Представяне на квадратична форма с матрица

Привет! Искам да разгледаме още нещо, преди да опишем векторния вид на квадратичната апроксимация на функции на много променливи, което е така трудно за произнасяне. Да кажем, че имаме някакъв израз, например 'а' по х на квадрат, като х е променлива, по b по х по у, като у е друга променлива, плюс с по у на квадрат. а, b и се са константи, а х и у са променливи. Този израз има интересно име. Той се нарича квадратична форма. Това винаги ме е шокирало. Винаги съм се чудил какво означава това "форма"? Знам какво представлява квадратен израз, където "квадратен" обикновено означава, че нещо е на втора степен, или ако имаме произведение на две променливи, но защо го наричат "форма"? Принципно това означава, че всичко тук е квадратно. . Тук нямаме х, което си стои самичко, или някаква константа като 2, когато събираме всички тези, а вместо това имаме само членове от втора степен, а, разбира се, математиците не искат да го нарекат просто квадратен израз, а вместо това са му дали това засукано име, така че изглежда по-страшно, отколкото е всъщност. Но както и да е – имаме тази квадратична форма, а въпросът е как можем да я представим във векторен вид. По аналогия, ако разгледаме линейните членове, когато имаме, например, а по х плюс b по у – ще добавя още една променлива – друга константа по следващата променлива z. Когато видиш нещо такова, когато всяка променлива просто е умножена по константа, и когато съберем тези членове, както в този случай, можем лесно да изразим това чрез вектори, където събираме всички константи в техен отделен вектор, вектор, който съдържа а, b и с, и можеш да си представиш скаларното произведение на този вектор и на вектора, който съдържа всички променливи компоненти х, у и z. Удобството е, че тук можем да използваме само един символ, например V, който да представя вектора, съдържащ константите, а после можем да запишем, можем да намерим скаларното произведение на този вектор и другия вектор, като използваме друг символ, удебелено х, който представлява вектор, който съдържа всички променливи, и при този начин на записване всичко изглежда като произведение на константа и вектор, точно както при функциите на една променлива, когато умножаваме число-константа по число-променлива, това е все едно да умножим един константен вектор по един променлив вектор. Важността да запишем нещата по този начин е в това, че V може да е вектор, който съдържа не само три числа, а стотици числа, а х може да съдържа сто съответни променливи, а тогава записването става много сложно. По този начин можем да го обобщим за повече измерения. Въпросът е можем ли да направим нещо такова с квадратичната форма? Защото, досещаш се, да кажем, че въведем променливата z, тогава ако трябва да имаме още един член, някаква друга константа по квадратния член х по z, и после някаква друга константа по z на квадрат – пак квадратен член – и друг за квадратния член у по z, и това излиза от контрол, а ако започнеш да разглеждаш случаи със сто променливи, това наистина сериозно излиза извън контрол, защото има много различни квадратни членове, така че ни е нужен добър начин да ги изразим. Сега ще ти покажа как го правим и после ще го разнищим, за да видим какъв е смисълът. Обикновено, вместо да разглеждаме b по х по у, ние всъщност разглеждаме това като 2 по някаква константа, по х по у, а това няма никакво значение. Просто променяме стойността на b, но ще видиш защо това е по-удобно по този начин само след малко. Начинът да опишем квадратичната форма като тази чрез вектори е да съставим матрица две по две, тъй като тук имаме две измерения, като а и с са в единия диагонал, а b е в другия диагонал, понеже тези матрици винаги са симетрични, така че, ако си представиш как изобразяваме цялата матрица симетрично спрямо тази ос, ще получим същото число, така че е важно това, че тук имаме някаква симетрия. Това, което правим сега, е да умножим вектора, променливия вектор, който съдържа х и у, от дясната страна на тази матрица а после го умножаваме отново, но го обръщаме настрани, така че вместо да е вертикален вектор, го транспонираме до хоризонтален вектор от другата страна. Това е донякъде аналогично на това да умножим двете променливи. Умножаваме по два вектора, но от двете страни на матрицата. Това, между другото, е подходящ момент, ако не си наясно с умножението на матрици, да поставиш на пауза това видео и да намериш видео уроците за умножение на матрици и да си припомниш или да научиш как става, защото, когато продължим напред, аз ще приема, че това е нещо, което ти знаеш. Относно изчисляването на това, първо да извършим умножението отдясно. Имаме произведение на матрица с вектор. Първият компонент, който получаваме, е като умножим горния ред по всеки от компонентите на вектора, значи това е а по х, плюс b по у. Плюс b по втория компонент у. Аналогично постъпваме за долния елемент – взимаме долния ред и го умножаваме по съответните членове, значи b по х, плюс с по у. Ето това получаваме, когато умножим отдясно, и, разбира се, запазваме нашия транспониран вектор ето тук отдясно, ето тук отляво. Сега имаме – това е просто вектор 2 по 1, а този е 1 по 2. Можеш да си го представиш като хоризонтален вектор, или като матрица 1 по 2, но когато умножаваме тези тук, просто подравняваме съответните членове. Имаме х по целия този израз отгоре, така че х по (а по х плюс b по у). После прибавяме това към втория член у, умножен по втория компонент на този вектор, което е b по х плюс с по у. Значи умножаваме у по b по х плюс с по у. Всичко това са числа, така че можем да опростим, след като разкрием първите скоби, имаме х по а по х, което дава а по х на квадрат. После, следващият член, е х по b по у, значи става b по х по у. После тук имаме у по b по х, така че това е същото като b по х по у, следователно тук имаме, можем тук да напишем 2, защото това следва логично от нашето развиване на израза. Последният член е у по с по у, което е с по у на квадрат. Връщам се към първоначалната квадратична форма, която искахме да получим. а по х на квадрат, плюс 2 по b по х, по у, плюс с по у на квадрат. Ето как развихме този член. Когато го направим, получаваме същия квадратен израз. Квадратичната форма е удобна, защото се записва с матрица като тази, и дава възможност да направим всичко по един по-обобщен начин, и вместо да запишем цялата матрица, можем просто да запишем буква, например М, която да представлява цялата матрица, а после векторът, който представлява променливата, можем да запишем като удебелено х, и след това умножаваме отдясно, а после транспонираме вектора и го умножаваме отляво, така че това показва, че... като сложим едно Т като горен индекс, което показва, че това е х транспонирано, умножено по матрицата отляво, и този израз, това е начинът, по който изглежда квадратичната форма във векторен вид, а удобството е същото, както в линейния случай. Точно както V може да представлява нещо, което съдържа сто различни константи, а х може да е сто различни променливи, можем да направим нещо подобно и тук, като напишем същия израз, дори когато матрицата М е супер голяма. Да видим как ще изглежда това, когато имаме три измерения, но тук ми трябва повече място, защото ще пиша още по-надолу. Значи имаме х транспонирано, умножено по матрицата, умножено по удебелено х, и да кажем, че това представлява, сега имаме х, у и z, нашият транспониран вектор, а после нашата матрица, нашата матрица нека да е а, b, с, d, е, f – и понеже трябва да има симетрия, който член се намира на това място, трябва да имаме същия и ето тук, все едно имаме осева симетрия спрямо този диагонал. По същия начин за с, тук ще имаме същия член с, а 'е' ще бъде ето тук. Така че реално имаме само шест свободни члена, но те запълват цялата матрица, а после отдясно ще умножим това по вектор [х; у; z]. Няма да решавам това в този видео клип, но вероятно се досещаш, че когато умножим тази матрица по този вектор, а после умножим съответния вектор, който получим, по този транспониран вектор, ще получим някаква квадратична форма с три променливи. Идеята е, че това ще стане много сложно, но всъщност можем да изразим нещата много по-просто по този начин. Така с този инструмент в следващото видео ще ти покажа как можем да използваме този начин на записване, за да изразим квадратична апроксимация на функция на много променливи. До скоро!