може да е нещо като инфлексна:

Обаче имаме и съвсем нова възможност, която не се среща при функции на една променлива.

Седлови точки

Нека разгледаме функцията f, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared. Да видим какво се случва около началната точка left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis.

Двете първи производни са 0:

\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 - y^2) &= 2x \to 2(\blueE{0}) = 0 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 - \redE{y}^2) &= -2y \to -2(\redE{0}) = 0 \end{aligned}

Следователно left parenthesis, start color #0c7f99, 0, end color #0c7f99, ;, start color #bc2612, 0, end color #bc2612, right parenthesis е критична точка.

Когато оставим само x като променлива, дадената функция се свежда до f, left parenthesis, x, ;, 0, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 0, squared, equals, x, squared. Тази функция има локален минимум в точката x, equals, 0.
Когато оставим само y като променлива, дадената функция се свежда до f, left parenthesis, 0, ;, y, right parenthesis, equals, 0, squared, minus, y, squared, equals, minus, y, squared. Тази функция има локален максимум в точката y, equals, 0.

С други думи, променливите x и y дават различна информация за вида на критичната точка left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis. Тя не е нито минимум, нито максимум, нито инфлексна точка!

Ето как изглежда графиката на тази функция:

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Околността на точката left parenthesis, 0, ;, 0, ;, 0, right parenthesis прилича много на конско седло.

Заради визуалната си прилика със седло такава критична точка наричаме седлова точка. По дефиниция седловата точка е критична точка, която е максимум в една посока и минимум в друга.

Максимум или минимум

"Добре,"

мислим си,

"значи градиент 0 не е достатъчен за екстремум, понеже може да имаме инфлексни точки или седлови точки. Но как можем да разпознаем дали дадена критична точка е локален максимум или минимум?"

Това е темата на следващата статия върху критерия за определяне на вида на критичните точки. Засега ще завършим с кратка дефиниция на локален максимум.

Формална дефиниция

Дори и когато имаме интуитивна идея за значението на дадена математическа дефиниция, винаги е полезно да обърнем внимание и на формалната ѝ форма. Това е важно, тъй като в математиката често се налага да превеждаме интуиция в прецизни твърдения, и обратно.

За да дефинираме понятието локален максимум, ще означим с вектори, например с start bold text, x, end bold text, аргументите на дадените функции.

Дефиниция на локален максимум: Дадена скаларна функция f има локален максимум в точката start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript ако съществува положителна константа r, is greater than, 0, такава че:

f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, right parenthesis, is less than or equal to, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis за всички стойности на start bold text, x, end bold text, за които vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r

Нека разясним за какво става въпрос:

Изразът "vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r" означава, че променливата start bold text, x, end bold text е на разстояние r от максимума start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript. Например, когато векторът start bold text, x, end bold text е двумерен, това означава, че start bold text, x, end bold text лежи във вътрешността на кръга с радиус r и център start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.

В по-общия случай, когато векторът start bold text, x, end bold text е n-мерен, множеството от всички вектори start bold text, x, end bold text, такива че vertical bar, vertical bar, start bold text, x, end bold text, minus, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, vertical bar, vertical bar, is less than, r, е n-мерна сфера с радиус r и център start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.

Можем да преведем тази дефиниция от математически език на български по следния начин:

start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript е локален максимум на f ако съществува малък (кръгъл) регион около точката start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, такъв че максималната стойност на f измежду всички точки в региона е в точката start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript.

Упражнение: Запиши формалната дефиниция за локален минимум, като внимателно обмислиш (докато се убедиш, че разбираш) всяка част от нея.

[Отговор]

Обобщение

Интуитивно, локалният максимум е "връх" в графиката на дадена функция, точно като при функциите на една променлива.
В точките на локален максимум на функция на много променливи градиентът е равен на нулевия вектор, а допирателната равнина към графиката на функцията е хоризонтална.
Формално, локалният максимум е такава точка в дефиниционната област на функцията f, че съществува околност на тази точка, в която стойностите на функцията във всичко останали точки са по-малки от стойността ѝ в точката на локален максимум.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.