Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 2: Квадратична апроксимация

Хесиан (матрица на Хесе)

Класна стая на Google

Хесианът е матрица, съдържаща всички втори частни производни на дадена функция.

Преговор:

Втори частни производни

Матрица на Хесе (хесиан)

"Матрицата на Хесе" на дадена функция

f (x; y; z; \dots)

, която в различни текстове се среща като

H (f)

H f

или

H_{f}

, е матрицата от всички втори частни производни на

f

H f = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} & \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial z} & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial x} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z \partial y} & \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}]

Две забележки:

Тази дефиниция има смисъл само при скаларни функции.
$H f$ ‍ не е обикновена матрица; елементите в матрицата на Хесе са функции. С други думи, точно като функция, хесианът приема аргументи $(x_{0}; y_{0}; \dots)$ ‍.

H f (x_{0}, y_{0}, \dots) = [\begin{array}{ccc} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (x_{0}, y_{0}, \dots) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{array}]

Затова наричаме

H f

"матрична функция".

[Производни от по-висок ред]

Важна терминология: терминът "хесиан" често означава детерминантата на матрицата на Хесе вместо самата матрица.

Пример: Пресмятане на хесиан

Задача: Да се намери хесианът на

f (x; y) = x^{3} - 2 x y - y^{6}

в точката

(1; 2)

Решение: Първо трябва да намерим вторите производни на

f

, така че нека започнем с първите:

\begin{aligned} f_{x} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = 3 x^{2} - 2 y \\ f_{y} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} - 2 x y - y^{6}) = - 2 x - 6 y^{5} \end{aligned}

Сеа можем да намерим четирите втори производни:

\begin{aligned} f_{x x} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial x} (3 x^{2} - 2 y) = 6 x \\ f_{x y} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial y} (3 x^{2} - 2 y) = - 2 \\ f_{y x} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial x} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 2 \\ f_{y y} (x; y) & = \frac{\partial}{\partial y} (- 2 x - 6 y^{5}) = - 30 y^{4} \end{aligned}

Матрицата на Хесе в този случай е матрица с размери

2 \cdot 2

, която изглежда така:

H f (x; y) = [\begin{array}{cc} f_{x x} (x; y) & f_{y x} (x; y) \\ f_{x y} (x; y) & f_{y y} (x; y) \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 x & - 2 \\ - 2 & - 30 y^{4} \end{array}]

Търсим стойността на тази матрична функция в точката

(x; y) = (1; 2)

, така че заместваме и получаваме:

H f (1; 2) = [\begin{array}{cc} 6 (1) & - 2 \\ - 2 & - 30 (2)^{4} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}]

В този момент задачата става неясна, тъй като казахме, че понятието "хесиан" понякога означава детерминантата на матрицата на Хесе. Например при намиране на квадратично приближение на многомерна функция използваме матрицата, но по-нататък ще се запознаем с критерия на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки, в който използваме детерминантата.

Ако търсим детерминантата, тя е равна на:

det ([\begin{array}{cc} 6 & - 2 \\ - 2 & - 480 \end{array}]) = 6 (- 480) - (- 2) (- 2) = - 2884

Приложения

Матрицата на Хесе е аналог на втората производна за функциите на много променливи. Най-разпространените ѝ приложения са:

Квадратични приближения на функции на много променливи, нещо като многомерен ред на Тейлър само до квадратния член.
Критерий на втората частна производна за определяне на вида на критичните точки, който ни помага да намерим локалните максимуми и минимуми на дадена функция на много променливи.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.