If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Как дефинираме равнина в пространството

Как можем да представим дадена равнина в пространството като графика на определена функция? Създадено от Грант Сандерсън.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Привет! Разглеждаме как можем да намерим допирателна равнина към графиката на някаква функция. Първата стъпка е просто да видим как можем да определим равнина в три измерения, преди всичко друго. Тук съм нанесъл една червена точка, която представлява точка в три измерения, а координатите на тази точка – нека да са нещо лесно – координатите са (1; 2; 3). Координатата х е едно, координатата у е две, координатата z е три. След това имаме една равнина, която минава през тази точка. Целта на това видео е да намерим функция, която ще означим с L, която има двумерен аргумент (х; у), като тази равнина е графика на тази функция. Първото нещо, което може да ти направи впечатление, е, че има много различни равнини, които може да минават през тази точка, нали? Точно тази равнина е под някакъв ъгъл, можеш да си представиш, че тя отива нагоре в някаква посока, но можем да ѝ дадем много различни посоки, можем да имаме най-различни равнини, всички от които да минават през тази точка. Значи трябва да намерим някакъв начин, за да различаваме конкретната равнина, която разглеждаме, която е ето тази равнина тук, от другите равнини, които могат да минат през нашата точка. И след малко ще видиш, че определяме тази равнина чрез частни производни. Докато търсим каква формула съответства на тази графика, можем просто да започнем да разглеждаме свойствата, които има тя. Първото свойство е, че графиката всъщност минава през тази точка, през точката (1; 2; 3). По отношение на функцията това означава, че ако изчислим функцията за точката (1; 2), входната стойност е наредената двойка, в която х е 1, а у е 2, тогава стойността на функцията ще бъде 3. Функцията трябва да е равна на 3, защото това ни показва, че когато х е равно на 1, а у е равно на 2, тогава като се запитаме каква е височината на графиката над тази точка, това е координатата z на търсената точка. Това е факт номер едно, който ще имаме предвид. Освен това, хайде да поразсъждаваме какво определя равнините, какво определя тези плоски графики, които се различават от други вълнисти графики, които сме свикнали да използваме в анализа на функции на много променливи. Основната идея е, че ако те се пресекат с друга равнина, тук ще пресечем равнината с равнина с уравнение у равно на 2, това е един вид константна равнина, което ще запиша. Равнината, която виждаш, е с уравнение у равно на 2. Можеш да я разглеждаш, че тя съответства на това какво е преместването по посока х. Когато се движим в посока х, тя има един вид наклон. При пресичането на двете равнини се образува права, което е едно от ключовите свойства на една равнина, това, че ако се пресече с друга равнина, получаваме права линия, което означава, че наклонът е постоянен, когато се преместваме в посока х. Но този наклон е постоянен също така, ако се движим и в посока у. Ако избера друга равнина, ако вместо тази равнина бях избрал равнина с уравнение у равно на 1, която изглежда по този начин, тогава ще получим права със същия наклон. Няма значение у на каква константа ще е равно, винаги ще пресичаме тази равнина в права със същия наклон. Сега, ако гледаш отново видео клиповете за частни производни, по-точно как тълкуваме частната производна на функция по отношение на нейната графика, тогава това означава, че когато намерим частната производна на L по отношение на х, понеже това, че стойността на у е константа означава, че се движим в посока х, тогава това също трябва да е някаква константа. Някаква константа а. Ще подчертая това, че тук имаме константна стойност. Същото се случва и в другата посока. Да кажем, че вместо да се пресича с равнина с уравнение у равно на някаква константа, да кажем, че ако равнината се пресича с друга равнина, чието уравнение е х равно на константа, например х = 1. В този случай това, което получаваме, понеже имаме пресичане на равнина с равнина, получаваме друга права линия, така че тези две равнини се пресичат в една права, което означава, че когато се движим по посока на у, този наклон не се променя. Но когато се движим по посока х, ако си представим, че направим разрези с различни равнини, всяка от които съответства на някаква постоянна стойност на х, тогава ще получим права със същия наклон. Това ни показва още един много важен факт. Частната производна на L по отношение на у, ако сега се движим по посока у, е равна на някаква друга константа, която ще означа като b. Сега, имай предвид, че това са много важни твърдения, защото частната производна на L по отношение на х е функция от х и от у, и вероятно си заслужава да подчертаем, че тази частна производна на х по отношене на у е нещо, което изчисляваме в точка от двумерното пространство. Казваме, че е равно на някаква константна стойност. Това е много важно, нали? Защото това ни показва, това ни дава контрол над функцията във всички възможни входни точки при движение в определена посока. Същото се случва и ето тук. Това ни казва, че функцията е постоянно равна на някаква стойност b, като ние не знаем каква е стойността на b. Но чисто геометрично можем да определим колко са тези стойности. Ако върна равнината, която съответства на постоянна стойност на у, и се запитам какъв е наклонът, когато се движим в посока х, ние имаме постоянна стойност на у, на колко е равен наклонът, когато тази равнина пресича нашата графика? Мога да определя приблизително, че наклонът е равен на 2. Както виждаш, когато се преместим с едно, отиваме нагоре с две. Това ни показва, че поне за тази конкретна графика, която разглеждаме, това е приблизително равно на две. По същия начин, ако разгледаме една постоянна стойност на х, и кажем, че тя съответства на движене в посока у, тогава колко е наклонът тук? Струва ми се, че наклонът тук е едно. Когато се преместим с една единица насам, се изкачваме с една единица нагоре. Значи мога да кажа, че тук долу постоянната стойност на частната производна по отношение на у е приблизително равна на 1. Значи знаем три различни факта: стойността на функцията в точката (1; 2), стойността на частната производна относно х навсякъде, и частната производна относно у във всички точки. Тази информация всъщност ни е достатъчна, за да разберем на какво е равна функцията по принцип. По-точно, тази идея, че частната производна относно х е константа, ни казва, че функцията L от (х; у) ще бъде равна на 2 по х плюс нещо, което няма да съдържа х, нещо, което по отношение на х представлява константа, защото единственото нещо, чиято производна спрямо х е константата 2, е 2 по х плюс някаква друга константа по отношение на х. По същия начин ето тук, щом частната производна относно у е константата 1, това означава, че функцията представлява нещо, което изглежда като константа по отношение на у. След като въведем и у, това става 1 по у плюс някаква константа по отношение на у. Знаем, че тази част вече е константа, що се касае до у, значи всичко, което сме добавили отпред е константа, когато се отнася до х и до у. Значи тази част тук буквално е константа. Ще я означа с 'с', което представлява константа. Както виждаш, това е едно много ограничаващо свойство на нашата функция, защото единственото място, където се появява х, е този линеен член, а единственото място, където има у, е този линеен член. Когато използвам термина линеен, можеш да го разбираш като член, съдържащ х, който не е повдигнат на степен или без нещо друго особено да се случва с променливата. Това е просто х по някаква константа, което имам предвид, като казвам линеен член. Има други по-прецизни формулировки в други контексти, но в този конкретен случай можеш да го разбираш като променлива по константа. Сега въпросът е каква трябва да е стойността на това с. Вероятно се досещаш, че можем, въз основа на това свойство, въз основа на стойността на функцията в точката (1; 2), можем да определим еднозначно стойността на с. Заместваме х = 1 и у = 2, като знаем, че стойността на функцията трябва да е равна на 3 и намираме колко е с. Можем да го направим, но всъщност аз ще направя нещо по-удобно. Ще се преместя там, където се появяват тези константи, и ще кажа, че цялата функция е равна на 2 по някаква константа при х, ще кажа х минус 1, а после ще направя същото нещо и с у. Ще кажа плюс 1, това тук е частната производна относно у. у минус, и после ще поставя 2. Причината да направя това – обърни внимание, че това не променя информацията в частната производна, просто намирам частната производна по отношене на х, това пак ще бъде две, а когато намирам производната по отношение на у, това пак ще бъде едно. Причината да поставям тези стойности тук е понеже ще изчислим в точката (1; 2), така че искам да бъде колкото се може по-лесно да изчислим в точката (1; 2). Сега оттук само ще добавя друга константа, като вместо с – понеже ще е малко по-различна от с – ще я означа с k. Идеята е, че просто размествам тези константи. Ако си представиш, че разкриваш скобите при това умножение, ако имаш две по минус едно, и едно по минус две, просто променяш стойността на константата, която се намира тук открая. Сега, важната част – причината, да го напиша по този начин, който е съвсем малко различен, е понеже, когато изчислявам това за L в точката (1; 2), тогава цялата тази първа част се съкращава, понеже заместваме х = 1, което означава, че цялото това става нула. Същото важи и за втората част, защото когато заместя у = 2, тази част става нула. Така че тази друга константа k, която поставям открая, ще определи напълно какво се случва, когато пресмятам това в точката (1; 2). Като мен ме интересува случаят, когато изчислявам функцията в точката (1; 2) и получавам 3. Интересува ме случаят, когато изчислявам в точката (1; 2) и получавам 3. Това означава, че тази константа k трябва да е равна на 3. Обърни внимание на начина, по който съм записал функцията тук – това е нещо много мощно. Имаме голям контрол. Този член 2 ни показва наклона по отношение на х. Когато се движим само в посока х, което един вид показвам тук, само в посока х, тогава това ни показва наклона по отношение на х, а после този член 1 ето тук, ни казва какъв е наклонът по отношение на у. Така че, когато се движим само в посока у, това ни показва наклона. Можем просто да завъртим тези "копчета", да променим стойностите 2 и 1, тогава това ще ни позволи по същество да променим какви са наклоните на равнината. Казвам наклоните в множествено число, защото това са наклоните в посока х и в посока у. Така че това ни дава контрол над различните равнини, които преминават през дадената точка. Ако разглеждаме този пример, тук движението в посока у е много "плитко", така че това слабо "завърта" бутона надолу, и вместо 1, тук може да е нула едно. Ако разгледаме движението в посока х, тук то изглежда доста отрицателно. Това означава, че тук ще бъде някакво отрицателно число. Можеш един вид да завърташ тези "копчета" и това да променя различните равнини, които преминават през тази същата точка. После, като заместим това (1; 2; 3), това ни показва коя е точката, която определяме. Това означава, че когато заместим х = 1, и заместим у = 2, тогава всичко това ще е равно на 3. Така че този вид тук е много добър инструмент, който искам да запомниш за следващото видео. Искам да запомниш идеята, че записваме нещата по този начин, чрез което определяме точките, през които преминаваме, с техните х-координати, у-координати и z-координати, поставени на техните места, и тогава определяме наклоните, като използваме тези коефиценти отред. До скоро!