Формула за квадратична апроксимация, част 1

Дадена ни е някаква функция на две променливи f от (х; у), която има скаларна изходна стойност, и целта ни е да я апроксимираме около някаква входна точка. Ние вече разглеждахме такава задача в контекста на локалната линеаризация, ще го изпиша изцяло – локална линеаризация – трудни термини за произнасяне – локалната линеаризация в нейния най-абстрактен и общ вид, което изглежда доста стряскащо, но след като го разнищим парче по парче, което ще направя след малко, се оказва, че не е толкова страшно. Целта на това видео е да разширим тази идея буквално, като добавим още членове към формулата, за да получим квадратична апроксимация. Това означава, че ще си позволим да използваме членове като х на квадрат, х по у, у на квадрат. Квадратично принципно означава просто, че имаме произведение на две променливи. Тук имаме произведение на два хикса, тук имаме х умножено по у, тук имаме у на квадрат, такива неща. Сега да разгледаме тази локална линеаризация. Тя изглежда нещо сложно, но след като я разгледаме член по член, разбираме, че това по същество е една проста функция, а ако заместим в нея някакви числа на мястото на константите, тогава получаваме нещо относително просто. Понеже това е ето тук, където изследваме функцията в тази конкретна входна точка, ще получим някаква константа. Стойността на функцията ще е някакво число. По същия начин, когато направим това с частната производна, това малко f с индекс х, което означава частната производна в тази точка, получаваме просто едно число. Ето тук това също е просто още едно число, но ние сме го записали в абстрактен вид, така че да виждаме какво можем да заместим за всяка произволна функция и за всяка произволна входна точка. Причината да го запишем по този начин, причината да използваме този запис, е заради няколко важни характеристики, които има линеаризацията. Ще изчистя това, за да не пречи. Ще се върнем тук след малко, но искам да подчертая някои свойства, които има линеаризацията, защото това са свойства, които ще искаме да притежава и квадратичната апроксимация. Първо, когато действително изчисляваме тази функция в интересуващата ни точка, в точката (х0; у0), какво получаваме? Този константен член не се влияе от променливата, така че получаваме просто това f, изчислено в тази точка х нулево, у нулево. Да видим другите членове. Когато заместим тук х, това е единственото място, където виждаме тази променлива. Може би това си заслужава да се отбележи, нали? Имаме две променливи, случват се куп неща, но единствените места, където виждаме тези променливи, където ще ги заместим, е ето тук и ето тук. Когато заместим х нулево с нашата начална точка, тогава целият този член става нула, нали? После, по същия начин, когато заместим у нулево ето тук, целият този член също става нула, като умножаваме всичко по нула. Така че накрая ни остава – не трябва да добавяме нищо друго. Това е просто факт, като този факт е важен, защото той ни дава апроксимацията на функцията в точката, около която апроксимираме. Всъщност получаваме стойността на функцията в тази точка. Това е много хубаво. Има още няколко важни факта, защото това не е апроксимация на константа, това ни дава нещо повече. Ако намерим частната производна относно х на тази линеаризация, какво ще получим? Какво получаваме, когато намираме тази частна производна? Ако разгледаме оригиналната функция, този константен член е нищо, така че това съответства на нула. Ето тук, всичко това изглежда като константа, умножена по х минус нещо. Ако диференцираме това по отношение на х, ще получим този константен член, който е частната производна на f, изчислена в нашата конкретна точка. После другият член не съдържа х, това е само у, което относно х приемаме за константа. Така че това цялото нещо ще бъде нула. Което означава, че частната производна по отношение на х е равна на стойността на частната производна на първоначалната функция по отношение на х в тази точка. Обърни внимание, че това не означава, че нашата линеаризация има същата частна производна като f навсякъде, а означава само, че частната производна е константа и тази константа е равна на частната производна на f в тази конкретна входна точка. Можеш да направиш същото нещо и ще видиш, че частната производна на линеаризацията относно у е константа, като тази константа е равна на стойността на частната производна на f, изчислена в интересуващата ни точка. Това са трите факта. Знаем стойността на линеаризацията в точката и стойностите на двете частни производни. Тези факти един вид дефинират самата линеаризация. При квадратичната апроксимация взимаме цялата формула, като аз буквално ще я копирам, а после ще прибавя към нея, така че информацията за вторите частни производни на апроксимацията съответства на тази на оригиналната функция. Това е твърде многословно, но след малко ще ти стане ясно, когато го разнищим. Само ще почистя поне мъничко ето тук. Това, което ще направим, е да разширим тази формула, като ще променя името, защото това вече не е линейна функция. Искаме това да бъде квадратична функция, така че ще го кръстя q от (х; у). Сега ще добавим някои членове, като искам да добавя – досещаш се – константа по х на квадрат, което ни е позволено, плюс някаква константа по х, по у, а после друга константа по у на квадрат. Проблемът тук е, че, ако просто добавя тези членове, тогава нещата може да се объркат, когато заместим х0 и у0. Преди беше много важно, когато заместим тези стойности, да получим стойността на първоначалната фунткция, а частните производни на апроксимацията също да са равни на тези на функцията. Сега това може да обърка нещата, защото след като започнем за заместваме х0 и у0 ето тук, може да не получим желаната стойност. Така че ще направим същото нещо, както при линеаризацията, когато добавихме – всеки път, когато имаме х, ние добавяме към него х минус х нулево, за да сме сигурни, че няма да се объркат сметките, когато добавим х нулево. Вместо това, което съм написал тук, това, което ще добавя към нашата квадратична апроксимация, е един вид константа, и ще попълня тази константа само след малко, по х минус х нулево, на квадрат, а после ще добавя друга константа, умножена по х минус х нулево, по у минус у нулево, а после още една константа, която ще означа със 'с' у минус у нулево, на квадрат. Тук се събраха доста неща. Това е една дяволска функция, а тези три различни константи, които ще попълним, за да разберем каква е най-близката апроксимация на оригиналната функция f. Важната част от това да добавим х минус х0 и у минус у0 е, че когато заместим тук, досещаш се, х0 минус нашата променлива х, и когато заместим у0 минус променливата у, всички тези тук стават нули, и се унищожават. Освен това, когато намерим частните производни, всичко това пак става нула. Ще видим само след малко, може би да го покажа още сега. Всъщност ще приключа видеото дотук и ще разгледаме как попълваме тези константи в следващо видео. До скоро!