Какво е допирателна равнина

Привет! В това видео и в няколко от следващите ще разгледаме допирателни равнини към графики, като искам да уточня, че това са допирателни равнини към графики, а не нещо друго, защото в различни случаи в анализа на функции на много променливи има и други допирателни равнини, например към параметрични повърхнини, или други подобни, но сега ни интересуват само графики. В света на функциите на една променлива най-често срещаната задача е ако имаме някаква крива и искаме да намерим допирателната в дадена точка, къде лежи тази допирателна. Обикновено намираме уравнението на допирателната и това ни дава разнообразна информация как да апроксимираме функцията около дадената точка, като се оказва, че това е една много лесна апроксимация. При функциите на много променливи ситуацията е много сходна що се отнася до геометричната логика, която е почти същата. Имаме графика на някаква функция, например като тази тук, и вместо да търсим допирателна права, защото правата е нещо твърде едномерно, а тук имаме двумерна повърхнина, вместо това търсим някаква допирателна равнина. Това е равнина, която едва, едва докосва графиката по същия начин, по който допирателната права едва-едва докосва графиката на функцията в едно измерение, като имаме различни допирателни в различни точки, а не една единствена допирателна в конкретната точка. Можем да движим допирателната, която продължава едва-едва да докосва графиката на функцията в различните ѝ точки. Обикновено подобна задача ще се ограничава до това, ако търсиш такава допирателна равнина, тогава първо разглеждаш дадената входна стойност, която ни интересува. По същия начин както при функциите на една променлива си задаваме въпроса каква е входната стойност. Можем да я означим като х с индекс 0, след което намираме графиката на правата, която съответства на едно леко докосване до графиката на функцията в тази точка. При функциите на много променливи, които сега ни интересуват, избираме някаква входна точка, например тази червена точка, като можем да изберем различни точки, не е задължително да е тази точка, която аз избрах, можем да изберем точка на друго място. След като решим коя точка ни интересува, виждаме къде се намира тя на графиката, след което казваме, че тази входна точка съответства на тази и тази височина, което в този случай изглежда, че графиката е около нула в тази точка, следователно стойността на функцията ще е нула. Търсим равнина, която е допирателна в тази точка. Чертаем равнина, която е допирателна в тази точка. Ако си зададем въпроса на коя вътрешна точка съответства, това не е х с индекс 0, аргумент,съдържащ една променлива, както при функциите на една променлива, а вместо това тази червена точка ще съответства на някаква входна стойност, например (х0; у0). Крайната ни цел при анализа на функции на много променливи е да намерим някаква нова функция, ще я запиша ето тук – някаква нова функция, която ще означа с L от линейна, чийто аргумент е (х; у), и искаме графиката на тази функция да е тази равнина. Можем да определим, че това зависи от оригиналната ни функция, която е дадена, и може би също да посочим, че тя зависи по някакъв начин от тази входна точка, но основното е, че търсим някаква функция, чиято графика е равнина, която е допирателна в дадената точка. В следващите няколко урока ще разгледаме как всъщност намираме тази нова функция. Това може да изглежда малко сложно на пръв поглед – как можем да управляваме една равнина в три измерения? Всъщност това много прилича на случая в едно измерение, като просто го правим стъпка по стъпка. До скоро!