If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Хесиан (матрица на Хесе)

Хесианът е матрица, съдържаща всички втори частни производни на дадена функция.

Матрица на Хесе (хесиан)

"Матрицата на Хесе" на дадена функция f(x;y;z;), която в различни текстове се среща като H(f), Hf или Hf, е матрицата от всички втори частни производни на f:
Hf=[2fx22fxy2fxz2fyx2fy22fyz2fzx2fzy2fz2]
Две забележки:
  • Тази дефиниция има смисъл само при скаларни функции.
  • Hf не е обикновена матрица; елементите в матрицата на Хесе са функции. С други думи, точно като функция, хесианът приема аргументи (x0;y0;).
Hf(x0,y0,)=[2fx2(x0,y0,)2fxy(x0,y0,)2fyx(x0,y0,)2fy2(x0,y0,)]
Затова наричаме Hf "матрична функция".
Важна терминология: терминът "хесиан" често означава детерминантата на матрицата на Хесе вместо самата матрица.

Пример: Пресмятане на хесиан

Задача: Да се намери хесианът на f(x;y)=x32xyy6 в точката (1;2):
Решение: Първо трябва да намерим вторите производни на f, така че нека започнем с първите:
fx(x;y)=x(x32xyy6)=3x22yfy(x;y)=y(x32xyy6)=2x6y5
Сеа можем да намерим четирите втори производни:
fxx(x;y)=x(3x22y)=6xfxy(x;y)=y(3x22y)=2fyx(x;y)=x(2x6y5)=2fyy(x;y)=y(2x6y5)=30y4
Матрицата на Хесе в този случай е матрица с размери 22, която изглежда така:
Hf(x;y)=[fxx(x;y)fyx(x;y)fxy(x;y)fyy(x;y)]=[6x2230y4]
Търсим стойността на тази матрична функция в точката (x;y)=(1;2), така че заместваме и получаваме:
Hf(1;2)=[6(1)2230(2)4]=[622480]
В този момент задачата става неясна, тъй като казахме, че понятието "хесиан" понякога означава детерминантата на матрицата на Хесе. Например при намиране на квадратично приближение на многомерна функция използваме матрицата, но по-нататък ще се запознаем с критерия на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки, в който използваме детерминантата.
Ако търсим детерминантата, тя е равна на:
det([622480])=6(480)(2)(2)=2884

Приложения

Матрицата на Хесе е аналог на втората производна за функциите на много променливи. Най-разпространените ѝ приложения са:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.