Матрица на Хесе

Привет! Преди да преминем към векторния вид на квадратичната апроксимация на функции на много променливи, искам да те запозная с така наречената матрица на Хесе (Хесиан). Тя представлява просто един начин да "опаковаме" цялата информация от вторите производни на една функция. Нека е дадена някаква функция на много променливи като примерът, който разгледахме в предходното видео – е на степен х/2, умножено по синус от у. Това е някаква функция на много променливи. Матрицата на Хесе често се записва със символа Н, но удебелен – това е матрица, която съдържа всички втори производни на функцията f. Първият елемент е частната производна на f относно х два пъти подред, а всичко останало в първия вектор-стълб е е един вид това, което правиш първо относно х, защото следващата част е втората производна, когато първо диференцираш относно х, а после диференцираш относно у. Това е първият стълб на матрицата. След това тук е частната производна, която намираш като първо диференцираш относно у, а после диференцираш относно х, и в последния стълб е производната, когато диференцираш относно у два пъти подред. Частната производна относно у два пъти подред. Сега да изчислим това и да помислим как ще изглежда тази матрица, когато имаме някаква конкретна функция. За да получим всички втори частни производни, първо трябва да намерим първите частни производни. Частната производна на f по отношение на х – единственото място, където имаме х, е това 'е' на степен х/2. Изнасяме отпред 1/2, по 'е' на степен х/2, по синус от у, тъй като този синус от у е константа относно х. Синус от у. След това частната производна по отношение на у. Частната производна на f по отношение на у. Сега 'е' на степен х/2 е константа спрямо у, и го умножаваме по нещо, което съдържа у, значи имаме 'е' на степен х/2. Производната на синус от у – понеже диференцираме спрямо у, тя е косинус от у. Тези членове няма да участват в матрицата на Хесе, но ги записвам, защото когато започнем да попълваме матрицата, този елемент горе отляво е втората частна производна, когато диференцираме относно х втори път. Тук горе е производната спрямо х, ако я диференцираме отново по отношение на х, ще изнесем отпред още веднъж 1/2, така че става 1/4 по 'е' на степен х/2, а този синус от у отново третираме като константа. След това смесената частна производна, когато диференцираме спрямо х и после спрямо у, тук имаме първата производна спрямо х. Когато я диференцираме спрямо у, това 1/2 по 'е' на степен х/2 изглежда като константа, но после производната на синус от у е косинус от у. После тук горе ще бъде същото нещо, но сега да видим, когато го направим в другата посока, когато диференцираме първо спрямо у, а после спрямо х. Ето тук е първата производна по отношение на у. Ако го диференцираме относно х, тогава 1/2 идва отпред, така че получаваме 1/2 по 'е' на степен х/2, умножено по косинус от у, защото сега косинус от у е константа, тъй като диференцираме по отношение на х втория път. Това остава косинус от у, и едва ли те изненадва, че тези две смесени частни производни са еднакви. Това е така при повечето функции. Но на практика не е вярно за всички функции. Ще срещнеш някои странни функции, при които липсва симетрия, и тогава има различни членове по диагонала, но в повечето случаи тези смесени производни са еднакви. За последния елемент тук диференцираме два пъти относно у, така че сега трябва да намерим производната на целия този израз спрямо у, при което е 'е' на степен х/2, изглежда като константа, а производната на косинус е минус синус от у. Цялата тази матрица, където всеки неин елемент представлява функция на много променливи, се нарича "хесиан". Това е хесианът на f, понякога се записва с удебелено Н с индекс f, което показва на коя функция е хесиан. Можеш да го разглеждаш като матрична функция, което е малко странно, но след като заместим две различни стойности, като заместим х и у, ще получим матрица, така че това е матрична функция. Хубавото на този вид записване е това, че можем да го разширим, така че да не се отнася само за функции на две променливи, и, например, ако имаме функция... ще изчистя тук – ако имаме функция, която съдържа три променливи, или четири променливи, или произволен брой променливи. Да кажем, че имаме функция от х, у и z, тогава можем да използваме този модел и тогава надолу първият член тук, и следващият член, който получим, ще бъде втората частна производна на f, където първо диференцираме по отношение на х, а после диференцираме по отношение на z. След това тук ще бъде втората частна производна на f, когато първо диференцираме по отношение на у, а после по отношение на z. Ще разчистя даже още повече място, защото ще имаме още един стълб, в който ще имаме втори частни производни, когато първо диференцираме относно z, а после относно х. След това тук ще бъде втората частна производна, когато първо диференцираме относно z, а после относно у. И последният елемент тук ще бъде втората частна производна, когато първо диференцираме... тук диференцираме спрямо z два пъти подред. Цялото това нещо, тази матрица три по три, ще бъде хесианът на тази функция на три променливи. Виждаш, че можем да разширим този модел, за функция на четири променливи ще имаме матрица четири по четири, която ще съдържа всички възможни втори частни производни. Ако функцията съдържа сто променливи, матрицата ще е 100 по 100. Хубавото да разполагаме с този хесиан е, че можем да го цитираме само чрез неговия символ, и в следващото видео ще видим как това помага да изразим един пример на квадратична апроксимация на произволна функция на много променливи, а не само на функция на две променливи, като записът не става прекалено претрупан, защото не записваме всеки един от тези елементи. Можем да посочим само матрицата като цяло и да изпълним съответните матрични операции. Ще видиш това в следващото видео.