Основно съдържание

Анализ на функции на много променливи

Курс: Анализ на функции на много променливи > Раздел 5

Урок 8: Теорема на Гаус-Остроградски (статии)

Теорема на Гаус-Остроградски (теорема за дивергенцията) – за две измерения

Класна стая на Google

Това е аналог на теоремата на Грийн, но за дивергенция вместо ротация.

Преговор

Незадължителни теми:

Формална дефиниция на дивергенция

Основни идеи

2D теоремата на Гаус-Остроградски се отнася към дивергенцията така, както теоремата на Грийн се отнася към ротацията. Тя представлява връзка между дивергенцията на векторно поле в дадена област и потока на това поле през границата на областта.
Дефиниции:
- start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е двумерно векторно поле.
  - start color #bc2612, R, end color #bc2612 е дадена област в равнината x, y.
  - start color #bc2612, C, end color #bc2612 е границата на start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  - start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f е функцията, даваща външните единични нормални вектори към start color #bc2612, C, end color #bc2612.
2D теоремата на Гаус-Остроградски ни казва, че потокът на полето start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 през границата start color #bc2612, C, end color #bc2612 е равен на двойния интеграл на start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 в областта start color #bc2612, R, end color #bc2612.
start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, И, н, т, е, г, р, а, л, space, н, а, space, п, о, т, о, к, а, end text, end subscript, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A
Интуицията тук е, че ако start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 представлява потока на флуид, то потокът, напускащ областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 през границата ѝ, е равен на сумата от скоростите на частиците (измерена чрез дивергенцията на векторното поле) в целия обем на областта.
Често двете компоненти/координати на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis се означават с P, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и Q, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis:
$\blueE{\textbf{F}}(x; y) = \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right]$
След като изразим и двата интеграла чрез P и Q, теоремата за дивергенцията в две измерения изглежда по следния начин:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction
В този ѝ вид виждаме, че 2D теоремата на Гаус-Остроградски е еквивалентна на теоремата на Грийн.

Интуиция: връзка между два израза за потока

Глобален поглед: Поток

В статията за поток в две измерения научихме, че той измерва скоростта, с която даден флуид преминава през крива, например вече дефинираната от нас start color #bc2612, C, end color #bc2612. Когато кривата е граница на определена област, например start color #bc2612, R, end color #bc2612, потокът измерва скоростта, с която флуидът напуска областта.

Ако векторното поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis описва движението на флуид, потокът на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis през кривата start color #bc2612, C, end color #bc2612 е равен на:

start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, п, о, т, о, к, end text, end subscript

Този интеграл обхожда всяка точка върху start color #bc2612, C, end color #bc2612, пресмята дължината на компонентата на вектора от полето start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, успоредна на насочения навън единичен нормален вектор в тази точка start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, и събира получените стойности. Колкото по-голяма е интегрираната функция в дадена точка, толкова по-бързо флуидът напуска областта start color #bc2612, R, end color #bc2612; ако стойността ѝ е отрицателна, флуидът навлиза в разглежданата област.

Локален поглед: Дивергенция

В урока за дивергенция научихме, че тя измерва "изходящия поток" на флуид. Дивергенцията на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е функция, измерваща разширението (на англ divergence означава разклонение) на флуида в дадена точка left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis.

2D теоремата на Гаус-Остроградски свързва тези две идеи:

$\displaystyle \underbrace{ \overbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }^{\text{поток}} }_{\text{поток навън от $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{сума от разширенията във всички точки}}$ start underbrace, start overbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end overbrace, start superscript, start text, п, о, т, о, к, end text, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, п, о, т, о, к, space, н, а, в, ъ, н, space, о, т, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, с, у, м, а, space, о, т, space, р, а, з, ш, и, р, е, н, и, я, т, а, space, в, ъ, в, space, в, с, и, ч, к, и, space, т, о, ч, к, и, end text, end subscript

Искаш да знаеш повече?

Интуицията, която описахме в този урок, е подобна на интуицията зад теоремата на Грийн, в която общата ротация около дадена област е равна на сумата от ротациите, start text, left parenthesis, 2, d, negative, r, o, t, right parenthesis, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, в областта:

$\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{обща ротация около $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_\redE{R} \text{(2d-rot)}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} }_{\text{сума от ротациите в областта}}$ start underbrace, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, о, б, щ, а, space, р, о, т, а, ц, и, я, space, о, к, о, л, о, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, left parenthesis, 2, d, negative, r, o, t, right parenthesis, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, с, у, м, а, space, о, т, space, р, о, т, а, ц, и, и, т, е, space, в, space, о, б, л, а, с, т, т, а, end text, end subscript

И в теоремата на Грийн, и в разглежданата тук 2D теорема на Гаус-Остроградски, изразите "сума от ротации" и "разширение на флуида" не са точни математически дефиниции.

В статията за теоремата на Грийн разгледахме малко по-прецизно доказателство и обяснихме значението на двойния интеграл, като разделихме областта start color #bc2612, R, end color #bc2612 на малки части и видяхме, че получените интеграли се унищожават по границите на малките части в start color #bc2612, R, end color #bc2612.

Подобен аргумент може да бъде използван в доказателството на теоремата на Гаус-Остроградски. Ако желаеш да опиташ сам/а, можеш да проследиш доказателството на теоремата на Грийн, като заместиш интеграла \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, измерващ потока около start color #bc2612, R, end color #bc2612, с интеграла \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, измерващ потока излизащ от start color #bc2612, R, end color #bc2612.

Допълнителен материал можеш да намериш в статията, представяща формалната дефиниция на дивергенция.

Доказателство: Интеграл на потока + единична нормала + теорема на Грийн

За да докажем теоремата е нужно просто да разпишем двата интеграла и да приложим директно теоремата на Грийн.

Първо записваме полето start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 като две отделни компоненти (координати) P, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis и Q, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis:

$\blueE{\textbf{F}}(x; y) = \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right]$

Прилагаме формулата за единичен нормален вектор към крива в интеграла на потока и и можем да представим по друг начин този интеграл:

$\displaystyle \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds = \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds$

След това записваме единичния нормален вектор с неговите компоненти.

Упражнение: Векторът

\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]

представлява малка стъпка по кривата start color #bc2612, C, end color #bc2612 в посока обратна на часовниковата стрелка, с дължина d, s, equals, square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root. Кой от следните вектори е външен единичен нормален вектор към кривата?

Избери един отговор:
(Избор А)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]$
(Избор Б)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right]$
(Избор В)
$\dfrac{1}{ds} \left[\begin{array}{c} -dy \\ dx \end{array} \right]$

[Отговор]

Заместваме в интеграла на потока и опростяваме:

\begin{aligned} \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds &= \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right] \cdot \left( \dfrac{1}{\cancel{ds}} \left[ \begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right] \right) \,\cancel{ds} \\\\ &= \int_{\redE{C}} P\,dy - Q\,dx \end{aligned}

Сега можем директно да приложим теоремата на Грийн:

Упражнение: Кой от следните изрази получаваме от теоремата на Грийн за област start color #bc2612, R, end color #bc2612, заобиколена от затворена крива start color #bc2612, C, end color #bc2612?

Избери един отговор:
(Избор А)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
(Избор Б)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, d, A

[Отговор]

Упражнение: Какво получаваме, когато приложим теоремата на Грийн за интеграла на потока integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x?

Избери един отговор:
(Избор А)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
(Избор Б)
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A

[Отговор]

Обърни внимание, че тук изразът в двойния интеграл е дивергенцията на start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99:

$\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}} = \text{div}\, \left[ \begin{array}{c} P(x; y)\\ Q(x; y) \end{array} \right] = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}$

Къде се използва 2D теоремата на Гаус-Остроградски?

Като равенство между двойни интеграли и криволинейни интеграли, теоремата на Гаус-Остроградски е еквивалентна на теоремата на Грийн. Затова решението на една задача с тази теорема няма да се различава от решението й с теоремата на Грийн. За примерни приложения можеш да се върнеш към статията: теорема на Грийн, примери.

Изучаването на теоремата за дивергенцията в този вид е полезно по две причини:

Задълбочено разбиране: Тази форма на теоремата ни дава възможност да интерпретираме интегралите в теоремата на Грийн като изразяващи поток и дивергенция.
Стратегическа полза: Понякога задачите, в които използваме теоремата на Грийн, са интуитивно свързани с дефиницията на дивергенция. Например, ако даден криволинеен интеграл идва от задача по физика, в която се разглежда поток, то няма нужда да го разделяме на компоненти integral, P, d, x, plus, Q, d, y, за да приложим теоремата на Грийн - вместо това можем директно да го заместим с интеграла на дивергенцията на векторно поле.

Обобщение

2D теоремата на Гаус-Остроградски свързва двумерния поток и двойния интеграл на дивергенцията на векторно поле в дадена област.
$\displaystyle \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds }_{\text{Пълният изходящ поток $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_{\redE{R}} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\, dA }_{\text{Суми от всички потоци от малките парченца}}$ start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, П, ъ, л, н, и, я, т, space, и, з, х, о, д, я, щ, space, п, о, т, о, к, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, С, у, м, и, space, о, т, space, в, с, и, ч, к, и, space, п, о, т, о, ц, и, space, о, т, space, м, а, л, к, и, т, е, space, п, а, р, ч, е, н, ц, а, end text, end subscript
Често векторното поле start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, ;, y, right parenthesis е записано чрез двете си компоненти:
$\blueE{\textbf{F}}(x; y) = \left[ \begin{array}{c} P(x; y) \\ Q(x; y) \end{array} \right]$
В този случай теоремата на Гаус-Остроградски изглежда така:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Тази форма на теоремата е еквивалентна на теоремата на Грийн.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.