If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Пример за квадратична апроксимация

Решаваме пример за намиране на квадратичната апроксимация на функция на две променливи. Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Това, до което стигнахме в умопомрачителната сага с квадратичните апроксимации на функции на много променливи, беше да апроксимираме функция на две променливи, f от (х; у), и получихме един наистина чудовищен израз, понеже го записахме в общ вид, така че имам чувството, че той изглежда точно толкова чудовищно, както следва. Сега ще продължим с разглеждането на конкретен пример. Искам само да си припомним какво представляват тези членове, какви са закономерностите в това, което виждаме, и това представлява – можеш да разглеждаш това като константен член, който (означава го на екрана) ще ни даде просто някакво число. Тези два члена можем да разглеждаме като линейни, (означава ги на екрана) защото, ако обърнеш внимание, единствените места, на които се появяват променливите х и у, са тези тук, където имаме просто произведение с константа, и тук, където просто имаме произведение с константа, така че тези членове са просто променлива по константа. После всички членове открая, които са един вид същността на квадратичната апроксимация, където се появяват неща като х на квадрат, после имаме х по у, всичко това са квадратни членове, и въпреки, че изглеждат стряскащо отначало, после ще видиш, че при конкретния пример нещата не стоят така зле, както изглежда. Да кажем, че разглеждаме функцията f от (х; у), и да кажем, че тя е 'е' на степен х върху две, по синус от у. Това е нашата функция на много променливи. Да кажем, че искаме да апроксимираме около някаква точка, която ще избера така, че да можем наистина да изчислим стойностите в нея. Нека точката да е с х координата нула, което е удобно за пресмятане, а после у да е пи върху две, защото това е стойност, за която знаем колко е функцията синус, както и знаем как да изчислим производните ѝ за тази стойност. Искаме да апроксимираме функцията около тази точка. Откъде да започнем? Първо трябва да намерим различните частни производни и вторите частни производни. Знаем, че те ще ни трябват, така че да започнем да започваме работа и да намерим всички тях. Да започнем с частната производна по отношение на х. Тя също е функция от (х; у), като поглеждаме нашата първоначална функция – единственото място, където имаме х, е членът 'е' на степен х/2. Производната му е 1/2, изнасяме 1/2 като коефициент, по 'е' на степен х/2, което умножаваме по нещо, което прилича на константа, тъй като по отношение на х синус от у е константа. Сега да намерим частната производна относно у. Получаваме, че – тази първа част тук в случая е константа, така че просто я запазваме, когато диференцираме относно у, а производната на синус е косинус. Косинус от у. Сега да намерим вторите частни производни, като ще започна с тази, в която диференцираме относно х два пъти подред. Ще използвам различен цвят. Ще използвам жълто. Искам просто да се вижда кои са вторите частни производни. Значи частна производна относно х два пъти, която също така е функция от х и от у, както всички тези. Да видим горе първоначалната частна производна относно х, която ще използваме, за да намерим нейната производна, отново по отношение на х. Единственото място, където виждаме х, е това, това 1/2 отново излиза отпред, така че получаваме 1/4 по е на степен х/2, и преписваме пак синус от у, защото в случая това е все едно умножаваме по константата синус от у. След това ще намерим смесената частна производна, като първо диференцираме относно х, а после диференцираме спрямо у. Можем да го направим и в обратния ред, понеже за почти всички функции е без значение в какъв ред диференцираме относно двете променливи. Аз ще взема производната, която намерихме относно х, и сега ще диференцираме относно у. 1/2 по 'е' на степен х/2 изглежда като константа, а производната на синус от у е равна на косинус от у. Преписваме константата 1/2 по 'е' на степен х/2, а после умножаваме по производната на синус от у, която е косинус от у. Накрая да намерим втората производна, втората частна производна по отношение на у два пъти подред. Значи f по отношение на у, два пъти подред. Сега трябва да намерим частната производна по отношение на у. Тази част е единствената, в която се съдържа у, производната на косинус е минус синус, а 'е' на степен х/2 е константа, така че изнасяме този минус отпред, следва константата 'е' на степен х/2, имаме знак минус, който отива отпред, и синус от у. Това са всички частни производни, които ни трябват. Сега знаем, че трябва да сметнем всички тези частни производни в една конкретна точка, защото ако се върнем горе и разгледаме оригиналната функция, която ни е дадена, искаме да намерим f в тази точка, двете частни производни в тази точка, вторите частни производни. О, всъщност тук съм допуснал грешка. Тук отпред трябва да има 1/2 пред всички тези. Тук трябва да е плюс 1/2 по тази втора частна производна, и 1/2 по тази втора частна производна. Смесената частна производна си е единица, но тези двете са с коефициент 1/2. Това беше грешка от моя страна. При всички случаи, обаче, ние трябва да сметнем всички тези производни, така че ако се върнем долу, можем да заместим координатите на точката (0; пи/2) навсякъде ето тук. Самата функция, когато заместим х = 0, 'е' на степен нула е 1, а синус от пи върху 2 също е едно, така че стойността на функцията е 1. Ако заместим следващото, отново 'е' на степен 0 е 1, синус от у отново е 1, но сега имаме отпред 1/2, така че получаваме 1/2. Ако разгледаме частната производна относно у, косинус от пи върху 2 е нула, така че цялото е равно на нула. Продължаваме напред – да видим втората частна производна по отношение на х. 'е' на нулева степен е 1, синус от пи върху 2 е 1, така че това става 1/4. Смесената частна производна, ако имаме 1/2, моделът е същият, получаваме 1, това всъщност е 0, косинус от пи върху 2 е нула, така че цялото нещо е нула. Последно – минус 1 по 1, тъй като синус от пи върху 2 е 1, така че накрая става минус 1. Мисля, че избрах много подходящ пример, в който всички производни изглеждат доста подобно едни на други, което всъщност се случва често, така че ние се възползвахме от много работа, която свършихме по-рано. Сега имаме тези шест различни константи, но не е възможно да се виждат всичките на екрана едновременно. Имаме тези шест различни константи, сега просто ще заместим всяка една от тях в квадратичната апроксимация. Ако направим квадратична апроксимация на нашата функция, първият член е този константен член, така че поглеждаме и си задаваме въпроса каква е стойността на f от (х;у) в тази точка, а тя е 1. Ще се наложи много да скролвам насам-натам. Тук има много текст. След това имаме нещо по х, минус нула, това е един вид координатата х на избраната точка, а това нещо е първата производна относно х, така че това е 1/2. Връщам се обратно тук. Това е една втора. После по същия начин, имаме нещо, умножено по у, минус у-координата на точката, спрямо която апроксимираме. Поглеждаме частната производна относно у, която е просто нула, така че това е много удобно. Тук получаваме просто нула. После членовете с вторите производни, може би сега ще ги виждаме на един екран. Имаме нещо, умножено по х, минус неговата координата на квадрат, а това нещо е частната производна по отношение на х два пъти подред, която е една четвърта, така че замествам 1/4, следва смесената частна производна, която ще заместим тук, това е нещо, умножено по х, минус неговата координата, а след това у минус пи върху 2, а това нещо е смесената частна производна, която в този случай е нула. О, аз направих отново същата грешка. Това не е 1/4, това е 1/2. По същата причина, по която допуснах тази грешка по-рано, когато всъщност беше 1/2 умножено по тази частна втора производна, и една втора по тази частна втора производна тук, продължавам да го забравям. Това е добър пример, че това лесно се забравя, когато изчисляваш тези, и когато заместваш, трябва да се умножи това по една втора. Това прилича на развиване на ред на Тейлър в обикновения анализ на функции на една променлива, като трябва да се помни какъв трябва да е този член на квадрат, че към него трябва да върви тази една втора. По същата причина, сега получаваме – този път няма да забравя – това е 1/2 по нещо, умножено по у минус пи върху 2, минус тази у-координата на точката, в която апроксимираме, и сега това нещо е минус едно. Така че заместваме тук минус едно. Сега можем малко да опростим, защото това 1 остава тук, 1/2 по (х – 0), това е просто х върху 2, цялото това се съкращава и става нула, значи тук не остава нищо. Ето тук имаме 1/2 по 1/4, което дава 1/8, по х на квадрат, което е х на квадрат делено на 8. Членът със смесената частна производна е равен на нула, това е чудесно. Последният член тук е просто минус 1/2, да видим, ще го запиша като минус 1/2 по, у минус пи върху 2, на квадрат. Това е квадратичната апроксимация, като можеш да видиш, че тя изглежда като квадратна функция. Получихме х на квадрат и у на квадрат, като това изглежда като една по-проста функция. Искам да кажа, че макар да изглежда, че има повече членове от първоначалната функция, която беше 'е' на степен х/2, по синус от у, но ако един компютър трябва да сметне тези неща, ще му бъде много по-лесно да работи с полиноми, което ще пресметне много по-бързо. За теоретични цели ще е хубаво да имаме просто един полином от втора степен, за да оценим функцията. Ще видим това по-късно, когато разглеждаме т.нар. критерий на втората частна производна. Но само да получиш представа какво означава това, да разгледаме графиката на съответните функции. Това е графиката на първоначалната функция, 'е' на степен х/2 по синус от у, а точката, около която апроксимираме, беше точката с координати х = 0... да видим как да се ориентираме. х равно на 0 и после у равно на п върху 2. Ето това е точката, около която апроксимираме. Квадратичната апроксимация, когато заместим всичко във формулата, има графика, която представлява тази бяла повърхнина ето тук. Ако премахна първоначалната графика, това е начинът, по който апроксимираме функцията около тази точка. Това върши много добра работа, нали? Защото, дори когато се отдалечим доста от тази точка, апроксимацията приляга много плътно към оригиналната повърхнина. Ако се отдалечим наистина много, тя определено не демонстрира тази осцилация, която се дължи на синусовия компонент, а експоненциалният компонент нараства по-бързо от квадратичния компонент, но в по-близката околност тази повърхнина наистина дава много добра представа за формата на графиката на първоначалната функция. Отново, по-късно ще видим, че това е един много полезен теоретичен инструмент за оценка на качествените характеристики на формата на графиката, фактът, че това изглежда като една седловина, в крайна сметка ще е много важен в определени случаи. Но преди да стигнем до тези неща, в следващите няколко видеа ще разгледаме някои по-прости, или по-скоро по-обобщени случаи, когато ще представим квадратичната апроксимация със запис чрез вектори. Понеже тук се ограничаваме само до две променливи, можеш да си представиш какъв чудовищен вид би имала тази формула, когато имаме функция само от три променливи, където ще разглеждаме различните възможни втори частни производни на функция на три променливи или на функция на четири променливи. Това може да стане съвсем невъзможно, но има един чудесен общ начин да запишем всичко това. Приключвам дотук. До скоро!