Намиране на допирателна равнина

Привет! В последното видео разгледахме как можем да дефинираме функция, чиято графика е равнина, а освен това е равнина, която минава през дадена точка и чиято ориентация можем да определим по някакъв начин. Стигнахме дотам, че определихме ориентацията чрез информацията от определени частни производни. Първо ще повторя извода, до който достигнахме, но ще го представя по един по-абстрактен начин, тъй като миналия път го направихме много конкретно. Принципно търсим някаква функция, която определя равнина, която минава през дадена точка. Първо да видим коя е тази точка. Нека това да е точката (х0; у0; z0). Това са константни стойности, а това е моят начин да опиша абстрактно една точка в пространството, като използвам х с индекс нула, за да представя константна стойност на х, у с индекс нула, за да представя константната стойност на у и т.н. Така че това ще бъде някаква друга константа а, умножена по (х – х0). Това бяло х ето тук е променливата, а това х с индекс нула е просто една константа. Сега ще поставя скоби. После добавяме b, умножено по... b е просто друга константа, също както а е някаква константа, добавяме b, умножено по (у – у0), и после към това добавяме z0. Ако просто ти покажа това в този му вид, това изглежда неразбираемо, нали? Тук имаме пет различни константи. Но всъщност това ни казва просто, че търсим място, където частната производна относно х е също константа, като искаме да можем да определим коя е тази константа. По същия начин, частната производна по отношение на у е друга константа. Само искаме да гарантираме, че това минава през точката (х0; у0; z0). Ако си представиш, че заместим променливата х да е равна на х0, на константата, тогава тази част става нула. По същия начин, ако заместим константата у с индекс 0, тогава тази част става нула. Така че това е начин да определим, че когато изчисляваме функцията в точката (х0; у0), получаваме z0, това ни гарантира, че графиката ще мине през тази точка. След като казахме това, сега да почнем да разсъждаваме за това как можем да намерим допирателната равнина към една графика. Първо да определим коя е точката, как да определим една такава точка. Вместо да задаваме три произволни числа в пространството, понеже трябва да сме сигурни, че точката лежи някъде на графиката, можем да определим само две. Можем да определим колко е координатата х, в този случай да приемем, че х координатата е 1, а после у координатата изглежда, че е минус 2. За да бъде по-лесно пресмятането, ще кажем, че у е минус 2. После z координатата можем да я определим, защото това е графика. z координатата трябва да е равна на изходната стойност на функцията в точката (1; –2). Значи тя ще е равна на стойността на функцията в точката (1; –2). Тук стойността на f ще бъде равна на функцията, на която съответства тази графика. Може би трябва да запиша реалната функция, чиято графика използвам. В този случай f като функция от х и от у е равна на 3 минус 1/3 по х на квадрат минус у на квадрат. Това е функцията, чиято графика използваме, и искаме да я изчислим в тази точка, което ще ни даде нашата точка в триизмерното пространство, в която нашата линейна функция, през която трябва да мине нашата допирателна равнина. Така че можем да започнем да записваме линейната функция. Можем да кажем, че линейната функция L е функция от (х; у). Трябва да сме сигурни, че тя минава през това х = 1 и у = –2, така че това ще бъде някаква константа, която ще намерим след малко, умножена по х минус това 1, плюс... и после b също е константа, която ще определим след малко, по у минус –2, значи минус –2, а после това, което прибавяме, е f от (1; –2). Хайде сега просто да сметнем това. Да заместим 1 и минус 2. Ако дойда ето тук горе и заместя 3 минус една трета... ако х е равно на 1, една трета по 1 на квадрат, това е една трета по 1 на квадрат, а после у е минус 2. Значи това е минус –2 на квадрат. Значи става 3 минус една трета, минус 4, като цялото е равно на 3 минус 4 е минус 1, 1 минус 1/3 дава минус 4/3. Това прибавяме към това цялото. Добавяме минус четири трети, или може би трябва да направя тук да се вижда добре разделението. Това е стойността на нашата функция, но ние не знаем колко са а и b. Тях също трябва да ги заместим. Цялата идея на допирателната равнина е, че частната производна по отношение на х трябва да съответства на тази на оригиналната функция. Ако дойдем тук при графиката, ако започнем да разсъждаваме за информацията в частната производна, ако търсим частната производна относно х, тогава можем да си представим, че се движим само в посока х. Така пресичаме графиката по протежение на някаква крива, а това, което ни казва частната производна относно х в тази точка, е наклонът на допирателната права в тази посока и в тази точка. Ето това ни казва частната производна относно х. Това, което искаме, когато разглеждаме допирателната равнина, е тази допирателна равнина да има същия наклон. Ако подравня нещата тук, ще искаме тук да имаме същия наклон. Така че можем да определим тук и да кажем, че искаме а да е равно на частната производна на функцията относно х, изчислена в тази точка (1; –2). Изчислено в тази специална точка (1; –2). По същия начин b... и по съвсем същите причини ще го начертая тук, като ще изтрия тази права. Вместо да се пресича с тази равнина, да видим какво е движението в посока у. В този случай изглежда, че имаме много стръмен наклон, защото в този случай допирателната права в тази посока е с много стръмен наклон и сега, когато покажем допирателната равнина, тя трябва да пресича тази равнина с уравнение константно х при този същия наклон. Тук стана малко разхвърляно, но виждаш, че се образува права при пресичането на тези две равнини, която трябва да е търсената допирателна, и това, на което съответства това във формулите, е това b, което съответства на частната производна на L, L е функцията на допирателната равнина, която трябва да е същата, както ако намерим частната производна на f по отношение на у в тази точка, в точката (1; –2). Това можем да го изчислим и можем да определим това. Да започнем да заместваме. Първо ще копирам функцията, защото ще ми трябва. Сега се премествам тук долу. Ще я поставя тук долу, защото това ще ни трябва. Да изчислим частната производна на f по отношение на х. Поглеждам тук долу, единственото място, където има х, е в този член минус една трета по х на квадрат, така че частната производна на f по отношение на х ще бъде просто производната на този израз, която е минус – сваляме долу това две – минус две трети по х. Когато заместим х равно на 1, за да видим какво се получава, когато го изчислим в тази точка, това ще стане равно на минус две трети. Това означава, че а ще е равно на минус две трети. Сега по същата логика да изчислим частната производна относно у. Поглеждам долу – единственото място, където виждаме у в целия израз, е това минус у на квадрат. Частната производна на f по отношение на у е равна на минус 2 по у. Когато заместим у равно на минус 2, получаваме минус 2, умножено по съвпадение по минус две, не е задължително това да става всеки път, тези двете да са еднакви, и това дава равно на четири. Значи частната производна на f относно у, изчислена в тази точка (1; –2) е равна на 4. Ако заместим тази информация във формулата, тогава ще заместим 'а' с минус 2/3. Ще стане минус 2/3. Ще заместим b с 4. Така получаваме пълната формула на допирателната равнина. Това може би ти се струва сложно, когато го виждаш за пръв път, защото избрахме входната точка да бъде (1; –2). След това определихме каква е стойността на функцията в тази точка. После определихме двете частни производни относно х и относно у. Но по същество тук няма много за помнене относно това как може да се сметне това. Когато разглеждаме графиката, нещата изглеждат много по-логични, защото всеки от тези членове има действително значение. Ако разгледаме точката (1; –2), това е просто входната стойност, координатите х и у на входната стойност, и разбира се, трябва да сметнем това, защото то ни показва z-координатата, която ще ни отведе до графиката, която съответства на тази точка, а после получаваме допирателната равнина, като трябва само да определим две частни производни, и това ни казва как трябва да е ориентирана тази графика, а след като започнеш да разглеждаш нещата по този начин, геометрично, въпреки че тук има доста сметки, има пет различни числа, които заместваш, всяко от тях ще ти се струва необходимо, защото иначе няма да можеш да определиш допирателната равнина. Тук има много информация, която е необходимо да отиде на правилното място. До скоро.