Основно съдържание

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 3

Урок 1: Допирателни равнини и локална линеаризация

Допирателни равнини

Точно както производната на обикновена функция е равна на наклона на допирателната към графиката, градиентът на дадена многомерна функция съдържа информация за допирателната равнина към графиката ѝ.

Преговор

Частни производни

Основни идеи

Допирателната равнина за функция на две променливи $f (x; y)$ ‍ е, както подсказва името, равнина, допираща се до графиката на функцията.

Уравнението на допирателната равнина към графиката на $f (x; y)$ ‍ в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ изглежда така:
$T (x; y) = f (x_{0}; y_{0}) + f_{x} (x_{0}; y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}; y_{0}) (y - y_{0})$ ‍

Каква е задачата ни

Разглеждаме скаларни функции на две променливи, например:

f (x; y) = - x^{2} - y^{2} + 3

Най-разпространената визуализация на подобна функция е тримерна графика.

Графиката се състои от всички точки от вида:

(x; y; f (x; y)) = (x; y; - x^{2} - y^{2} + 3)

където

x

y

са реални числа.

За съжаление не можем да дефинираме допирателната равнина към графиката просто като "равнината, допираща се до графиката". Затова в този урок ще разработим и формалната дефиниция. Ето как изглеждат допирателните равини в различни точки от дадена повърхнина.

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Ключов въпрос: Какво е уравнението на допирателната равнина към графиката в точката

(x_{0}; y_{0}; f (x_{0}; y_{0}))

Равнината като графика на функция

Първо нека изясним графиките на кои функции

g (x; y)

са равнини?

Наклонът на равнината във всяка посока е един и същ за всички точки от равнината, което означава, че производните

g_{x}

g_{y}

са константи. Функциите с две константни производни изглеждат така:

g (x; y) = a x + b y + c

където

a

b

c

са константи. Функциите от този вид наричаме линейни функции. По-точното наименование за тези функции е афинни, тъй като линейните функции минават през началото на координатната система, но и двете се срещат в математическата литература.

Въпрос: Какво е условието графиката на дадена линейна функция да минава през точката

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

Можем директно да запишем тази функция като

g (x; y) = a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + z_{0}

Упражнение: За дадената по-горе функция

g

, намери

g (x_{0}; y_{0})

Този запис на

g (x; y)

подчертава факта, че

g (x_{0}; y_{0}) = z_{0}

. Графиката на функцията

g

минава през точката

(x_{0}; y_{0}, z_{0})

(x_{0}; y_{0}; g (x_{0}; y_{0})) = (x_{0}; y_{0}; z_{0})

Другите константи

a

b

са свободни параметри. Различни стойности на

a

b

дават различните равнини, минаващи през точката

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

. Следното видео показва равнините, съответстващи на менящи се стойности на

a

b

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Уравнение на допирателна равнина

Време е да се върнем обратно към първоначалната си задача. Търсим функция

T (x; y)

, представляваща равнината, допираща се до графиката на

f (x; y)

в точката

(x_{0}; y_{0}; f (x_{0}; y_{0}))

. В такъв случай трябва да заместим

z_{0}

f (x_{0}; y_{0})

в линейното уравнение на равнина, минаваща през точката

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

T (x; y) = f (x_{0}; y_{0}) + a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})

Различните стойности на

a

b

дават различните равнини, пресичащи графиката на

f

в тази точка, но само една от тях е допирателната равнина.

От всички равнини, минаващи през точката

(x_{0}; y_{0}; f (x_{0}; y_{0}))

, допирателната равнина към графиката на

f

ще има същите първи производни като $f$ ‍. За наше удобство производните на линейната функция са

a

b

Опитай сам/а! Намери първите производни на $T (x; y)$ ‍.

Следователно

a = f_{x} (x_{0}; y_{0})

b = f_{y} (x_{0}; y_{0})

дават исканата от нас линейна функция:

\begin{array}{r} T (x; y) = f (x_{0}; y_{0}) + f_{x} (x_{0}; y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}; y_{0}) (y - y_{0}) \end{array}

Пример: Намиране на допирателна равнина

Видео плейър на видеоклиповете в Кан Академия

Виж видео транскрипцията

Задача:

Дадена е функцията

f (x; y) = \sin (x) \cos (y)

Намери уравнението на допирателната равнина към графиката на

f

в точката

(\frac{π}{6}; \frac{π}{4})

Допирателната равнина има уравнение

\begin{array}{r} T (x; y) = f_{x} (x_{0}; y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}; y_{0}) (y - y_{0}) + f (x_{0}; y_{0}) \end{array}

Стъпка 1: Намираме първите производни на

f

f_{x} (x; y) =

f_{y} (x; y) =

Стъпка 2: Намираме стойността на функцията

f

и първите ѝ производни в точката

(\frac{π}{6}; \frac{π}{4})

f (π / 6; π / 4) =

f_{x} (π / 6; π / 4) =

f_{y} (π / 6; π / 4) =

Заместваме в уравнението за допирателна равнина:

T (x; y) =

Обобщение

Допирателната равнина за функция на две променливи $f (x; y)$ ‍ е, както подсказва името, равнина, допираща се до графиката на функцията.

Уравнението на допирателната равнина към графиката на $f (x; y)$ ‍ в точката $(x_{0}; y_{0})$ ‍ изглежда така:

T (x; y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}; y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}; y_{0}) (y - y_{0})

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.