Логическо обяснение на теоремата на Гаус-Остроградски за две измерения

Да разгледаме още веднъж криволинейния интеграл F по n, dS, защото искам да съм сигурен, че разбираш правилно нещата, а в последното видео аз ги обясних малко по-фриволно. В това видео искам да го направя по-прецизно, като ще използвам мерни единици, така че наистина да разберем какво се случва. Начертал съм кривата с. Движим се по нея в положителна посока или обратно на часовниковата стрелка. След това нанасям няколко произволни точки за F, произволни точки в равнината ху, с които е свързан двумерен вектор. Двумерният вектор в тази точка може би изглежда по този начин, в тази точка може би изглежда ето така. n е двумерният нормален вектор в произволна точка от кривата. Този вектор сочи навън от кривата във всяка произволна точка от нея. В последното видео разгледахме F като някаква функция на скоростта, която във всяка произволна точка ни дава скоростта на частиците в нея, а това не е много подходящо. За да разберем какво се случва тук, за да осмислим това като един вид поток през границата, скоростта, с която масата преминава през тази граница тук, всъщност трябва да въведем плътността като аспект на F. Така че тук преработих F като произведение на скаларна и векторна функция, като скаларната част е Ро от (х;у). Ро е гръцка буква, която често се използва за плътността, в този случай за масовата плътност. Значи във всяка точка (х;у) това ни показва каква е масовата плътност. Масовата плътност е масата – разглеждаме две измерения – така че това е маса за площ. Можем да я изразим с конкретна мерна единица, например... Повтарям, че това не е единственото практическо приложение, това може да се използва и за други цели, но това е начинът, по който аз си го представям. Можем да приемем, че това е килограм на квадратен метър. Това ето тук е векторът на скоростта, (подчертава го със зелено) който ни казва каква е скоростта на частицата в тази точка. Това един вид ни казва един вид колко частици има в една точка, (компонентът i) каква е плътността, а това е колко бързо се движат те в тази посока. (компонентът j) Цялото това е вектор – вектор на скоростта, но компонентите му ето тук – М от (х; у) е просто число, което умножаваме по вектор, така че М от (х; у) ето тук е скаларна функция, а след като я умножим по i, тя става вектор, който ни дава скоростта. N от (х; у) също ни дава скоростта – показва скоростта в посока j. Значи скоростта в посока j е вектор, а скоростта в посока i също е вектор. Но тези скорости – мерните единици за скорост – ще го напиша ето тук. Сега разглеждаме конкретно М от (х;у) и N от (х; у). Мерните единици са разстояние за единица време, като в този пример единиците избирам да са метри в секунда. Да помислим за мерните единици на тази функция – умножаваме по ро, което за всяка дадена точка (х; у) е просто число. Ако направим това, получаваме F – няма да продължавам да пиша F от (х; у), ще знем, че F, ро, М и N са функции от х и от у. F ще е равно на ро по М, по единичния вектор i, плюс ро по N, по единичния вектор j. Сега какви са мерните единици? Колко е ро по М – какви мерни единици ще получим тук? Ще получим същите единици и когато умножим ро по N. Ще имаме, ако изберем тези конкретни единици, тогава получаваме килограм на метър квадратен, по метри за секунда. Това е малко анализ на мерните единици. Метрите в числителя и един от метрите в знаменателя се съкращават и ни остава нещо много странно – килограми в метър по секунда. Това всъщност е – ако разглеждаме този вектор, който има дължина в някаква посока, дължината му се измерва с тези единици тук. Скаларното произведение на това по нормалния вектор n ни дава само посоката, нормалният вектор е безразмерен, той определя само посоката в дадена точка от кривата. Така че намираме скаларното произведение с това, което ни дава дължината на F, която е в посоката на този вектор n. Така че когато намираме скаларното произведение, това е по същество частта от дължината на F, която е в посоката на нормалния вектор n. То ще има съвсем същите мерни единици като F, така че единиците за тази част са килограми за метър по секунда. Искам да поясня – да се фокусираме върху тази точка ето тук. Вектор F изглежда така и неговата дължина е килограми за метър по секунда. После имаме нормалния вектор ето тук, и когато намерим скаларното им произведение, ние по същество казваме каква част от дължината на вектор F е по посока на нормалния вектор. Значи дължината на този вектор ето тук се измерва в килограми за метър по секунда, което умножаваме по dS, умножаваме го по тази безкрайно малка част от кривата, умножаваме по dS. Какви са мерните единици на dS? Това са единици за разстояние, така че това са метри. Значи това ето тук ще бъде метри. За целия интеграл ще имаме килограми за метри по секунда, по метри. Ако имаме килограми за метър по секунда, и ако ги умножим по метри, какво получаваме? Метрите се съкращават и тогава изведнъж всичко става логично, получаваме килограми в секунда. Надявам се, че това изяснява какво се случва тук. Това ни казва колко маса пресича това малко dS – тази малка част от кривата – за една секунда. Ако съберем всичко, което прави интеграла в крайна сметка, като съберем безкрайно много от тези безкрайно малки dS, като ги съберем, получаваме стойността на целия интеграл, която ще бъде в килограми в секунда, което по същество означава колко маса напуска през тази крива в дадена точка в даден момент. Целият този интеграл –ще го препиша – интеграл от F по n ни казва колко маса напуска през кривата за една секунда. Това съответства на предходното видео, когато видяхме, че това е еквивалентно на – това е един вид теорема за дивергенцията в две измерения. В предишното видео видяхме, че това е еквивалентно на двоен интеграл върху площта от дивергенцията на F, което по същество е просто – мога да го напиша по два начина – дивергенцията на F e ето тук, това е просто частната производна на i-компонента относно х. Ще го запиша ето тук, не искам да бързам и да пропускам нещата. Това тук е частната производна на ро по М – ще запиша това – ро по М, относно х, плюс частната производна на у-компонента ро по N относно у, по площта на всяко малко парченце. Какви ще бъдат мерните единици тук? Знаем, че ро по М е килограми в метър по секунда. Но ако диференцираме относно метри, тогава единиците на всеки от тези компоненти ще станат килограми за метър по секунда, в секунда, защото диференцираме относно – извинявам се, на метър –диференцираме относно друга единица за дължина, така че това става за метър, ще имаме още един метър в знаменателя, така че мерните единици тук ще са това, а после умножаваме по площта, която се измерва в метри на квадрат – това тук (dA) са метри на квадрат, те се съкращават отново, цялата част тук я сумираме и това дава килограми в секунда. Събираме ги за цялата площ ето тук. Надявам се, че това е по-логично обяснение на тази векторна функция F. Ако това те обърква, можеш да го игнорираш. Но на мен ми помага да разбера по-добре какво представя векторната функция F.